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2ème année
PROBLEMES - Dynamique des solides
S2I
Problème N°1 : Echelle Pivotante Automatique à commande Séquentielle.
Une E.P.A.S. est une Echelle Pivotante Automatique à commande
Séquentielle.
Ce système conçu et commercialisé par la société CAMIVA est monté sur le
châssis d’un camion de pompiers et permet de déplacer une plate-forme
pouvant recevoir deux personnes et un brancard le plus rapidement possible et
en toute sécurité.
PRESENTATION DE L’E.P.A.S.
Le déplacement de la plate-forme est réalisé suivant trois axes :
• Le déploiement du parc échelle (axe 1) : chaque plan de l’échelle peut se translater par rapport
aux autres ; seul le quatrième plan d’échelle est solidaire du berceau.
• Le pivotement autour de l’axe Y (axe 2) : la tourelle 1 peut pivoter par rapport au châssis autour
d’un axe vertical.
• La rotation autour de l’axe Z (axe 3) : le berceau peut tourner par rapport à la tourelle 2 autour
d’un axe horizontal.
Pour garantir la sécurité, le système maintient toujours la plateforme en position horizontale :
• La correction d’aplomb oriente la plate-forme autour d’un axe horizontal parallèle à l’axe Z.
• La correction de devers oriente l’ensemble parc échelle et plate-forme autour de l’axe X : la
tourelle 2 s’oriente par rapport à la tourelle 1 suivant un axe perpendiculaire aux axes 3 et 2.
ETUDE DE L’AXE 3
L’objet de cette partie est de déterminer la taille des vérins à utiliser dans la chaîne fonctionnelle de l’axe 3. On
tiendra compte dans cette partie du fait que la plate-forme reste toujours horizontale.
G. Chapey
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PROBLEMES - Dynamique des solides
S2I
GEOMETRIE DU PARC ECHELLE.
Dans une première approche, on
modélisera le parc échelle par un
assemblage
de
trois
plaques
rectangulaires homogènes d’épaisseur
négligeable, de longueur L et de largeur
h.
Chaque plaque a une masse notée m.
L
2
h
3
Q1 :
Montrez que le vecteur position OG du centre de gravité G du parc échelle est tel que OG = ⋅ x5 + ⋅ y5
Q2 :
Déterminer en fonction de m, L et h le moment d’inertie du parc échelle modélisé suivant l’axe (O, z5 ) .
CHOIX DES VERINS.
Les deux vérins doivent être capables de déplacer l’ensemble du parc échelle et la plate-forme chargée.
On propose le paramétrage suivant :
R0 = (O0 , x0 , y 0 , z 0 )
lié au châssis (0).
R5 = ( A, x5 , y5 , z 0 )
lié à l’ensemble {berceau + parc échelle} (5) avec O0 A = a ⋅ y0 , AC = c ⋅ x5 , AD = H ⋅ x5 .et
R3 = (B, x3 , y3 , z 0 )
lié au vérin (3+4) avec O0 B = b ⋅ x0 , BC = r ⋅ y 3 et (x0 ; x3 ) = β
G. Chapey
( x 0 ; x5 ) = θ
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• Le parc échelle (5) :
On notera la matrice d’inertie du parc échelle au point G (son centre de gravité) dans la base (x5 , y5 , z 0 ) :
 I Gx
I (G , 5) =  0
 0
0
I Gy
0
0 
0 
I Gz  ( x
5 , y 5 , z0
)
Le parc échelle a une masse notée 3m et une longueur notée L.
L
2
h
3
Son centre de gravité G est tel que OG = ⋅ x5 + ⋅ y5 .
Le parc échelle est solidaire du berceau avec OA = d ⋅ x5 .
• La plate-forme chargée (6) :
Pendant le redressement ou l’abaissement, la plate-forme reste toujours horizontale.
Sa masse une fois chargée sera notée M et son centre de gravité est le point GP tel que : DGP = λ ⋅ x0 + µ ⋅ y0
On notera la matrice d’inertie de la plateforme chargée au point GP (son centre de gravité) dans la base
(x0 , y 0 , z 0 ) :
A 0 0
I (GP ,6) =  0 B 0 
 0 0 C 
(x0 , y 0 , z0 )
• Le berceau (5) :
Sa masse sera négligée devant les autres masses.
Il est incliné par rapport à l’horizontal d’un angle θ fonction du temps.
• Les vérins (3+4) :
Leurs masses seront négligées devant les autres masses.
Ils devront exercer un effort, modélisé par un glisseur de résultante R = R ⋅ y3 , permettant le déplacement θ.
Q3 :
Déterminez l’expression littérale du moment dynamique en A de l’ensemble {parc échelle + berceau}
(5) par rapport au châssis (0) : δ ( A,5 / 0) .
Q4 :
Déterminez l’expression littérale du moment dynamique en A de la plate-forme (6) par rapport au
châssis (0) : δ ( A,6 / 0 ) .
Remarque: la plateforme (6) est en mouvement de translation circulaire donc δ ( G p , 6 / 0 ) = 0 .
Q5 :
Déterminez l’expression littérale de l’effort R que devra fournir l’ensemble des deux vérins sur le
berceau, en fonction des masses, des paramètres géométriques et de l’angle θ et de ses dérivées.
Indiquer clairement les sous-ensembles isolés, les actions mécaniques prises en compte et les
théorèmes utilisés.
ETUDE DE L’AXE 1 :
Le système de déploiement de l’échelle permet la translation de la plate-forme suivant l’axe 1.
L’objet de cette partie est de définir la puissance motrice nécessaire pour ce mouvement.
PRINCIPE DU SYSTEME DE DEPLOIEMENT.
Le parc échelle est constitué de quatre plans numérotés de 1 à 4 : la plate-forme est montée sur le plan n°1 ; le
plan n°4 est solidaire du berceau.
Lors du déploiement du parc échelle, un treuil met en mouvement le câble principal qui entraîne le plan n°3 du
parc échelle.
G. Chapey
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Les plans n°1 et n°2 seront déployés grâce au mouvement du plan n°3 et aux câbles secondaires.
Câble secondaire
Plan n°1
Câble secondaire
Câble principal
Plan n°2
Treuil
Plan n°3
Plan n°4
Sens de rotation
pour le
déploiement
Poulies
Axe de déplacement des plans d’échelle
La figure précédente montre les plans du parc échelle les uns au-dessus des autres ; en réalité, ils sont les uns
dans les autres et tous les brins de câbles sont donc parallèles à l’axe de déplacement des plans d’échelle.
PUISSANCE DU TREUIL.
On suppose que le système de commande du déploiement permet d’obtenir une vitesse de la plate-forme
trapézoïdale :
• Une première phase de mouvement uniformément accéléré, d’accélération Γ0.
• Une deuxième phase de mouvement uniforme, de vitesse V0.
• Une dernière phase de mouvement uniformément décéléré, d’accélération -Γ0.
PATE-FORME
x1
PLAN N°1
PLAN N°2
y0
PLAN N°3
PLAN N°4
Le treuil n’est pas représenté sur cette figure
θ
x0
O
G. Chapey
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On note R0 = (O, x0 , y 0 , z 0 ) le repère lié au châssis et R1 = (O, x1 , y1 , z 0 ) le repère lié au berceau.
• Le parc échelle :
Le parc échelle est redressé d’un angle θ constant par rapport à l’horizontale.
Les plans du parc échelle ont tous la même masse notée M. Leur centre de gravité sera noté Gi, i étant le
numéro du plan.
Chaque plan du parc échelle se translate par rapport au châssis, suivant x1 à une vitesse deux fois plus grande
que le plan suivant : V (P, plan(i) / R0 ) = 2 ⋅ V (P, plan(i + 1) / R0 ) .
Le guidage des plans les uns par rapport aux autres engendre des efforts s’opposant aux mouvements que l’on
modélisera par un glisseur dont le module de la résultante sera noté F constant.
• La plate-forme :
La plate-forme de centre de gravité GP a une masse notée m, et se translate par rapport au châssis suivant x1 à
une vitesse notée V(t).
• Le treuil :
Un treuil de rayon R, tournant à une vitesse de rotation notée ω, entraîne le câble principal dont les extrémités
sont fixées au plan n°3.
Le moment d’inertie du treuil par rapport à son axe de rotation, sera noté I.
Le moment du couple moteur exercé par l’ensemble moto réducteur hydraulique sera noté C.
Q6 :
Déterminez l’énergie cinétique galiléenne de la plate-forme et des quatre plans du parc échelle en
fonction de V(t) et des différentes masses.
Q7 :
Déterminez l’énergie cinétique galiléenne du treuil en fonction de V(t).
Q8 :
Déterminez la puissance des actions extérieures à l’ensemble {treuil+parc échelle+plate-forme} en
fonction de V(t).
Q9 :
Déterminez la puissance des actions intérieures de ce même ensemble en fonction de V(t).
Q10 : En déduire le moment du couple moteur nécessaire pendant la première phase de mouvement.
Problème N°2 : Système d’image pour la cardiologie et l’angiographie Advantx LC.
L’imagerie médicale
La radiographie est une technique d'exploration anatomique. Cette technique est fondée sur une différence
d'absorption des rayons X par les différents tissus du corps. Elle est employée en angiographie c’est à dire pour
la visualisation des vaisseaux sanguins et notamment des vaisseaux coronaires.
Les nouvelles technologies de l'imagerie médicale permettent d'observer les organes et leurs réactions en direct
sur un écran, de situer avec une grande précision une anomalie, de suivre étape par étape l'effet d'une thérapie
et d'intervenir en temps réel.
La numérisation facilite la mise en œuvre de techniques permettant l'analyse d'images, l'archivage, la
transmission rapide des données. La radiologie numérique fait appel à un amplificateur de luminescence qui
recueille l'image radiante. L'image est «reprise» par une caméra vidéo dont le signal est numérisé. L’obtention
d’une image de bonne qualité suppose l’alignement parfait du tube émetteur de rayons X avec l’amplificateur
ainsi qu’une grande stabilité et rigidité du positionneur.
On ne peut pas distinguer deux tissus qui absorbent de la même manière les rayons X, ceci oblige le médecin à
administrer au patient des produits de contraste. En angiographie on administre des produits iodés
hydrosolubles injectés à distance et éliminés sélectivement par les reins. Cette technique permet d’obtenir des
images de grande qualité par soustraction d’une image obtenue sans produit (image de masque) et d’une image
avec produit (image de contraste).
G. Chapey
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Figure 1
Caméra vidéo
Amplificateur
Traitement
numérique de
l’image
Moniteur
Armoire
positionneur
Générateur
Positionneur
Patient
Table
Dispositif de
refroidissement
du tube
Collimateur
Tube rayonX
Pupitre de commande des déplacements de la table et du positionneur
Application avancée : reconstruction d’image 3D en angiographie
L'image tridimensionnelle permet la mise en volume des objets étudiés ce qui en facilite la compréhension.
Celle-ci est obtenue grâce à une série d’images planes de masque et de contraste. La qualité de l’image
reconstituée est liée à la bonne correspondance entre ces deux images. Pour cela le porteur du sous-système de
formation de l’image se doit de réaliser des mouvements avec une bonne répétabilité.
Le nombre de radiographies pratiquées ainsi que la dose d’exposition au cours d’un examen doivent être
limités car les rayons X, à partir d'une certaine quantité, deviennent des agents mutagènes (qui entraînent des
mutations des cellules du corps).
Les critères de conception de ce type de système se déduisent à la fois des exigences du patient et de celles du
médecin. Ces exigences sont :
• du point de vue du patient : sécurité, rapidité de l’examen, confort postural
• du point de vue du médecin et de l’équipe médicale : sécurité, qualité de l’image, manœuvrabilité,
flexibilité, ergonomie, rapidité, confort d’utilisation et accès facile au patient.
Le système de positionnement Advantx LC de General Electric
Ascenseur
Figure 2
Arceau (3)
Bras d’arceau (2)
Amplificateur
Sous-système
de formation
de l’image
Iso centre, O
Tube rayon X
Epaule (1)
Table mobile
Positionneur
G. Chapey
Table
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PROBLEMES - Dynamique des solides
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Le système de positionnement de l’émetteur du faisceau (tube rayon X) et du récepteur (amplificateur) par
rapport au patient est principalement constitué d’une table et d’un positionneur. Le médecin peut translater le
patient à l’aide de la table pour placer la zone à observer proche de l’iso centre du positionneur puis orienter le
système image à l’aide du positionneur. Le positionneur est constitué d’une épaule en forme de L, d’un bras et
d’un arceau en forme de C. Pour faciliter l’accès au patient l’amplificateur est monté sur un ascenseur. On ne
tiendra pas compte de cette mobilité en translation dans cette étude.
Paramétrage du positionneur :
Le point O est l’isocentre du positionneur
y0
y1
Repère fixe lié au sol : R0 (O ; x 0 , y 0 , z 0 ).
γ
x1
γ
O
z0 = z1
z2
Repère lié à l’épaule (1) : R1 (O ; x 1 , y1 , z1 )
-100° ≤ γ ≤ 100°
x0
z1
β
Repère lié au bras d’arceau (2) : R2 (O ; x 2 , y 2 , z 2 )
-109° ≤ β ≤ 121°
z2
z3
x1
x2
β
O (2)
y1=y2
α
Repère lié à l’arceau (3) : R3 (O ; x 3 , y 3 , z 3 )
-47° ≤ α ≤ 52°
α
O
x2 = x3
(2)
(1)
y3
y2
(3)
Remarques : l’arceau (3) comprend l’ampli et le tube.
→
z 3 est
la normale au plan de l’image.
Figure 3
→
z3
→
y1
→
→
z0
→
→
y0
y0
→
x0
G. Chapey
z0
→
z0
x→0
→
y0
x→0
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Vérification des performances de la motorisation du mouvement du bras d’arceau
Validation du choix de la motorisation
L’objet de cette étude est de valider le choix de certains constituants de la chaîne de transmission de puissance
de l’axe horizontal du bras d’arceau. Cette motorisation entraîne l’ensemble du bras d’arceau (2) et de
l’arceau (3).
L’ensemble en mouvement ne doit pas toucher le patient. Cette protection est gérée par un programme
d’anticollision qui calcule en temps réel la position de l’ensemble en mouvement par rapport à un modèle
volumique du patient. Ce calcul limite les performances du système à une vitesse de rotation de chaque axe à
10°.s-1. Cependant, l’application avancée de reconstruction 3D nécessite un déplacement plus rapide de ce
système. Dans ce cas, il devient nécessaire de ne pas utiliser le programme anticollision et d’effectuer un
mouvement lent préalable de validation.
Application avancée : reconstruction d’image 3D en angiographie.
La reconstruction 3D des vaisseaux sanguins repose sur l’acquisition de vues
multiples sur une large plage angulaire. Le but global de ce type d’application
médicale est de diminuer le temps d’examen, d’utiliser moins de produit de
contraste et de réduire la dose de rayonnement, tout en fournissant plus
d’informations pour le diagnostic. Les clichés sont pris pendant que le bras
d’arceau (2) est en mouvement, l’arceau (3) étant fixe par rapport au bras
d’arceau : α=0. C’est l’application la plus contraignante en vitesse et en
accélération.
Evaluation de la vitesse de rotation nécessaire à la reconstruction 3D.
Soit Ω (2 / 1) = ω2 /1 y1 la vitesse de rotation du bras d’arceau (2) par rapport à l’épaule (1).
Critères :
• Pour la construction d’images 3D, il faut disposer d’au moins 40 clichés pris à vitesse angulaire constante
sur la plage angulaire la plus grande possible.
• On se fixe comme objectif de minimiser la dose de produit de contraste administrée au patient. Cette dose
de produit limite le temps de prise de clichés à T = 3 secondes.
• La rotation du bras d’arceau (2) est limitée : –105°< β < 120°.
• Compte tenu de sa souplesse, on limite l’accélération et la décélération angulaires maximales du bras
d’arceau (2) à a = 13°.s-2.
Q.1 Tracer l’allure de la courbe de la loi en vitesse, ω 2 / 1 ( t ) , permettant d’exploiter au mieux les possibilités
de la motorisation. Justifier brièvement le choix de la loi en vitesse angulaire effectué. Chaque portion
de courbe sera commentée brièvement au regard des critères énoncés précédemment.
G. Chapey
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Calcul de la vitesse de rotation du moteur
Le dessin de la figure 4 présente l’architecture de la chaîne de transmission de puissance du bras d’arceau.
Le carter du moteur et du réducteur roue et vis sans fin est fixé sur l’épaule (1), l’arbre intermédiaire est en
liaison pivot avec l’épaule (1) et la couronne liée au bras d’arceau (2) est en liaison pivot d’axe (O, y1 ) avec
l’épaule (1).
Liaison pivot
→
Epaule (1)
+
…
d’axe (O, y1)
Couronne 124 dents
+
…
Liaison fixe
Bras d’arceau (2)
+
…
Graphe partiel des liaisons
Pour le réducteur roue et vis sans fin la vis est à droite, ainsi avec la base ( x1 , y1 , z1 ) retenue
ω roue / 1
1
= r1 =
.
ω vis / 1
45
Soit Ω (m /1) = ωm z1 la vitesse de rotation de l’arbre du moteur par rapport à l’épaule (1).
Q.2 Calculer le rapport de réduction r =
ω 2 /1
ωm
. Actuellement la vitesse de rotation maximale du bras d’arceau
est de 30°.s-1. Calculer la vitesse de rotation du moteur pour les vitesses de rotation du bras d’arceau de
10°.s-1 et de 30°.s-1.
G. Chapey
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Calcul du couple moteur
Pour vérifier le dimensionnement du moteur il faut calculer le couple maxi nécessaire à l’entraînement de
l’arceau (2) et du bras d’arceau (3). L’application la plus contraignante en accélération est l’application de
reconstruction 3D. L’accélération angulaire retenue est l’accélération maximale a = 13°.s-2.
Pour cette application l’épaule (1) est fixe par rapport au sol que l’on supposera galiléen, l’arceau (3) est fixe
par rapport au bras d’arceau (2) : α=0.
Pour toute cette partie on ne considère pas l’action du frein à poudre.
Dans un premier temps toutes les liaisons sont supposées parfaites.
L’axe (O ; z 0 ), est vertical ascendant et on désigne par g = − g z 0 l’accélération de la pesanteur.
Données cinétiques :
• Le bras d’arceau (2)
Centre d’inertie G2 :
Masse m2 = 60 kg
OG 2 = x G 2 x 2 + y G 2 y 2 + z G 2 z 2 = −230 x 2 − 1070 y 2 − 15 z 2 : dimensions en mm.
Matrice d’inertie dans ( x 2 , y 2 , z 2 ) : [I(G2,(2))] =
•
 A2
− F
 2
− E 2
− F2
B2
− D2
− E2 
− D 2 
C 2 
=
(x 2 , y 2 ,z 2 )
 6 − 3 − 1
− 3 7
1 

 − 1 1
8  ( x , y , z )
2 2 2
en kg.m2.
Le solide (3) constitué de l’arceau, du tube, de l’ascenseur en position haute et de l’ampli.
Centre d’inertie G3 : OG 3 = x G3 x 3 + y G3 y 3 + z G3 z 3 = −190 x 3 − 125 y 3 + 75 z 3 : dimensions en mm.
Masse m3 = 260 kg
Matrice d’inertie dans ( x 3 , y 3 , z 3 ) : [I(G3,(3))] =
 A3
− F
 3
− E3
− F3
B3
− D3
− E3 
− D3 
C3 
=
( x 3 , y3 , z 3 )
160 6 − 12
 6 190 8 


− 12 8
20  ( x , y ,z )
3 3 3
en kg.m2.
→
Soit C1 = M O(Couronne→2). y1 la projection sur y1 du moment en O de l’action de la couronne sur le bras
d’arceau (2).
On modélise l’action du moteur sur la vis du système roue et vis sans fin par un couple {0 ; C m z1 }M .
Q.3
Exposer brièvement la méthode retenue pour déterminer l’équation scalaire qui permet d’exprimer C1
••
en fonction des données cinétiques et de β . (Les mots clés sont bien évidemment : système matériel
isolé…, bilan …, application du théorème …à… en projection sur…. etc.).
Q.4
Selon la méthode exposée ci-dessus, déterminer l’expression littérale de C1 en fonction des données
••
cinétiques et de β .
A partir de l’expression de C1 et des valeurs numériques, on peut montrer que le maximum de la valeur absolue
de C1 est principalement fonction de l’action de la pesanteur, lors de l’accélération angulaire de 13°.s-2.
Désormais nous allons tenir compte de ce résultat en se plaçant à une vitesse de rotation du bras d’arceau (2)
constante. Et on validera le choix du moteur à vitesse constante.
Q.5
Appliquer le théorème de l’énergie cinétique à l’ensemble constitué du moteur, du système roue et vis
sans fin et du réducteur à axes parallèles. En déduire une relation entre ωm, Cm, ω2/1 et C1.
Q.6
Le rendement du système roue et vis sans fin étant assez faible il est nécessaire d’en tenir compte pour
évaluer le couple moteur. Ecrire la relation entre ωm, Cm, ω2/1 et C1 lorsque le rendement ρ de
l’ensemble constitué du système roue et vis sans fin et du réducteur à axes parallèles est égal à 0,65.
G. Chapey
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2ème année
Q.7
PROBLEMES - Dynamique des solides
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La courbe de la figure 5 donne la valeur de -C1 en fonction de β. A l’aide des résultats précédents et de
cette courbe, calculer le couple moteur maxi en valeur absolue.
800
-C1 en N.m
Figure 4
600
400
200
-100
0
-50
50
100
β en degré
-200
-400
-600
-800
Validation du choix moteur
Q.8 Répondre à cette question sur la figure ci-dessous. Placer sur la courbe d’utilisation du moteur les
points de fonctionnement correspondant à une vitesse de rotation du bras d’arceau de 10°.s-1 et de 30°.s1
. Apporter une conclusion quant au dimensionnement du moteur.
Vitesse en tour /mn
Moteur Sanyo 500 W
Zone d’utilisation à
vitesse constante
3000
2000
Zone d’utilisation
accélération
et décélération
1000
Zone d’utilisation en
fonctionnement
cyclique
1,8
G. Chapey
2,5
5
7,5
10
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2ème année
PROBLEMES - Dynamique des solides
S2I
Etude des régimes du moteur
Q.9 Répondre à cette question sur la figure ci-dessous. Tracer l’allure du couple moteur en fonction de la
position angulaire β.
Cm
-100
-50
0
100
50
β en degré
Q.10 Le plan Cm, ωm (voir figure 6) est découpé en quatre quadrants. Indiquer pour chaque quadrant le
comportement du moteur électrique c’est à dire s’il agit en moteur ou en frein. Justifier brièvement.
ωm
Figure 6
1er quadrant
2ème quadrant
0
0
ème
3
quadrant
Cm
ème
4
quadrant
Q.11 Puisqu’il faut dissiper de l’énergie, proposer deux solutions pour dissiper cette énergie dans le
contexte d’une transmission motorisée par un actionneur électrique.
Q.12 En fonction de l’angle d’inclinaison d’hélice et du coefficient de frottement un système roue et vis sans
fin peut être considéré comme irréversible. Expliquer brièvement en quoi l’irréversibilité de la chaîne
de transmission de puissance serait intéressante du point de vue de la sécurité. Mais l’irréversibilité
n’est pas garantie, ni l’irréversibilité statique (positionneur arrêté) et encore moins l’irréversibilité
dynamique (par exemple : positionneur arrêté mais en vibration), même si le rendement inverse est
faible. Quel organe de la transmission vient alors en complément ?
G. Chapey
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Problème N°3 : COMMANDES DE VOL PRIMAIRES DE L’AIRBUS A380
Le thème proposé concerne l’aéronautique et plus particulièrement la commande en position des gouvernes de
profondeur de l’Airbus A380.
L'Airbus A380 est un avion de ligne civil gros-porteur long-courrier quadriréacteur à double pont produit par
Airbus, filiale d'EADS, construit principalement en Allemagne, Espagne, France et Royaume-Uni et assemblé
à Toulouse.
Caractéristiques de l’AIRBUS A380
Longueur hors-tout
Hauteur
Diamètre du fuselage
Envergure
Surface alaire
Poussée des moteurs
Vitesse de croisière
Vitesse maximale
Masse maxi au décollage
73 m
24,1 m
7,14 m
79,8 m
845 m2
310 kN × 4
1040 km/h (Mach 0,85)
1090 km/h (Mach 0,89)
560 t
1 PRESENTATION
Pour piloter un avion, il est nécessaire de pouvoir contrôler en permanence ses évolutions dans l’espace suivant
trois directions ou axes (voir Figure 5 ) :
•
l'axe de lacet (vertical) ;
•
l'axe de roulis (horizontal et dans la direction de la marche) ;
• l'axe de tangage (horizontal et perpendiculaire à la marche).
Pour cela, le pilote agit sur les commandes de vol de l’avion. En pratique, on distingue deux types de
commandes :
•
les commandes de vol primaires utilisées pendant tout le vol qui permettent de contrôler l’évolution de
l’avion autour de ses axes de référence :
la gouverne de direction ou gouvernail pour le lacet,
les ailerons et les spoilers pour le roulis,
les gouvernes de profondeur et le plan horizontal réglable (PHR) pour le tangage.
•
Les commandes de vol secondaires utilisées pendant les phases d’atterrissage et de décollage qui
permettent de modifier la configuration aérodynamique de l’avion :
hypersustentateurs (volets et becs) pour la portance ;
les spoilers (ou aérofreins) pour la traînée.
G. Chapey
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2ème année
PROBLEMES - Dynamique des solides
S2I
Figure 5 : Les commandes de vol de l’A380
2 ANALYSE PREALABLE DES ACTIONS AERODYNAMIQUES
On se propose de déterminer les actions aérodynamiques exercées sur la gouverne de profondeur et leur
conséquence sur le comportement de l’avion.
2.1 Repères et paramètres angulaires associés à l’avion
Afin d’étudier le comportement de l’avion, on définit (voir Figure 2) les repères R0, RA , et RB passant par le
point G, centre de gravité de l’avion ainsi que les repères RP et RC passant par le point B, centre de poussée du
PHR et des gouvernes de profondeur :
(
)
•
R0 = G, x0 , y0 , z 0 :
•
R A = G, x A , y A , z A : repère aérodynamique tel que la vitesse de l’avion par rapport à la terre est
(
repère animé d’un mouvement de translation par rapport au galiléen où z 0 est la
verticale descendante du lieu ;
)
V = V (t ).x A ;
(
)
= (B, x , y , z ) :
= (B, x , y , z ) :
•
RB = G, x B , y B , z B : repère lié à l’avion avec (G, xB ) axe longitudinal de l’avion ;
•
RP
•
RC
P
P
P
repère lié au PHR avec ( B, xP ) axe de symétrie longitudinal ;
C
C
C
repère lié aux gouvernes avec ( B, xc ) axe de symétrie longitudinal.
xB
FPA
FR
β
FPG
FTA
xc
δ
B
FPP
zA
xP
G
A
V θ
α
γ
xA
x0
P
z0 zA zB
Figure 2 : Repères associés à l’avion
G. Chapey
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2ème année
PROBLEMES - Dynamique des solides
S2I
Remarque : attention pour la suite du sujet au sens de z utilisé en aéronautique.
La mise en place de ces repères permet de définir, dans le cas d’un vol symétrique, c'est-à-dire dans le cas où
les plans G, x0 , z 0 et G, x B , z B sont confondus, les paramètres de position angulaire de l’avion :
(
•
) (
)
θ : assiette longitudinale ou angle entre l’horizontale x0 et l’axe x B de l’avion :
quand θ augmente, on dit que l’avion se cabre,
quand θ diminue, on dit que l’avion pique.
•
γ : pente ou angle entre l’horizontale x0 et le vecteur vitesse V = V .x A de l’avion ;
•
α : incidence de l’aile ou angle x A , x B .
(
)
On note d'autre part:
(
)
•
δ : inclinaison du PHR par rapport à l’avion ou angle xB , xP ;
•
β : inclinaison des gouvernes par rapport au PHR ou angle x P , xC .
(
)
2.2 Les forces appliquées à l’avion
Les forces appliquées à l’avion sont :
•
le poids de l’avion :
P = mg z 0 avec m masse de l’avion
•
la force de poussée des réacteurs :
FR = FR x B
•
les forces aérodynamiques dues à la vitesse V de l’avion qui s’exercent au centre de poussée des
surfaces portantes (Ailes, PHR et une partie du fuselage) et qui admettent deux composantes, une force
de portance FP et une force de traînée FT .
FPA
FTA A
α
xB
xA
V
zA
Ailes : Centre de poussée A
1
FPA = − ρ .C ZA . AA .V 2 z A avec :
2
Cz A = 0,2 + 0,1.α
1
FTA = − ρ .Cx A . AA .V 2 x A avec :
2
Cx A = 0,02 + 2.10−3.α
AA = 845 m 2
La force de portance FPB du PHR appliquée au centre de poussée B admet deux composantes, FPP (force de
portance du PHR sans les gouvernes) et FPG (force de portance des gouvernes seules). La force de traînée
est négligée soit FTB = 0 .
xC
β
FPG
B
V
xP
δ xB
α xA
FPP
zA
PHR et gouvernes : Centre de poussée B
1
FPP = − ρ .Cz P . AP .V 2 z A avec :
2
Cz P = −0,2 + 0,1.(α + δ )
AP = 114 m 2 (surface du PHR sans les gouvernes)
1
FPG = − ρ .CzG . AG .V 2 z A avec :
2
CzG = 3.10 −3.(α + δ + β )
AG = 50 m 2 (surface totale des gouvernes)
Dans les expressions ci-dessus les angles α, β et δ sont exprimés en degré.
G. Chapey
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2ème année
Avec :
PROBLEMES - Dynamique des solides
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ρ : masse volumique de l’air ;
Ai : aire de la surface i ;
Czi : coefficient de portance de la surface i ;
Cxi : coefficient de traînée ou résistance à l’avancement de la surface i.
En raison de la symétrie des surfaces, les centres de poussée sont alignés sur l’axe xB. La position du centre de
gravité peut varier en fonction du nombre de passagers, du fret, de la quantité de carburant restant dans les
réservoirs, etc.
32 m
B
XA
A
G
xB
yB
Figure 3 : Centres de gravité et de poussée
2.3 Influence des gouvernes sur le comportement de l’avion
On se place dans le cas d’un vol stationnaire (voir Figure 4), l’avion vole à vitesse et altitude constante. La
configuration est la suivante : α = 3° , δ = −4° , β = 0° .
FPA
FTA
B
A
FR
G
xP, xC
V
xB
xA, x0
FPB
P
z0
z0
Figure 4 : Vol stationnaire
Les données sont les suivantes :
•
masse de l’avion : m = 5.105 kg ;
•
densité de l’air à l’altitude considérée : ρ = 0,6 kg/m3 ;
•
accélération de la pesanteur : g =10 m/s2.
G. Chapey
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2ème année
Q1 :
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Déterminer, pour que de telles conditions de vol soient possibles :
a) la vitesse V (en m/s et en km/h) à laquelle doit voler l’avion ;
b) la force de poussée FR des réacteurs ;
c) la position xA du centre de gravité G.
Le pilote incline la gouverne de profondeur d’un angle β < 0 ce qui provoque une croissance instantanée de
l’angle d’incidence α.
Q2 :
Sachant que la vitesse de l’avion par rapport au galiléen est V = V (t ).x A , déterminer le vecteur
 dV 
accélération Γ = 
 de l’avion par rapport au galiléen.
 dt  R0
Q3 :
Sachant que m.Γ = ∑ Fext , écrire les équations associées à cette relation :
a) en projection sur x A ;
b) en projection sur z A .
 A
On désigne par  0
− E
Q4 :
− E
B 0  la matrice d’inertie en G de l’avion dans le repère RB.
0 C 
0
Donner les expressions :
a) du moment cinétique en G ;
b) du moment dynamique en G.
La vitesse de l’avion s’étant à nouveau stabilisée à une valeur moindre que sa valeur initiale, se manifeste alors
le phénomène dit de rappel de propulsion.
Q5 :
Montrer, à partir des équations établies question 3, que les évolutions de CxA et CzA ont pour
dV
dγ
conséquence une diminution de la vitesse de l’avion soit
< 0 et une prise d’altitude soit
> 0 (γ
dt
dt
angle de pente de l’avion).
3 ANALYSE DE LA FONCTION DE SERVICE « PIVOTER LA GOUVERNE DE PROFONDEUR »
Dans la réalité, les centres de poussée des gouvernes de profondeur diffèrent de celui du PHR et sont
pratiquement confondus avec leur centre de gravité CPG comme l’illustre la Figure 5. Le moment résultant
M R = M R . yC maxi des forces aérodynamiques et du poids des gouvernes sur l’axe des charnières C a été
évalué, pour une vitesse maximale de 1090 km/h et un angle β = −30° à M R = 1,6.10 4 Nm .
G. Chapey
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PROBLEMES - Dynamique des solides
CPG
S2I
xA
PHR
C
β
FPG
xC
Figure 5 : Force de portance sur une gouverne
3.1 Vérification des caractéristiques du vérin.
Objectif : vérifier que les caractéristiques du vérin permettent de satisfaire la fonction technique FT1-1 :
« Générer un couple moteur autour de l'axe des charnières supérieur au couple résistant ».
Eléments du cahier des charges
Fonction
FT1-1
Critères
Niveaux
Moment MR maxi des actions aérodynamiques pour β = −30°
1,6.10 4 Nm
Pression d’alimentation HP mini/maxi
338/350 bars
Pression de retour BP
7 bars
Section utile du vérin S
57,1 cm2
Distance nominale L0 entre attachements en position neutre
700 mm
Longueur du bras de levier CB0
155 mm
Nota : En position neutre (voir Figure 6), β = 0° , L0 = AB0 = 700 mm et AB0 perpendiculaire à B0C .
xb
C
B0
30°
A
20°
Figure 6 : Gouvernes en position neutre ( β = 0° )
Le signe du moment M V exercé en C par le vérin sur la gouverne de profondeur dépend du sens de
déplacement de la tige du vérin. On note M R le moment résultant en C des forces aérodynamiques sur la
gouverne.
Q6 :
Indiquer dans le tableau ci-dessous que l’on reproduira sur feuille de copie les signes (+ ou -) de M V
et M R suivant que la tige du vérin sort ou rentre. En déduire les situations les plus défavorables.
G. Chapey
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− 30° ≤ β < 0°
Sortie de tige du
vérin
MV
Rentrée de tige du
vérin
MV
0° ≤ β < 20°
MR
MR
On considère que la tige du vérin rentre. On utilise les repères et notations suivants (voir Figure 7) :
•
R0(C, x0, y0, z0) :
Repère lié au PHR 0
•
R1(C, x1, y1, z1) :
Repère lié à la gouverne 1
•
R2(B, x2, y2, z2) :
Repère lié à la tige du vérin 2
•
R3(A, x3, y3, z3):
Repère lié au corps du vérin 3
x1
R
0
x0
C
1
β
2
3
B
0
A
B0
z0
L0 = B0A
x2, x3
z1
z2
ϕ x0
z3
Figure 7 : Repères associés
Le PHR a une liaison pivot d’axe (A, y0 ) avec le corps du vérin et une liaison pivot d’axe (C, y0 ) avec la
gouverne. La tige du vérin a une liaison pivot d’axe (B, y0 ) avec la gouverne et une liaison pivot glissant avec
le corps du vérin. L’angle ϕ = ( x0 , x3 ) < 0.
Q7 :
Déterminer, pour une pression minimale de 338 bars, le module de la force FV développée par le
vérin.
Q8 :
Les angles β et ϕ étant dépendants, démontrer rigoureusement la relation suivante liant ces deux
paramètres :
R (cos β − 1)
tan ϕ =
L0 − R. sin β
Q9 :
Donner l’expression du moment M V exercé par le vérin sur l’axe C des charnières en fonction de β et
ϕ.
G. Chapey
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Q10 : Calculer le moment exercé par le vérin sur l’axe des charnières C dans les deux cas suivants :
a) β = 0°
b) β = −30°
Conclure quant à la satisfaction ou non satisfaction de la fonction technique FT1-1.
31000
A titre indicatif, la Figure 8 ci-contre montre
l’évolution du moment exercé par le vérin en
rentrée de tige pour une pression de 350 bars.
30000
Mt (Nm)
29000
Figure 8 : Evolution du moment exercé par le
vérin pour une pression de 350 bars
28000
27000
26000
25000
-30
-20
-10
0
10
20
β ( °)
3.2 Analyse de la fonction technique FT1-2
On se propose d’analyser la réalisation de la fonction technique FT1-2 : « Transformer le mouvement de
translation de l'actionneur en mouvement de rotation de la gouverne autour de l'axe des charnières ».
Objectif : vérifier que la course du vérin est compatible avec le débattement des gouvernes.
Eléments du cahier des charges
Fonction
FT1-2
Critères
Niveaux
Distance nominale L0 entre attachements en position neutre
700 mm
Longueur du bras de levier R
155 mm
Course maxi de la tige du vérin à partir de la position neutre
± 90 mm
Section utile du vérin S
57,1 cm2
On utilise les repères et notations définis Figure page 19. On considère que β et ϕ sont liés par la relation :
R (cos β − 1)
tan ϕ =
L0 − R. sin β
Q11 : Démontrer que la longueur L=AB entre les attachements A et B du vérin pour une position β des
gouvernes est donnée par l’expression :
L = 2 R 2 + L0 − 2 R ( R cos β + L0 sin β )
2
Q12 : En déduire l’expression de la course x2 du vérin en fonction de β et vérifier qu’elle est compatible avec
les spécifications du cahier des charges pour β = −30° et β = 20° .
Q13 : La Figure 9 représente l’évolution de la course x2 du vérin en fonction de β. Elle autorise l’hypothèse
selon laquelle l’évolution de β en fonction de x2 est linéaire, c'est-à-dire de la forme β = K G .x2 avec β
en radians et x2 en mètres. Déterminer KG.
G. Chapey
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60
40
Course (m m )
20
0
-20
-40
-60
-80
-100
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
β (°)
Figure 9 : Evolution de la course x2 du vérin en fonction de β
4
ANALYSE DE LA FONCTION DE SERVICE « ASSERVIR EN POSITION LA GOUVERNE DE
»
On se limitera à l’asservissement en position de la servocommande d’une gouverne intérieure.
En raison des déformations locales dues aux actions auxquelles sont soumis le PHR et la gouverne, la distance
L entre les points d’attachements A et B (voir Figure 7) de l’unité de commande peut fluctuer. Bien qu’une
barre de renfort en limite considérablement l’importance, la connaissance de la position x2 de la tige du vérin
n’est pas suffisante pour déterminer avec certitude la position angulaire β des gouvernes. D’où une structure
avec deux boucles d’asservissement en position représentée Figure 10.
PROFONDEUR
CALCULATEUR
x2c
Correcteur
Correcteur
βc
x2m
βm
i
Servovalve
Q
x2
Vérin
Gouverne
β
Capteur
Capteur
Figure 10 : Boucle d’asservissement en position d’une servocommande
4.1
Fonction de transfert du vérin
4.1.1 Equation des débits
On note (voir Figure 11) :
•
x2 : la position de la tige du vérin par rapport à la position
neutre ;
•
Vi : volume de la chambre i (i = 1 ou 2) ;
•
S : section utile du vérin ;
•
Pi : pression dans la chambre i ;
•
Qi : débit entrant dans la chambre i.
YV1
Q1
P1, S, V0
Q2
P2, S, V0
x2
Figure 11 : Vérin en position neutre
G. Chapey
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On considère le vérin en position neutre, on a alors V1 = V2 = V0 .
Les équations de débit s’écrivent :
dx V dP
Q1 (t ) = S 2 + 0 1
dt
B dt
dx V dP
Q2 (t ) = S 2 − 0 2
dt
B dt
avec :
•
V0 dPi
: débit de compressibilité du fluide dans la chambre i ;
B dt
•
B : module de compressibilité du fluide ;
•
S : section utile du vérin.
On pose :
Q(t ) ≈ Q1 (t ) ≈ Q2 (t )
P(t ) = P1 (t ) − P2 (t )
Q14 : Démontrer alors la relation suivante :
Q(t ) = S
dx2 V0 dP
+
dt 2 B dt
(1)
4.1.2 Equations mécaniques
Chaque actionneur d’une unité de commande d’une gouverne de profondeur peut avoir deux modes de
fonctionnement :
•
le mode actif qui permet la mise en mouvement des gouvernes ;
•
le mode amortissement qui évite le flottement (flutter) de la gouverne à grande vitesse, phénomène du
aux variations de la répartition des pressions sur la gouverne et générant des oscillations pouvant se
transmettre à l'ensemble de la structure.
On considère le vérin en position neutre avec un angle d’inclinaison de la gouverne β = 0° (voir Figure 12).
On utilise les notations suivantes :
•
m2 : masse de la tige d’un vérin ;
•
IC : inertie de la gouverne autour de l’axe Cy2 ;
•
Fe : résultante des forces aérodynamiques appliquée au centre de poussée CPG ;
•
Fv = PS x2 : force engendrée par le vérin en mode actif ;
•
Fc = −c
•
c : coefficient d’amortissement visqueux ;
•
R : distance B0 C ;
•
d : distance CC PG .
G. Chapey
dx2 (t )
x2 : force engendrée par le vérin en mode amortissement ;
dt
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PROBLEMES - Dynamique des solides
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Hypothèse : On considère petit le mouvement de rotation β de la gouverne autour de la position neutre. Dans
x
ces conditions, on admettra que β = 2 .
R
On considère la Figure 12. Le système isolé comprend les deux vérins complets (tige et cylindre) et la
gouverne.
Q15 : Enoncer le théorème de l’énergie cinétique. Démontrer alors que l’on peut écrire l’équation
différentielle :
••
•
d
me x2 + c x2 = PS − Fe
(2)
R
I
avec me = 2m2 + C2 la masse équivalente ramenée sur l’axe des vérins.
R
YV1
PHR
C
Fv
CPG
A
PHR
Fe
B0
Fc
c
z2
x2
Figure 12 : Gouverne en position β = 0°
Problème N°4 : RUGOSIMETRE TRIDIMENSIONNEL à GRANDE VITESSE
Système développé par le laboratoire SATIE, à l’École Normale Supérieure de Cachan
La rugosimétrie est la mesure de l’état de surface des pièces mécaniques. L’ordre de grandeur des défauts
mesurés est le micron. Cette mesure des états de surfaces est aussi répandue et indispensable que la mesure des
caractéristiques dimensionnelles et géométriques des pièces mécaniques (longueur, orientation,
perpendicularité…). La figure 1 représente un relevé rugosimétrique tridimensionnel d’une partie d’une aube
de turbine de haute précision (à droite en fausses couleurs).
G. Chapey
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La mesure de rugosimétrie repose traditionnellement sur deux éléments distincts : le capteur, qui peut être
mécanique (palpeur) ou optique, et le traitement du signal et des données (algorithmes informatiques), qui
permet de traduire les mesures physiques de base, produites par le capteur, en données numériques
exploitables, représentatives des caractéristiques physiques de la surface analysée.
De la conjonction des caractéristiques techniques du capteur et du traitement numérique vont découler les
qualités essentielles du rugosimètre : sa rapidité ; sa résolution ; sa précision ; son amplitude de mesure.
Lorsque l’ensemble est suffisamment rapide, il peut être utilisé pour réaliser des relevés de surface (z fonction
de (x, y), ou « mesure 3D ») et non plus simplement des profils linéaires (z fonction de x, ou « mesure 2D »).
Si, à cette exigence de rapidité, on ajoute celle de précision ainsi que celle de grande amplitude de mesure, on
arrive, avec les technologies actuellement disponibles, à des capteurs très chers (de l’ordre de 50 000 euros).
Cela fait que le développement de la rugosimétrie 3D de précision a été, jusqu'à présent, assez lent. Le projet,
dont est tiré le sujet, a pour ambition de développer et de mettre sur le marché un rugosimètre 3D de précision
à faible coût.
STRUCTURE GENERALE DU RUGOSIMETRE A GRANDE VITESSE
Le principe d’un capteur opto-mécanique (association d’un capteur optique et d’un capteur mécanique) a été
retenu, pour ce prototype. Il est décrit succinctement ci-après (figure 2) :
- un capteur optique assure une résolution verticale
comparable à celle des meilleurs capteurs
mécaniques actuels (< 10 nm). Ce capteur, de faible
amplitude de lecture (20 µm), permet une mesure
rapide des hautes fréquences spatiales (variations
rapides) des profils rugosimétriques mesurés ;
- un asservissement mécanique vertical à grande
amplitude (environ 10 mm) permet à la tête optique
de suivre les moyennes et basses fréquences spatiales
(variations plus lentes) des profils. Un second
capteur donne la position verticale de la tête optique.
Le profil complet sera obtenu par la somme des signaux fournis par les deux capteurs. Le déplacement vertical
du capteur optique est assuré par une Unité de Rotation (U.R.) portée par le coulisseau (2) (figure 3) :
Ce capteur opto-mécanique est lui-même déplacé au-dessus de la surface à mesurer par une Unité de
Translation (U.T.) à vitesse régulée (figure 3), ce qui permet d’obtenir un « profil 2D », z fonction de x. La
vitesse de déplacement visée par ce prototype est de 20 mm.s-1. Dans sa future version 3D, une seconde U.T.
de direction ( y ) permettra de donner une image de la surface par une juxtaposition de profils 2D : on
«scannera» la surface.
G. Chapey
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PROBLEMES - Dynamique des solides
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CALCULS PREVISIONNELS DES ACTIONNEURS
Les calculs d’avant-projet doivent permettre de dimensionner les différents composants qui seront utilisés et de
définir certains paramètres de réglages (paramètres d’asservissement…). Les calculs prévisionnels visent, dans
un premier temps, à déterminer les équations dynamiques qui permettront de déterminer les couples moteurs
(minimum) des différents actionneurs en fonction des caractéristiques géométriques, massiques et inertielles
des pièces ainsi que des conditions d’utilisation.
Dans toute cette partie, nous considérerons que seules l'unité de translation ( x ) et l’unité de rotation sont
actionnées.
MISE EN PLACE DU PROBLEME
La figure 5 présente le schéma et le paramétrage qui sera utilisé pour cette partie de l’étude. Ce système
comporte quatre pièces :
- le bâti (0) : On associe à cette pièce le repère ( R0 = (O, x0 , y 0 , z0 ) ) que l’on considère galiléen ;
- le rotor (1) :
- moment d’inertie selon l’axe (O, x0 ) noté J1 avec J1 =10− 6 kg.m2 ;
- centre d’inertie (G1), avec OG1 = − a.x0 ;
- la liaison pivot (L0/1), dont le paramètre angulaire est ϕ = ( y 0 , y1 ) , présente un frottement visqueux de
coefficient f1, créant un moment MO 0→1 = − f1.ϕɺ.x0 (f1 = 5.10−5 Nm /(rd .s −1 ))
- un moteur (M1) gère le mouvement de rotation de (1) par rapport à (0). Le couple moteur appliqué sur
(1) est noté : Cmoteur 1→1 = Cm1.x0
- le coulisseau (2) :
- masse : m2 avec m2 = 2 kg ;
- centre d’inertie (G2),
- la liaison hélicoïdale (L1/2) (supposée parfaite) possède un pas noté ( pa ) ( pa = 0,5 mm/tour ). Ce pas
est à droite (sens classique) ;
- la liaison glissière (L0/2), dont le paramètre de position (translation) est noté (x) : OA = x.x0 , présente un
frottement visqueux de coefficient f2 , créant une force : F0→2 = − f2 .xɺ.x0 (f2 = 5N /(m.s −1 ))
G. Chapey
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- l’ensemble (3) :
- masse : m3 (cette masse sera déterminée dans le sujet) ;
- centre d’inertie (G3) : AG3 = r .x3 ;
A

- matrice d’inertie en (A) : I ( A,3) =  −F
 −E
−F
−E 

B −D 
−D C ( A, x , y ,z )
3 3 3
- la liaison pivot (L2/3), de paramètre angulaire θ = ( x0 , x3 ) , présente un frottement visqueux de
coefficient f3 , créant un moment : M A 2→3 = − f3 .θɺ.y 0
- un moteur (M3) gère la rotation de l’ensemble (3) par rapport à (2). Le couple moteur appliqué sur (3)
est noté : Cmoteur 3 →3 = Cm 3 .y 0
- un système d’équilibrage (ressort de torsion) permet à la tête optique d’être horizontale (θ = 0°) en
position de repos, c’est-à-dire lorsque le moteur (M3) n’est pas alimenté. Ce système d’équilibrage
exerce sur l’ensemble (3) un couple de rappel noté : C = Cr .y 0 , avec Cr = − (Ktors . θ + C0 ) . Le
terme C0 permet d’équilibrer le moment en (A) créé par l’action de pesanteur sur (3) lorsque (θ = 0°).
POSITIONNEMENT DU CENTRE D’INERTIE
Comme le montre la figure 6, l’ensemble (3) est
constitué de plusieurs solides en liaison encastrement :
- le bras (4) lié au moteur couple,
- la tête optique (5),
- un contrepoids (6).
Ce contrepoids (6) a été ajouté pour assurer que le
centre d’inertie (G3 ) soit sur l’axe (A, x3 ).
Les caractéristiques géométriques de l’ensemble étudié
sont données ci-après :
- bras (4) du moteur couple : masse : m4=10-3kg ; centre d’inertie : AG4 = − b4 .y 0 avec b4 = 4 mm ;
- tête optique (5) : masse : m5 = 5.10-3 kg ; centre d’inertie : AG5 = a5 .x3 + b5 .y 3 − c5 .z3 avec a5 = 40 mm ;
b5 = 0,8 mm ; c5 = 10 mm ;
- contrepoids (6) : masse : m6 (à déterminer à la question suivante) ; centre d’inertie : AG6 = a6 .x3 + c6 .z3 avec
a6 = 10 mm ; c6 = 25 mm.
Q1 -
Déterminez l’expression littérale de la masse du contrepoids (6) qui assure que le terme (c) de
l’expression de la position du centre d’inertie ( AG3 = r .x3 − b.y 3 + c.z3 ) est nul. Réalisez l’application
numérique.
Montrez que, dans ce cas, r = 27,5 mm, avec AG3 = r .x3 .
G. Chapey
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PROBLEMES - Dynamique des solides
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EQUATIONS DYNAMIQUES
Le système étudié possède deux mobilités, il est donc nécessaire de déterminer deux équations pour pouvoir
atteindre les grandeurs recherchées, le couple moteur dans l’actionneur de l’unité de rotation (Cm3) et le couple
moteur dans l’unité de translation (Cm1) en fonction des caractéristiques dimensionnelles et matérielles des
pièces, des lois de mouvement et des dissipations dans les liaisons.
Pour obtenir la première équation, vous êtes obligé d’appliquer la méthode demandée.
Q2 -
Isolez l’ensemble (3), puis écrivez le théorème du moment dynamique en (A) en projection sur ( y 0 ).
Ecrivez obligatoirement votre résultat sous la forme d .θɺɺ + e.xɺɺ + f .θɺ + g.θ = h (les termes d, e, f, g et h
peuvent dépendre de θ).
Pour déterminer la relation permettant de calculer le couple moteur (Cm1), vous devrez appliquer 2 méthodes
différentes, mais vous procéderez obligatoirement en deux étapes (questions n°3 et n°4). Cette relation peut
nécessiter l’écriture de plusieurs équations, mais elle ne doit pas, au final, contenir d’inconnues mécaniques
transmissibles dans les liaisons (L0/1, L1/2, L2/3, L0/2).
Q3 -
Sans faire de calcul, donnez, très clairement et précisément, les 2 démarches qui vous permettent
d’obtenir le couple moteur (Cm1). Précisez quel(s) est (sont) le(s) système(s) étudié(s), quel(s) est(sont)
le(s) théorème(s) ou principe(s) utilisés, quels sont les termes qu’il faut calculer. Justifiez clairement
vos choix.
Q4 -
Pour les 2 démarches possibles, réalisez les calculs, que vous avez présentés à la question précédente
et donnez la relation recherchée. Dans cette équation, le paramètre (ϕ), et ses dérivées ne doivent pas
intervenir. Seuls les paramètres (θ), (x) et leurs dérivées sont autorisés.
DETERMINATION DES COUPLES MOTEURS
Les deux équations que vous venez d’obtenir aux
questions n°2 et n°4 sont des équations différentielles
couplées et non linéaires. Pour résoudre
algébriquement ce système d’équations, nous allons
étudier le mécanisme dans des conditions particulières.
Lorsque le point focal de la tête optique suit le profil moyen de la surface, l’angle (θ) varie au voisinage de
0°.
Nous supposons également que les termes de la forme a.θɺɺ et b.θɺ2 sont négligeables devant le terme en xɺɺ .
La loi de commande de l’unité de translation est représentée à la figure 7. La vitesse nominale (constante)
recherchée est notée (V0 ). L’accélération maximale est notée (Ac Max).
Q5-
En utilisant les simplifications mentionnées, déterminez, dans la phase d’accélération, puis dans la
phase de déplacement à vitesse constante, les expressions littérales de (Cm1) et (Cm3).
Calculez la valeur du couple Cm1 maximal (V0=0,2m.s-1 et AcMax= 0,2m.s-2)
Le choix des moteurs (M1 et M3) se fera à partir d’un cahier des charges, dont le couple maximal transmissible
par les moteurs est une des caractéristiques. Il existe bien d’autres spécifications comme, la vitesse et
l’accélération maximale, la surintensité supportée, l’encombrement axial et longitudinal …
G. Chapey
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