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Correction DS n°6
2/
Exercice 1 :
3 2
4
3
f ' ( x)=4 x + x – 2 x+7+ 2
2
x
3
2
−6 x +9 x −4 x+15
g ' (x )=
(1 – 3 x)2
x
h ' ( x)=2 √ x + =2 √ x+ √ x =3 √ x
√x
3/
Exercice 2 :
x – x – 1=−2 x +5 x−4 ⇔ 3 x 2 – 6 x+3=0
⇔ (x – 1)2=0
⇔ x – 1=0 ⇔ x=1
Le point commun aux deux tangentes se trouve en x=1 .
f ' ( x)=2 x – 1 et g ' ( x )=−4 x+5
T f : y= f ' (1)( x – 1)+ f (1)=1( x – 1) – 1= x−2
T g : y=g ' (1)( x−1)+g (1)=1( x – 1) – 1= x−2
Les deux paraboles représentant f et g admettent bien une tangente
commune qui est y=x −2 en leur point commun x=1 .
f (x )=g ( x)
⇔
2
⇔ x – 2 x+1=0
Exercice 3 :
2
π
−11 π −12 π π
=
+ =−4 π+ π . Donc la mesure principale est 3 .
3 3
3
3
π
33 π 32 π π
=
+ =8π+ π . Donc la mesure principale est 4 .
b)
4
4
4
4
−17 π −12 π 5 π
5π
=
− =−2 π−
c)
. Donc la mesure principale est
6
6
6
6
−5 π
.
6
−π
23 π 24 π π
=
− =8 π− π . Donc la mesure principale est 3 .
d)
3
3
3
3
1/ a)
x
−11 π
3 33 π
4
−17 π
6
23 π
3
cos ( x)
1
2
√2
−√ 3
2
1
2
√3
√2
2
2
−1
2
3
–√
2
2
sin( x)
Exercice 4 :
2
sin(2 x)=sin (x− π )
2
π
π
soit 2 x= x− 2 +2 k π soit 2 x=π−( x− 2 )+2 k π
3π
x= −π +2 k π
3 x= +2 k π
2
2
2
x= π + k π
2 3
−π
π
−π
−5 π
S={ 2 ; 2 ; 6 ;
}.
6
Exercice 5 :
=
1/ (cos ( x )+sin( x)+1)2=(cos ( x )+sin( x)+1)(cos( x)+sin ( x )+1)
= cos² ( x )+cos (x )sin (x)+cos (x)+cos ( x)sin( x)+sin²( x)+sin(x )+cos ( x )
+sin (x )+1 = 2 cos ( x )sin (x)+2 sin( x)+2 cos( x)+2
car cos 2 (x )+sin2 ( x)=1
2/ 2( 1+cos ( x ))(1+sin( x))=2(1+sin( x)+cos( x)+cos( x)sin( x))
= 2+2 sin( x)+2 cos( x)+2 cos( x) sin( x) = (cos ( x )+sin( x)+1)2
3/ cos ( x)+sin( x)=−1
⇔ cos ( x)+sin( x)+1=0 ⇔
2(1+cos ( x ))(1+sin( x))=0 ⇔
(cos ( x )+sin( x)+1) =0 ⇔
1+cos (x )=0
1+sin (x)=0
soit
soit
cos ( x)=−1
sin( x)=−1
sin( x)=sin ( −π )
cos ( x)=cos(π)
2
−π +2 k π
π
x=
x=π+2 k π et x=−π+2 k π et
et x=π+ 2 +2 k π
2
3π
x= +2 k π
2
π
3π
S={ π ; 2 ;
}.
2
2
Exercice 6 :
−π
⃗ ; AD)
⃗
1/ ( AE
= 3 car ADE est un triangle équilatéral et on oriente
dans le sens trigonométrique.
⃗ ; AD
⃗ )= −π
⃗ ; AB
⃗ ) = −( AB
( AD
6
π
⃗ ; NP)=(
⃗
⃗ ; MC
⃗ )=( CD
⃗ ; CM
⃗ )=
DC
2/ ( AB
2
car ABCD et CMNP sont des parallélogrammes, donc on a les égalités de
⃗ = DC
⃗ et NP=
⃗ MC
⃗ .
vecteurs : AB
⃗ ; NP)
⃗
⃗ ; AD)
⃗
⃗ ; AB)
⃗
⃗ ; NP)
⃗
3/ ( AE
= ( AE
+ ( AD
+ ( AB
−π
3 +
−π
+
6
π
2 =0
⃗ et NP
⃗ sont colinéaires, donc les droites (AE)
AE
Donc les vecteurs
et (NP) sont parallèles.