Transcript Circuit RLC série en régime harmonique forcé

Circuit RLC série en
régime harmonique forcé
Diana Campos-Garcia
Petra Marčanová
Anne Boutin
Circuit RLC série en régime harmonique forcé
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Présentation & généralités
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Objectif: acquérir les connaissances de base sur
les circuits RLC.
Modélisation mathématique de la réponse d'un
circuit.
Circuit RLC série en régime harmonique forcé
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Sujets abordés
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Généralités sur les circuits électriques
Étude d'un circuit série en régime forcé:
résonance en courant
Application du circuit: les filtres
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Définition des conditions de
l'étude: régime de courant

Régime transitoire
Lors de l'établissement du courant le régime propre
du circuit se superpose au régime de la source de
courant. Ce régime est appelé régime transitoire : il
est amorti et disparaît plus ou moins rapidement dans
le temps.
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Régime forcé
Lorsque tous les signaux sont stabilisés, i.e lorsqu'ils
suivent le régime imposé par la source, le circuit est
alors en régime permanent ou harmonique forcé.
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Définition des conditions de
l'étude: régime de courant (2)

Résolution de l'équation différentielle
On va obtenir certains termes qui seront amortis par
des exponentielles négatives, et d'autres pas.
Le régime transitoire est donné par les termes de la
solution qui sont amortis exponentiellement,les
autres termes définissent le régime permanent.
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Mise en équation d'un circuit
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Dipôles passifs soumis à une tension V(t)
Soit s(t) la variable étudiée. L'équation du circuit peut
se mettre de façon générale sous la forme:
a0s+a1s'+a2s"+…+ans (n) =k V(t)
ai constants
La solution de l'équation est de la forme s(t)=s1(t)+s2(t)
 s1(t) solution de l'EHA : régime transitoire (amorti)
 s2(t) SPEC: régime forcé de même nature que la
stimulation(V(t))
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Grandeurs et notations
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Modélisation mathématique des grandeurs en
régime sinusoïdal
U & I sont des fonctions sinusoïdales du temps qui
peuvent se mettre sous la forme : s(t)=Sm cos(ωt+φ)



ω est la pulsation du signal. Elle est liée à la période selon la
relation T=2π/ω.
Sm est l'amplitude du signal. Celui-ci peut varier de –Sm à
+Sm.
φ est la phase à l'origine, ωt+φ la phase à l'instant t. φ indique
qu'à t=0 le signal peut avoir une valeur quelconque comprise
entre –Sm et +Sm.
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Grandeurs et notations (2)
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Notations relatives aux complexes
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
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La grandeur complexe associée au signal sinusoïdal
s(t) sera notée s(t)
j²=-1
L'amplitude complexe associée au signal sera notée S
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Représentation complexe
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Signification
Une grandeur sinusoïdale peut être représentée par un
vecteur tournant de vitesse angulaire ωt. Or, un vecteur
est aussi une représentation géométrique d’un nombre
complexe.
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Représentation complexe (2)
Ainsi, la valeur instantanée complexe d’un signal
sinusoïdal est donnée par la relation suivante:



forme cartésienne: s(t)=Sm (cos(ωt+φ)+ j sin(ωt+φ))
forme complexe: s(t)= Sm e j(ωt+φ)
Amplitude complexe : S=Sm e jφ
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Représentation complexe (3)

Pertinence de l'utilisation des complexes
L'utilisation des complexes en régime sinusoïdal
s'avère très utile lors de la résolution de l'équation
différentielle, les opérations sur les exponentielles
étant plus aisées que celles sur les fonctions sinus et
cosinus.
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Représentation complexe (4)

Représentation graphique: diagramme de
Fresnel
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Circuit RLC série

Présentation du circuit

Problème de la résistance équivalente
UC
ZC
V(t)
AC
UR
ZR
UL
ZL
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Circuit RLC série en régime
harmonique
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Définition du problème



Régime: harmonique forcé
Objet de l'étude: variations du courant
Mise en équation du circuit
loi des mailles:
L
di

q
 Ri  v (t )
dt C
en dérivant on obtient:
d²i
dt²

R di
L dt

1
LC
i
1 dv
L dt
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Circuit RLC série en régime
harmonique (2)


v(t)=Vm cos(ωt) (origine des phases)
i(t)=Im cos(ωt+φ)
d²i
Ce qui revient à :
dt²

R di
L dt

1
LC
i
1
 sin(  t )
L
Équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients
constants avec une solution de la forme i(t)=i1(t)+i2(t). L'étude
se limitant au régime harmonique forcé on cherche
seulement la SPEC.
La résolution de cette équation sous cette forme ne permet
pas une étude aisée du circuit. La méthode la plus évidente
consiste à la résoudre à l'aide des complexes les opérations
de dérivation et intégration étant plus simples.
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Circuit RLC série en régime
harmonique (3)

Résolution par les complexes
v (t )  V m e
j t
i (t )  I m e
j ( t  )
On définit les amplitudes complexes:
d² i
dt²

R di

L dt
1
i
LC
V  Vm
I  Ime
j
1 dv
L dt
Devient
( j  )² i 
R
L
j i 
1
LC
i
1
j v
L
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Circuit RLC série en régime
harmonique (4)
En divisant par
d ' où
I 
e
j t
on a ( j  )² I 
Vm
R  j(L 

1
C
R
j I 
L
 Ime
1
LC
I 
1
j V
L
j
)
Utilité des impédances complexes
Les impédances complexes sont intéressantes dans le
cas du régime harmonique puisqu'elles permettent un
accès facile aux phases. Elles simplifient en outre la
résolution de l'équation du circuit.
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
Équation du circuit par les impédances
complexes
Ri  L i 
1
j C
iv
Les impédances complexes donnent directement accès
aux valeurs complexes de i et u. L'équation n'apparaît
plus sous sa forme différentielle.
On en déduit aisément la valeur du courant.
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