Transcript DC 01 - PYSA

NOM
……………………
PRENOM
……………………
Vendredi 14 novembre 2014 en M3
DEVOIR COMMUN DE MATHEMATIQUES
Maîtriser les notations et le
vocabulaire des fonctions
1
2
3
4
Calculer l’image d’un nombre
avec une formule
1
Rédiger avec soin une
démonstration
1
2
3
2
3
4
Calculer un côté
(Pythagore)
4
1
2
3
Lire et interpréter
un graphique
1
2
3
Déterminer images et
antécédents dans un tableau
4
1
Déterminer si un triangle est
rectangle ou pas
4
1
2
3
4
2
3
4
Construire un losange
ou un cerf-volant
1
Calculer un angle
(trigonométrie)
1
2
3
2
3
4
Calculer un côté
(trigonométrie)
4
1
2
3
4
Ecrire lisiblement et
Soigner sa copie
1
SOIN
(4 points)
EXERCICE 1
(5 points)
2
3
4
Un avion décolle de Paris pour aller jusqu’à l’île de la Réunion. Le trajet dure 11 h. Ci-dessous la représentation
graphique de la fonction h telle que h(t) est l’altitude en m de l’avion à l’instant t en heure.
1. Déterminer h(0), h (1), h(4), h(6) et h(11).
2. Déterminer approximativement l’altitude de l’avion au bout de 3 heures de vol.
3. Quelle a été l’altitude maximale de l’avion ? Au bout de combien d’heures de vol l’altitude a été maximale ?
EXERCICE 2
(12 points)
On considère la figure ci-contre.
On donne BD = 4 cm ; BA = 6 cm et DBC = 60°.
On ne demande pas de faire une figure en vraie grandeur.
1. Montrer que BC = 8 cm.
2. Calculer CD. Donner la valeur arrondie au dixième.
3. Calculer AC.
4. Quelle est la valeur de tan BAC ?
5. En déduire la valeur arrondie au degré de BAC.
EXERCICE 3
(8 points)
Lors d’un dégagement par un gardien de but, si t est le temps écoulé en secondes depuis le tir, H(t) est la hauteur en
mètres du ballon au-dessus du sol. La fonction H est définie par : t ➞ - 5t2 + 20t.
1. À quelle hauteur est le ballon au bout d’une seconde ? Et au bout de deux secondes ? Justifier par un calcul.
2. Calculer H(4). Que signifie ce résultat ?
3. Compléter le tableau de valeurs suivant.
0
t
1
1,5
2
2,5
3
4
H(t)
EXERCICE 4
(2 points)
Voici un tableau de valeurs d’une fonction g.
x
-2
-1
0
1
2
g(x)
1
2
-1
-4
3
Compléter les phrases avec les mots « image » ou « antécédent ».
a. 1 est ….......................................... de − 2 par g.
b. 2 est …............................................. de 3 par g.
c. - 4 est ….......................................... de 1 par g.
d. - 1 est ….......................................... de 2 par g.
EXERCICE 5
(9 points)
Voici la figure à main levée d’un quadrilatère.
1. Reproduire en vraie grandeur ce quadrilatère.
2. Pourquoi peut-on affirmer que OELM est un losange ?
3. Marie soutient que OELM est un carré, mais Charlotte est sûre que ce n’est
pas vrai. Qui a raison ? Pourquoi ?
(4 points)
SOIN
Capacité : écrire lisiblement et soigner sa copie
Ne sait pas encore le faire
Non acquis
Sait parfois le faire
En cours d’acquisition
Sait souvent le faire
Presque acquis
Sait toujours le faire
Acquis
[0 ; 0,5]
]0,5 ; 2]
]2 ; 3,5[
[3,5 ; 4]
EXERCICE 1
(5,5 points)
1. h(0) = 0 ; h(1) = 6 000 ; h(4) = 9 000 ; h(6) = 4 000 ; h(11) = 0.
0,5 point / réponse => 2,5 points
2. L’altitude au bout de 3 h de vol est environ 8 700 m.
Pointillés 0,5 + conclusion 0,5 + valeur à 100 m près 0,5 => 1,5 point
3. L’altitude maximale de vol de l’avion est 9 000 m. L’avion a volé à cette
hauteur au bout de 4 h de vol.
0,5 point /valeur + 0,5 conclusion => 1,5 point
Capacité : Lire et interpréter un graphique
Ne sait pas encore le faire
Non acquis
Sait parfois le faire
En cours d’acquisition
Sait souvent le faire
Presque acquis
Sait toujours le faire
Acquis
[0 ; 1]
]1 ; 3]
]3 ; 5[
[5 ; 6]
EXERCICE 2
(12 points)
1. On sait que BCD est un triangle rectangle en D.
On utilise la trigonométrie (ou le cosinus).
BD
On conclut : cos DBC =
BC
4
cos 60° =
BC
4
BC =
= 8 (en cm)
cos 60°
0,5 point
0,5 point
0,5 point
0,5 point
1 point
3 points
Capacité : Calculer un côté avec la trigonométrie (voir aussi avec la question 2)
Ne sait pas encore le faire
Non acquis
Sait parfois le faire
En cours d’acquisition
Sait souvent le faire
Presque acquis
Sait toujours le faire
Acquis
[0 ; 0,5]
]0,5 ; 1,5]
]1,5 ; 2,5[
[2,5 ; 3]
2. Première méthode
On sait que BCD est un triangle rectangle en D.
On utilise le théorème de Pythagore
On conclut : BC² = BD² + CD²
CD² = BC² – BD² = 8² – 4²
CD² = 64 – 16 = 48
CD = 48 ≈ 6,9 (en cm)
0,5 point
0,5 point
0,5 point
0,5 point
0,5 point
0,5 point
3 points
Deuxième méthode
On sait que BCD est un triangle rectangle en D. 0,5 point
0,5 point
On utilise la trigonométrie (ou la tangente).
CD
On conclut : tan DBC =
0,5 point
BD
CD
tan 60° =
0,5 point
4
CD = 4 ×tan 60° ≈ 6,9 (en cm) 1 point
3. On sait que ABC est un triangle rectangle en B.
On utilise le théorème de Pythagore
On conclut : AC² = AB² + BC²
AC² = 6² + 8²
AC² = 36 + 64 = 100
CD = 100 = 10 (en cm)
3 points
0,5 point
0,5 point
0,5 point
0,5 point
0,5 point
0,5 point
3 points
Capacité : Calculer un côté avec le théorème de Pythagore (voir aussi avec la question 2)
Non acquis
Sait parfois le faire
En cours d’acquisition
Sait souvent le faire
Presque acquis
Sait toujours le faire
Acquis
[0 ; 0,5]
]0,5 ; 1,5]
]1,5 ; 2,5[
[2,5 ; 3]
Ne sait pas encore le faire
4. On sait que ABC est un triangle rectangle en D. 0,5 point
On utilise la trigonométrie (ou la tangente).
0,5 point
BC 8
On conclut : tan BAC =
=
1 point
AB 6
2 points
1 point
5. Donc l’angle BAC mesure environ 53°.
Capacité : Calculer un angle avec la trigonométrie
Ne sait pas encore le faire
Non acquis
Sait parfois le faire
En cours d’acquisition
Sait souvent le faire
Presque acquis
Sait toujours le faire
Acquis
[0 ; 0,5]
]0,5 ; 1,5]
]1,5 ; 2,5[
[2,5 ; 3]
EXERCICE 3
(8 points)
1. H(1) = -5 × 1² + 20 × 1 = -5 + 20 = 15.
La hauteur au bout d’une seconde est 15 m.
1 point (0,5 si résultat direct)
0,5 point
1,5 point
H(2) = -5 × 2² + 20 × 2 = -5 ×4 + 40 = -20 + 40 = 20.
Au bout de 2s, la hauteur est de 20 m.
1 point (0,5 si résultat direct)
0,5 point
1,5 point
2. H(4) = -5 × 4² + 20 × 4 = -5 × 16 + 80 = -80 + 80 = 0.
1 point (0,5 si résultat direct)
Ce résultat signifie qu’au bout de 4 s le ballon touche le sol. 1 point
2 points
3. 0,5 point / réponse => 3,5 points
t
0
1
1,5
2
2,5
3
4
H(t)
0
15
18,75
20
18,75
15
0
Capacité : Calculer l’image d’un nombre avec une formule
Ne sait pas encore le faire
Non acquis
Sait parfois le faire
En cours d’acquisition
Sait souvent le faire
Presque acquis
Sait toujours le faire
Acquis
[0 ; 1,5[
[1,5 ; 4]
]4 ; 6,5]
]6,5 ; 8]
EXERCICE 4
(2 points)
a. 1 est l’image de -2 par g.
b. 2 est un antécédent de 3 par g.
c. -4 est l’image de 1 par g.
d. -1 est un antécédent de 2 par g.
0,5 point / réponse => 2 points
Capacité : Maîtriser les notations et le vocabulaire des fonctions (voir aussi les notations dans les autres exercices)
Ne sait pas encore le faire
Non acquis
Sait parfois le faire
En cours d’acquisition
Sait souvent le faire
Presque acquis
Sait toujours le faire
Acquis
[0 ; 0,5[
[0,5 ; 1]
]1 ; 1,5]
]1,5 ; 2]
EXERCICE 5 (8 points)
1. Figure 1,5 point + codage 0,5 point => 2 points
Capacité : Construire un losange ou un cerf-volant
Ne sait pas encore le faire
Non acquis
Sait parfois le faire
En cours d’acquisition
Sait souvent le faire
Presque acquis
Sait toujours le faire
Acquis
[0 ; 0,5[
[0,5 ; 1]
]1 ; 1,5]
]1,5 ; 2]
2. On sait que : OA = ML = LE = EO.
On utilise :
un quadrilatère qui a quatre côtés
de même longueur est un losange.
On conclut : OELM est un losange.
0,5 point
0,5 point
0,5 point
1,5 point
Capacité : Rédiger avec soin une démonstration (voir aussi avec la question 3)
Ne sait pas encore le faire
Non acquis
Sait parfois le faire
En cours d’acquisition
Sait souvent le faire
Presque acquis
Sait toujours le faire
Acquis
[0 ; 0,5[
[0,5 ; 1[
1
]1 ; 1,5]
3. Dans le triangle MEL :
ME² = 5,6² = 31,36.
ML² + LE² = 4² + 4² = 16 + 16 = 32.
On sait que ME² ≠ ML² + LE².
On utilise Le théorème (ou la contraposée) de Pythagore.
On conclut Le triangle MEL n’est pas rectangle
On sait que : MEL n’est pas un angle droit
On utilise :
Un carré est un quadrilatère qui a 4 côtés
de même longueur et 4 angles droits
On conclut : OELM n’est pas un carré.
0,5 point
1 point
0,5 point
0,5 point
0,5 point
3 points
0,5 point
0,5 point
0,5 point
1,5 point
Capacité : Démontrer qu’un triangle est rectangle avec la relation de Pythagore
Ne sait pas encore le faire
Non acquis
Sait parfois le faire
En cours d’acquisition
Sait souvent le faire
Presque acquis
Sait toujours le faire
Acquis
[0 ; 0,5]
]0,5 ; 1,5]
]1,5 ; 2,5[
[2,5 ; 3]