Transcript Recueil exercices

Exercices UE MAT121 : Introduction à
l’algèbre linéaire
Jacques Gasqui
Janvier 2014
1
Systèmes linéaires.
Exercice 1.1
1. Déterminer suivant les valeurs du paramètre a les solutions des systèmes linéaires suivants :
x+y =3
x − 2y = 2
x + ay = 2
ax + y = a.
x − ay = a,
ax + y = 2,
2. Déterminer suivant les valeurs des paramètres réels a et b les solutions
des systèmes linéaires suivants :
ax + by = 1
ax + 8y = b
x − ay = 2
bx + ay = 1.
x − by = a,
ax + y = b,
3. Interprétez les résultats des questions précédentes en termes d’intersection de droites dans le plan.
Exercice 1.2
On considère, pour θ réel, le système linéaire réel
cos θ x − sin θ y = X
(S)
sin θ x + cos θ y = Y
1. Vérifier que pour tous X, Y, ce système possède une unique solution
(x, y) que l’on déterminera.
2. Montrer que (x, y) est solution de (S) si et seulement si
eiθ (x + iy) = X + iY.
En déduire une autre manière de trouver la solution de (S).
3. Pouvez-vous interpréter géométriquement les résultats précédents ?
1
Exercice 1.3
Résoudre les systèmes linéaires suivants :



−y +3z = 2
 x −2y +3z = 5  x +2y −z = 5  x
2x −4y +z = 5
2x +y +z = 10
−x +4y +z = −1



3x −5y +2z = 8,
x
+2z = 0,
3x −2y −3z = 4,


−y +z
 2x +y −z = 3 
x −y +z = 2
−5x +2y −z


x +y +2z = 0,
x
−2z


 10x +9y +z = −50  10x
9x +10y +5z = 40
9x


x
+5y +9z = 180,
x

=1
y
−2z = 3

= −1
−2x −3y +z = 2

= 4,
3x
+y −2z = 0,
+9y +z = −50
+10y +5z = 41
+5y +9z = 180.
Exercice 1.4
Résoudre les

 x −2y
2x −4y

3x −6y
systèmes linéaires suivants :


−y +3z = 0
+3z = 0  x +2y −z = 0  x
−x +4y +z = 3
2x +y −2z = 0
+z = 0


−3y −4z = −3,
x
−z = 0,
+2z = 0,



y
−2z = 3
−y +z = 1


 2x +y −z = 0
−2x −3y +z = −2
3x +2y −z = 2
x −y +z = 1



3x
+y −3z = 1.
x
−2z = −1,
x +2y −3z = −2,
Exercice 1.5
On considère dans l’espace muni de ses coordonnées canoniques x, y, z trois
plans P1 , P2 , P3 . Déterminer les intersections
P1 ∩ P2 , P1 ∩ P3 , P2 ∩ P3 , P1 ∩ P2 ∩ P3 ,
dans les situations suivantes
– Les équations respectives de P1 , P2 , P3 sont
x + ay + z = 1, x − 2y + z = 0, x − 3y + 2z = 1,
où a est un paramètre réel.
– Les équations respectives de P1 , P2 , P3 sont
2x − 3y + z = 4, y − z = −2, 5x − 2y − 3z = a,
où a est un paramètre réel.
2
Exercice 1.6
1. Déterminer les valeurs de a pour lesquelles

 x +y −z
x +2y +az
(S)

2x +ay +2z
le système linéaire
=1
=2
= 3,
– (i) n’ait pas de solution ;
– (ii) ait une infinité de solutions ;
– (iii) ait une unique solution.
2. Décrire les solutions de (S) dans les cas (ii) et (iii).
3. Interprétez géométriquement les situations (i) et (ii) en termes d’intersections de plans.
Exercice 1.7
Pour quelles valeurs de a, b, c le système linéaire suivant admet-il au moins
une solution ?

 x +2y −3z = a
3x +8y −14z = b
(S)

2x
+4z = c.
Résoudre dans le cas a = 1, b = 2, c = 4.
Exercice 1.8
Interprétez géométriquement les résultats des exercices 1.3 et 1.4 en termes
d’intersection de trois plans dans l’espace.
Exercice 1.9
Résoudre les systèmes linéaires

x
−y −z −t



2x
−z +3t
3x +3y +2z



−x −2y +z −t

 3x +4y
6x +8y

9x +12y

x



x
2x



x
suivants

x



x
x



x
=3
=9
=4
= 0,
−y
+y
+y
−y
+z
−z
+z
−z
−t
−t
−t
+t
=1
= −1
=0
= 2,

 x −2y +z +t = −2
2x −y −z −t = −1

x +y +z +t = −8,

y
+z = 5



x
+z = 4
x
+y
+2z
=9



−x +y
= 1.
+z +2t = 3
+2z +5t = 7
+3z +10t = 13,
+2y −3z = 4
+3y −z = 11
+5y −5z = 13
+4y +z = 18,
3
Exercice 1.10
Déterminer suivant les valeurs du paramètre réel m les solutions des systèmes
linéaires suivants :


+z = 0
+z = 0
 mx −y
 mx +y
−x +my +z = 0
x +my +z = 0


x
+y +mz = 0,
x
+y +mz = 0.
Exercice 1.11
On considère le système linéaire

αx +y
+z
+t



x +αy +z
+t
(S)
x
+y
+αz
+t



x
+y
+z +αt
=a
=b
=c
= d.
1. Résoudre ce système pour α = 1.
2. On suppose dans la suite que α 6= 1. Échelonner le système (S). En déduire la valeur de α pour laquelle (S) a une équation de compatibilité.
Résoudre alors (S) dans cette situation.
3. Résoudre (S) dans les autres cas.
Exercice 1.12
Si a, b, c, d sont des nombres réels, on considère le système linéaire

2x +y +z
=a



x +2y
+t = b
(S)
x
+2z +t = c



y
+z +2t = d.
Quelle condition faut-il mettre sur le second membre pour que (S) ait des
solutions ? Déterminer l’ensemble des solutions de (S), lorsque a = 1, b =
2, c = 1, d = 2.
4
Exercice 1.13
Si a, b sont des nombres réels, résoudre le système linéaire homogène

x +2y +z +t = 0



x
−y +2z +t = 0
(H)
3x
+3y
+4z +3t = 0



−x +4y +az +bt = 0.
Exercice 1.14
Résoudre les systèmes linéaires suivants dans C :
x −iy = 1
ix −iy = 1 + i
(1 + i)x
−iy
=1
ix −y = 1,
ix +y = 1 − i,
ix
+(1 − i)y = −1.
Exercice 1.15
Si j = ei2π/3 , résoudre dans C le système linéaire

+z = a
 x +y
x +jy +j 2 z = b

x +j 2 y +jz = c.
Quelles conditions faut-il mettre sur a, b, c pour que la solution du système
soit réelle ?
Exercice 1.16
On se propose de résoudre le système
inconnues

x1




 x2
...
(Sn )


x

n−1


xn
linéaire homogène de n équations à n
+x2
+x3
...
+xn
+x1
=0
=0
...
=0
=0
1. Trouver les solutions de (S2 ), (S3 ), (S4 ), (S5 ).
2. Si n est impair, montrer que la seule solution de (Sn ) est la solution
triviale x1 = x2 = ...xn = 0.
3. Trouver toutes les solutions de (Sn ), lorsque n est pair.
Exercice 1.17
Voici cinq questions comportant chacune 5 affirmations, dont 2 sont vraies
et 3 sont fausses. Déterminer les affirmations qui sont vraies et justifier vos
réponses.
5
Question 1.
– 1-a : Si un système a 4 équations et 2 inconnues alors il est impossible.
– 1-b : Si un système a 1 équation et 3 inconnues, alors il a une infinité
de solutions.
– 1-c : Si un système a 3 équations , 2 inconnues et un second membre
nul, alors il a au moins une solution.
– 1-d : Si un système a 2 équations, 2 inconnues et un second membre
nul , alors il a exactement une solution.
– 1-e : Si un système a 3 équations , 2 inconnues et un second membre
nul, alors il a une infinité de solutions.
Question 2. Soit (S) un système de 2 équations à 3 inconnues.
– 2-a : Le système (S) a forcément une infinité de solutions.
– 2-b : Si les deux équations ont le même premier membre, alors le
système (S) a une infinité de solutions.
– 2-c : L’ensemble des solutions de (S) est forcément une droite affine.
– 2-d : Le système (S) est impossible si et seulement si les équations
sont celles de deux plans parallèles non confondus.
– 2-e : Si le système (S) a une solution, alors il en a une infinité.
Question 3. Soit (S) un système linéaire et (H) le système homogène associé.
– 3-a : Le système (H) a forcément au moins une solution.
– 3-b : Si le système (S) est impossible, alors le système (H) a une
infinité de solutions.
– 3-c : Si le système (S) a une infinité de solutions, alors le système (H)
a une infinité de solutions.
– 3-d : Si s0 et s1 sont deux solutions de (S), alors 3s0 − 2s1 est une
solution de (H).
– 3-e : Si s0 et s1 sont deux solutions de (H), alors 3s0 − 2s1 est une
solution de (S).
Question 4. Soit (S) un système linéaire que l’on résout par la méthode de
Gauss. On note (SE ) le système sous forme échelonnée.
– 4-a : Si (S) a 2 équations et 3 inconnues, alors dans (SE ) aucune
équation n’a son premier membre nul.
– 4-b : Si (S) a 3 équations et 2 inconnues, alors dans (SE ) au moins
une équation a son premier membre nul.
– 4-c : Si (S) a 4 équations et 3 inconnues, alors dans (SE ) exactement
une équation a son premier membre nul.
– 4-d : Si dans (SE ), toute équation dont le premier membre est nul
a aussi un second membre nul, alors le système (S) au au moins une
solution.
– 4-e : Si (S) a une solution unique, alors dans (SE ) aucune équation
n’a son premier membre nul.
6
Question 5. Soient a et b deux paramètres réels. On considère le système
(S)

 x −y +z = 1
ay +z = 1
(S)

bz = 2a.
On note S l’ensemble des solutions de (S).
– 5-a : Pour (a, b) = (1, 1), le système (S) est sous forme échelonnée.
– 5-b : Si (a, b) = (0, 1), alors S est vide.
– 5-c : Si (a, b) = (0, 0), alors S est un plan affine.
– 5-d : Si b 6= 0, alors pour tout a, S est réduit à un point.
– 5-e : Si a = 0, alors pour tout b, S est l’ensemble vide.
7
2
Calcul matriciel
Exercice 2.1
On considère les

1
2
 0 −1
A=
 1
2
−1
8
matrices carrés d’ordre 4 suivantes


0
1 −1
5
1 −2


−3
1 −3
3
3
3 
B=
 0 −1 −1 −2
1 −2 
1
1
3
1
5
0

2
0 1
2


0 

 C =  −1 −2 2

 2
0 1 −1 
−2
1 0 −4


Calculer A + B, B + 2C, 2A + C, puis AB et BA.
Exercice 2.2
On considère les matrices suivantes






0
1 −1
1
2 1
1
0 1
2
 2

1 −3 
 1 −2 2
0 
A =  0 −1 3  B = 
 1 −1 −1  C =
0
0 1
2
2 1 −1
1
1
3
1. Quels produits peut-on faire en prenant 2 de ces matrices ? Quels sont
ceux qui donnent des matrices carrées.
2. Calculer BAC et CBA.
3. Déterminer la transposée D de la matrice C, et dire quels sont les
produits possibles (à gauche ou à droite) de D avec les matrices A, B, C
de la première question.
Exercice 2.3
On considère la matrice carrée d’ordre

a
M = b
c
3:

b c
c a ,
a b
où a, b, c sont trois nombres complexes.
1. Montrer que M 2 est de la forme


λ α α
M2 =  α λ α  ,
α α λ
où λ, α sont des nombres complexes que l’on déterminera.
2. Que peut-on dire de M 2 , et de M , lorsque a = b = 0, c = 1, ou bien
b = c = 0, a = 1, ou encore a = c = 0, b = 1 ? Pouvait-on prévoir ce
résultat ?
8
3. On suppose dans cette question que
a = 1, b = ei2π/3 , c = b2 .
Déterminer M 2 .
Exercice 2.4
1. Écrire sous forme

y



x
x +y



−x +y
matricielle AX = Y les systèmes

+z = 5 
x
+y +z


+z = 4
x −2y +z
,
+2z = 9 
−x +y +2z


= 1.
−x +y +3z
linéaires suivants
−t = 1
−3t = 4
=9
−t = 1.
2. On considère les matrices suivantes :




 
 


3
1 1
0
2 1
x
1
0
1 3  , X =  y  , Y1 =  2  , Y2 =  1 
A =  2 −1 3  , B =  1
1 −1 1
2 −1 2
z
1
−1
Écrire les équations des systèmes linéaires
(S1 ) AX = Y1 , (S2 ) BX = Y2 .
3. Mettre sous forme échelonnée les matrices




3
1 1 1
0
2 1
0
˜= 1
1 3
1 ,
A˜ =  2 −1 3 2  , B
1 −1 1 1
2 −1 2 −1
et en déduire l’ensemble des solutions des systèmes linéaires (S1 ) et
(S2 ).
Exercice 2.5
1. Mettre sous forme échelonnée la

1
 0
A=
 1
1
matrice
2
1
0
1
1
1
1
1

0 1
0 1 
,
2 a 
1 b
où a, b sont des paramètres réels.
2. En déduire la condition nécessaire et suffisante sur a, b pour que le
système linéaire

x +2y +z
=1



y
+z
=1
(S)
x
+z
+2t
=a



x +y +z +t = b
ait des solutions. Déterminer l’ensemble des solutions de (S) lorsque
a = b = 1.
9
Exercice 2.6
Résoudre le système linéaire

2x
+z −t = 1



x +y
−t = 1
(S)
2x +y
+t = −1



x
−z
= −1
˜ à 4 lignes et 5 colonnes.
en échelonnant une matrice A,
Exercice 2.7
Résoudre le système linéaire

 x −y +z −t = 2
−x +y +3z −t = 1
(S)

2x +y
+2t = 1
˜ à 3 lignes et 5 colonnes.
en échelonnant une matrice A,
Exercice 2.8
On considère le système linéaire

x +2y −z = 1



x
−y +2z = −1
(S)
−x
+3y
−z = 1



2x +y +z = a,
où a est un paramètre réel. En échelonnant une matrice carrée d’ordre 4,
montrer que l’ensemble des solutions de (S) est vide si a 6= 0, et qu’il y a
une solution unique que l’on déterminera si a = 0.
Exercice 2.9
On considère la matrice carrée d’ordre

1
A= 0
1
3

0 1
2 0 
0 1
On se propose de calculer les puissances de A, à savoir An = A...A
| {z }, où n est
nf ois
un entier ≥ 1.
1. Calculer A2 , A3 , A4 . Comment déduit-on A2 de A, A3 de A2 et A4 de
A3 ? Quelle formule de récurrence peut-on imaginer entre An+1 et An ?
2. Montrer que An = α(n)A, où α(n) est un entier que l’on déterminera.
10
Exercice 2.10
Pour tout nombre réel θ, on pose
cos θ − sin θ
R(θ) =
.
sin θ
cos θ
1. Calculer le produit R(θ1 )R(θ2 ), pour tous réels θ1 , θ2 .
2. En déduire que (R(θ))n = R(nθ), pour tout entier n ≥ 0.
3. Vérifier que R(0) est la matrice identité d’ordre 2 et en déduire que
R(θ) est inversible d’inverse R(−θ).
4. Soient a et b des nombres réels, avec b 6= 0. On considère la matrice
a −b
A=
.
b
a
Montrer qu’il existe un unique couple (ρ, θ), avec ρ > 0 et θ ∈]0, 2π[,
tel que A = ρR(θ).
5. Calculer A17 , lorsque A est l’une des matrices suivantes :
√ −1 − 3
1 −1
√
,
.
1
1
3
−1
Exercice 2.11
Si a est un réel, considère la matrice carrée

1 a

0 1
M (a) =
0 0
d’ordre 3

a
0 
1
1. Si a, b sont des réels, Calculer le produit matriciel M (a)M (b).
2. En déduire que M (a) est inversible. Quelle est son inverse ?
3. En déduire par récurrence sur l’entier n ≥ 0, l’expression de la puissance n-ème M (a)n de la matrice M (a).
Exercice 2.12
On considère la matrice carrée d’ordre 3


1
2 1
A =  0 −1 3 
0
0 1
1. Calculer A2 , A3 , A4 , A5 .
11
2. On se propose maintenant de calculer toutes les puissances de la matrice A.
– (i) Montrer par récurrence sur l’entier n que


1 0 8n
A2n =  0 1 0  .
0 0 1
– (ii) En déduire que

A2n+1

1
2 8n + 1
3 .
=  0 −1
0
0
1
Exercice 2.13
Calculer les puissances de la matrice


0 0 1
A= 0 2 0 
1 0 0
(Comme dans l’exercice précédent,on distinguera les puissances paires et les
puissances impaires).
Exercice 2.14
Parmi les matrices suivantes, déterminer celles qui sont inversibles et calculer
l’inverse de celles qui le sont ;




2 −1
2
2 −1
1
1
3  , B =  −1
2 −1  ,
A= 1
−1
1 −1
0
3 −1






1 0
1
1 −1 2
2 −1
3
0 ,D =  3
2 3 ,E =  1
2 −1 
C= 2 2
1 0 −1
1
2 1
−1
1 −2
Exercice 2.15
On considère la matrice carrée d’ordre 3


2 −4 3
A =  1 −3 3 
0 −1 2
1. Vérifier que A est inversible et calculer son inverse.
12
2. Résoudre le système linéaire

 2x −4y +3z = a
x −3y +3z = b

−y +2z = c,
où a, b, c sont trois réels arbitraires.
Exercice 2.16
On considère les matrices carrées d’ordre



1
2 1
0
1
1
A =  0 −1 3  B =  2
0
0 1
1 −1
3 suivantes :



−1
1
0 1
−3  C =  1 −2 2 
−1
2
2 1
1. Examiner si ces matrices sont inversibles et déterminer leurs inverses
lorsque c’est possible.
2. Déduire des calculs précédents la solution générale du système linéaire

y−z =u

2x + y − 3z = v

x − y − z = w,
où u, v, w sont des réels quelconques.
3. En utilisant encore les calculs faits à la première question, donner la
condition sur u, v, w pour que le système

+z =u
 x
x − 2y + 2z = v

2x + 2y + z = w,
ait des solutions.
Exercice 2.17
La matrice

1
1
1
1
 1 −1
1 −1 

A=
 1
i −1 −i 
1 −i −1
i

est-elle inversible dans M4 (C) ?
Exercice 2.18
On considère une matrice
A=
a b
c d
de M2 (C).
13
.
1. Montrer que
A2 − (a + d)A + (ad − bc)I = 0,
où I est la matrice identité d’ordre 2.
2. En déduire que si ad−bc 6= 0, alors A est inversible. Expliciter l’inverse
de A.
3. Si
A1 =
a1 b1
c1 d1
, A2 =
a2 b2
c2 d2
.
sont deux matrices quelconques, on pose
α β
A1 A2 =
.
γ δ
Montrer que
αδ − βγ = (a1 d1 − b1 c1 )(a2 d2 − b2 c2 ).
4. En déduire que la réciproque de la question 2 est vraie et donc que la
matrice A est inversible si et seulement si ad − bc 6= 0.
14
3
Espaces vectoriels de dimension finie
Exercice 3.1
0n considère dans l’espace vectoriel R3 , muni de sa structure canonique d’espace vectoriel réel. Parmi les sous-ensembles suivants dire ceux qui sont des
sous-espaces vectoriels et justifier vos réponses :
– a) {(x, y, z) ∈ R3 ; x + y + z = 0.}
– b) {(x, y, z) ∈ R3 ; x − 2y + 3z = 1.}
– c) {(x, y, z) ∈ R3 ; x = 0 ou y = 0.}
– d) {(x, y, z) ∈ R3 ; x2 + y + z = 0.}
– e) {(x, y, z) ∈ R3 ; xyz = 0.}
– f) {(x, y, z) ∈ R3 ; x ≤ y ≤ z.}
– g){(x, y, z) ∈ R3 ; x = 2a + b, y = −a + 2b, z = 3a + 5b, où a, b ∈ R.}
– h) L’intersection de deux plans vectoriels. La réunion de deux plans
vectoriels. La réunion de deux droites vectorielles.
Exercice 3.2
On représente ici les vecteurs de l’espace Rn comme des vecteurs colonne


x1


X =  ...  .
xn
Soit A une matrice à m lignes et n colonnes, à coefficients réels. Parmi les
sous-ensembles suivants dire ceux qui sont des sous-espaces vectoriels et justifier vos réponses :
– a) {X ∈ Rn ; AX = 0.}
– b) {X ∈ Rn ; AX = 2X.}
– c) {X ∈ Rn ; AX = Y, où Y est un vecteur colonne non nul donné de Rm .}
– d) Dans le cas où m = n : {X ∈ Rn ; t XAX = 0.}
Exercice 3.3
Rappeler quelle est la structure canonique d’espace vectoriel de l’ensemble
S des suites à valeurs réelles, et indiquer parmi les sous-ensembles suivants
de S, ceux qui sont des sous-espaces vectoriels et justifier vos réponses :
– a) Le sous-ensemble des suites bornées.
– b) Le sous-ensemble des suites monotones.
– c) Le sous-ensemble des suites convergentes.
– d) Le sous-ensembles des suites qui convergent vers 0.
– e) Le sous-ensemble des suites qui convergent vers 1.
15
Exercice 3.4
Rappeler quelle est la structure canonique d’espace vectoriel de l’ensemble
F des fonctions définies sur R, à valeurs réelles, et indiquer parmi les sousensembles suivants de F, ceux qui sont des sous-espaces vectoriels et justifier
vos réponses :
– a) Le sous-ensemble des fonctions f, telles que f (1) = 0.
– b) Le sous-ensemble des fonctions telles que f (1) = 1.
– c) Le sous-ensemble des fonctions telles que f (0) = f (1) = 2.
– d) Le sous-ensemble des fonctions telles que f (0) = f (1).
R1
– e) Le sous-ensemble des fonctions continues telles que 0 f (t) dt = 0.
– f) Le sous-ensemble des fonctions solutions de l’équation différentielle
y 00 + 3y 0 + 2y = 0.
– g) Le sous-ensemble des fonctions solutions de l’équation différentielle
y 00 + xy 0 + y = sin x.
– h) Le sous-ensemble des fonctions de période 2π.
Exercice 3.5
Déterminer dans l’espace vectoriel complexe C[X] des polynômes à une indéterminée, à coefficients complexes, les sous-ensembles qui sont des sousespaces vectoriels et justifier vos réponses :
– a) Le sous-ensemble des polynômes P tels que P (0) = 0.
– b) Le sous-ensemble des polynômes P tels que P (0) = 1.
– c) Le sous-ensemble des polynômes P tels que P (0) soit réel.
– d) Le sous-ensemble des polynômes pairs.
– e) Le sous-ensemble des polynômes de degré 4.
– f) Le sous-ensemble des polynômes de degré ≤ 4.
– g) Le sous-ensemble des polynômes multiples de X 2 + 1.
– h) Le sous-ensemble des polynômes multiples de X 2 + 1 et X 2 − 1.
– k) Le sous-ensemble des polynômes multiples de X 2 + 1 ou X 2 − 1.
– i) Le sous-ensemble des polynômes P tels que P (X) = P (1 − X).
Exercice 3.6
Vérifier que les sous-ensembles suivants de l’espace vectoriel des matrices
carrées d’ordre n, à coefficients réels, sont des sous-espaces vectoriels :
– a) Le sous-ensemble des matrices diagonales.
– b) Le sous-ensemble des matrices triangulaires supérieures.
– c) Le sous-ensemble des matrices symétriques.
– d) Le sous-ensemble des matrices, dont la somme des termes diagonaux
(trace) est nulle.
16
Exercice 3.7
On considère ici E = C comme espace vectoriel réel. Parmi les sous-ensembles
de E, déterminer ceux qui sont des sous-espaces vectoriels (réels) :
– a){z; Re(z) = 1}.
– b){z; |z| = 1}.
– c){z; Re(z) = Im(z)}.
– d){z; Re[(2 − 3i)z] = 0}.
– e){z; 2¯
z = −3z}.
Exercice 3.8
1. Parmi les familles suivantes de vecteurs de R3 , lesquelles sont libres,
lesquelles ne le sont pas et pourquoi :
F1
F2
F3
F4
F5
= {(0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0)},
= {(0, 1, −1), (1, 0, −1), (1, −1, 0)},
= {(0, 0, −1), (1, 2, 1), (1, 1, 1)},
= {(1, 1, 2), (−1, 0, 1), (3, 1, 0)},
= {(−1, 2, −3), (1, 3, −2), (2, 1, 1), (4, −2, 5)}.
2. Parmi les familles de la question précédente, lesquelles sont génératrices, lesquelles ne le sont pas et pourquoi.
Exercice 3.9
1. Parmi les familles suivantes de vecteurs de R4 , lesquelles sont libres,
lesquelles ne le sont pas et pourquoi :
F1
F2
F3
F4
= {(0, 0, 1, 1), (1, 0, 0, 1), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0)},
= {(1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 1), (1, 0, 1, 1), (0, 1, 1, 1)},
= {(1, 0, −1, 2), (0, 2, 1, 3), (1, 1, 1, 1), (2, −1, −1, 0)},
= {(1, 1, 2, −2), (−1, 0, 1, 0), (3, −1, 0, −2), (0, −1, −2, 3)}.
2. Parmi les familles de la question précédente, lesquelles sont génératrices, lesquelles ne le sont pas et pourquoi.
Exercice 3.10
Dans les deux exercices précédents, déterminer la dimension (rang) du sousespace vectoriel engendré par chacune des familles considérées.
17
Exercice 3.11
1. Parmi les familles suivantes de vecteurs de C3 , déterminer celles qui
sont libres, et justifier vos réponses :
F1
F2
F3
F4
= {(0, i, 1), (−i, 0, 1), (i + 1, i − 1, 0)},
= {(1, 1 + i, −1), (1, i, −1), (0, −i, 0)},
= {(2, i, 1), (2 − 2i, 5, i), (1, 2, i)},
= {(i, 1, 0), (−1, 0, 1), (1, −2i, 1), (−1, i + 2, 2i)}.
2. Parmi les familles de la question précédente, lesquelles sont génératrices ?
Exercice 3.12
1. Montrer que
v1 = (1, 2, 1), v2 = (−1, 1, 1), v3 = (2, 1, 1)
est une base de R3 . Déterminer les coordonnées du vecteur w = (3, −2, 4)
dans cette base.
2. Montrer que
v1 = (1, 1, 2, 1), v2 = (1, 2, −1, −3), v3 = (0, 2, 1, 1), v4 = (1, 2, 0, −2)
est une base de R4 . Déterminer les coordonnées du vecteur w = (2, −2, 1, 5)
dans cette base.
Exercice 3.13
Dans l’espace vectoriel R3 [X] des polynômes de degré ≤ 3, montrer que les
familles suivantes son libres :
– a) {X, X − 1}.
– b) {X 2 , X 2 − 1}.
– c) {X 2 , (X − 1)2 , (X − 2)2 }.
– d) {X 3 , (X + 1)3 , (X − 1)3 }.
Pour chacune d’entre elles, décrire le sous-espace vectoriel qu’elles engendrent.
Exercice 3.14
1. Échelonner la matrice


1 0
1
A =  −2 1 −1  .
1 1
3
En déduire que les vecteurs
{v1 = (1, −2, 1), v2 = (0, 1, 1), v3 = (1, −1, 3)}
forment une base de R3 .
18
2. Échelonner la matrice

−1
1
2
0
 −1 −1 −1 −3 
.
B=
 2
3
2
1 
2
2
1
1

En déduire que les vecteurs
{v1 = (−1, −1, 2, 2), v2 = (1, −1, 3, 2), v3 = (2, −1, 2, 1), v4 = (0, −3, 1, 1)}
forment une base de R4 .
3. Échelonner la matrice


1 0 a
C =  0 1 b .
1 1 c
En déduire que les vecteurs v1 = (1, 0, 1), v2 = (0, 1, 1) de R3 sont
linéairement indépendants et la condition à laquelle le vecteur w =
(a, b, c) est dans le sous-espace (plan) engendré par v1 , v2 .
4. Échelonner la matrice

−1
0
2 a
 1 −1
1 b 
.
D=
 1
0
2 c 
2
2 −1 d

En déduire que les vecteurs v1 = (−1, 1, 1, 2), v2 = (0, −1, 0, 2), v3 =
(2, 1, 2, −1) de R4 sont linéairement indépendants et la condition à
laquelle le vecteur w = (a, b, c, d) est dans le sous-espace (hyperplan)
engendré par v1 , v2 , v3 .
Exercice 3.15
Donner dans chaque cas la condition nécessaire et suffisante sur les paramètres a et b pour que les familles suivantes soient des bases de R3 :
F1
F2
F3
F4
F5
= {(1, 1, 1),
= {(1, 0, 1),
= {(1, a, b),
= {(a, a, b),
= {(0, a, b),
(0, a, 1),
(a, b, 1),
(a, 1, a),
(a, b, a),
(a, 0, b),
19
(0, 0, b)},
(b, a, 1)},
(b, b, 1)},
(b, a, a)},
(a, b, 0)}.
Exercice 3.16
Déterminer le rang de la famille F de vecteurs de R4 dans les situations suivantes. On donnera aussi dans chaque cas une base du sous-espace engendré
par F.
– a) F = {(1, −1, 0, 3), (2, 1, 2, 1), (1, 0, 2, −1)}.
– b) F = {(1, −1, 2, 0), (1, −2, 5, 1), (−1, 0, 1, 1), (5, −3, 4, −2)}.
– c) F = {(−1, 1, 1, 3), (2, −1, 2, 1), (2, 0, 1, 1), (1, 1, 1, 1)}.
– d) F = {(−2, 1, 1, 0), (3, 2, 1, 0), (0, 0, 2, 1), (−1, 3, 1, 3)}.
Exercice 3.17
1. Échelonner les matrices suivantes et en déduire leur rang, suivant les
valeurs du paramètre réel a.





1
0
1 0
1
1
2 0 0 1
 −1


 1 −2 1 2 0 
2 
, C =  1
 , B =  1 −2 2
A=




 2
2
a 1
0
a 1 a 1
 a
1 −3 1 −2
1 −3 1 2 0
2
2. Quels sont les rangs des transposées de ces matrices ?
3. En déduire le rang de la famille F dans les situations suivantes. On
donnera aussi dans chaque cas une base du sous-espace engendré par
F.
– a) F = {(1, 1, 2, 1), (2, −2, a, −3), (0, 1, 1, 1), (0, 2, a, 2), (1, 0, 1, 0)},
dans R4 .
– b) F = {(0, 1, 2, 1), (1, −2, a, −3), (0, 2, 1, 1), (1, 2, 0, −2)}, dans
R4 .
– c) F = {(1, −1, 1, a, 2), (2, 0, 1, 1, 0), (0, 2, 1, 0, 1)}, dans R5 .
– d) F = {(1, 2, 0, 0, 1), (1, −2, 1, 2, 0), (2, a, 1, a, 1), (1, −3, 1, 2, 0)},
dans R5 .
– e) F = {(0, 1, 0, 1), (1, −2, 2, 2), (2, a, 1, 0), (1, −3, 1, −2)}, dans R4 .
– f) F = {(1, 2, 0), (−1, 0, 2), (1, 1, 1), (a, 1, 0), (2, 0, 1)}, dans R3 .
Exercice 3.18
On considère dans l’espace M2 (R) des matrices carrées d’ordre 2, à coefficients réels, les deux familles suivantes :
1 −1
0 1
−2 0
−1
1
F1 =
,
,
,
2 −1 0 1 1 1 −1
−2
1 −1
0 1
2
1
−3 0
F2 =
,
,
,
.
1 −1
−1 0
−1 −2
0 3
On note Vj le sous-espace de M2 (R), engendré par la famille Fj , j = 1, 2.
20
2
0
1
1
0
0
2
1
0
1



.


1. Déterminer la dimension des sous-espaces V1 , V2 , et en donner une
base.
2. Vérifier que V2 ⊂ V1 .
3. Décrire simplement V1 et V2 .
Exercice 3.19
1. On considère le sous-espace vectoriel V de R4 engendré par les vecteurs
(0, 1, 2, −1) et (1, −3, 2, 6). A quelle condition sur a, b le vecteur v =
(a, 2, 2, b) est-il dans V ?
2. On considère le sous-espace vectoriel V de R4 engendré par les vecteurs
(1, 0, 2, 1), (−1, −1, 5, 2) et (3, 1, −1, 0). A quelle condition sur a, b le
vecteur v = (2, a, −1, b) est-il dans V ?
3. On considère le sous-espace vectoriel V de R4 engendré par les vecteurs
(1, 1, −2, 0), (0, −3, 2, 1) et (−1, 0, 1, 0). A quelle condition sur a, b le
vecteur v = (1, 2, a, b) est-il dans V ?
Exercice 3.20
1. Montrer que les familles suivantes de vecteurs de R3 sont libres et les
compléter en une base de R3 .
F1
F2
F3
F4
= {(1, 1, 1)},
= {(0, 1, −1)},
= {(1, 0, −1), (1, −2, 1), },
= {(−1, 1, −4), (3, 2, 1)}.
2. Même question avec les familles suivantes de R4 .
F1
F2
F3
F4
= {(1, 1, 1, 1)},
= {(−1, 3, 0, 0), (1, 1, 0, 0), },
= {(−1, 5, 1, −2), (2, −1, 3, 1), (2, −1, −1, 0)},
= {(1, 1, 2, −2), (−1, 0, 1, 2), (3, −1, 0, 0)}.
Exercice 3.21
1. On considère l’hyperplan H de R4 , d’équation
2x − y + 3z − t = 0.
– a) Déterminer une base de H.
– b) La compléter pour obtenir une base de R4 .
2. On considère cette fois-ci
V = {(x, y, z, t) ∈ R4 ; x + y − z − t = 0, 2x − 3y − z + t = 0}.
21
– a) Montrer que c’est un sous-espace vectoriel.
– b) En déterminer une base.
– c) La compléter pour obtenir une base de R4 .
3. Reprendre la question précédente avec les sous-ensembles suivants de
R5 :
W1 = {(x, y, z, t, u) ∈ R5 ; x−y+z+t−2u = 0, 3y−z+2t−u = 0, 3x+y+z+t−u = 0}.
W2 = {(x, y, z, t, u) ∈ R5 ; 2x + 2y − z − u = 0, x + y + z + t + u = 0}.
Exercice 3.22
Déterminer une base de chacun des sous-espaces vectoriels considérés à l’exercice 3.6
Exercice 3.23
Examiner si les sous-espaces V, W d’un espace vectoriel E sont supplémentaires dans les cas suivants :
– a) E = R3 , et
V = {(x, y, z); 2x + 3y − 4z = 0}, W = {(2a, a, a); a ∈ R}.
– b) E = R3 , et
V = {(x, y, z); x + 2y − 3z = 0}, W = {(a, a, a); a ∈ R}.
– c) E = R4 , et
V = {(x, y, z, t); x − 3y + z + t = 0}, W = {(2a, a, a, −2a); a ∈ R}.
– d) E = R4 , et
V = {(x, y, z, t); x − 3y + z + t = 0}, W = {(2a, a, a, 2a); a ∈ R}.
– e) E = R4 , et
V = {(x, y, z, t); x + y + z + t = 0, 2x − 3y − z + t = 0},
W = {(x, y, z, t); x − y + 2z − 3t = 0}.
– f) E = R4 , et
V = {(x, y, z, t); x + y + z + t = 0, 2x − 3y − z + t = 0}
W = {(x, y, z, t); 2x + y + t = 0, 5x − 2y + z + t = 0}.
Dans les exemples ci-dessus et lorsque E = V ⊕ W, décomposer le vecteur
de l’espace dont toutes les coordonnées sont égales à 1, en la somme d’un
vecteur de V et d’un vecteur de W.
22
Exercice 3.24
Dans l’espace vectoriel R3 [X] des polynômes de degré ≤ 3, on considère les
familles suivantes :
– a) {1 + X 2 }.
– b) {1 + X 2 , 1 − X 2 }.
– c) {1 + X, 1 + X 2 , 1 − X 2 }.
– d) {1 + X, 1 + X 3 , 1 − X 3 }.
Pour chacune d’entre elles :
1. Démontrer que c’est une famille libre.
2. Décrire le sous espace F engendré par la famille.
3. Compléter la famille en une base de R3 [X].
4. Déterminer un supplémentaire G de F.
5. Écrire chacun des polynômes suivants comme somme d’un polynôme
de F et d’un polynôme de G :
1, X, X 2 , X 3 , 1 − X + X 2 − X 3 , 1 + 2X + 3X 2 + 4X 3 .
23
4
Applications linéaires.
Exercice 4.1
Soient x, y, z les coordonnées canoniques de R3 . Parmi les applications f :
R3 → R3 , dont les expressions sont données ci-dessous, lesquelles sont des
applications linéaires, lesquelles ne le sont pas et pourquoi.
– a) f (x, y, z) = (x + y, z, x − y + 3z).
– b) f (x, y, z) = (x + y − 1, 2x + 3y − z, x + y − z).
– c) f (x, y, z) = (x − y + z, x + yz, x + 3y − 2z).
– d) f (x, y, z) = (2x + y + 5z, x − y, x + y + z).
– e) f (x, y, z) = (x + y, y + z, x + z 2 ).
Exercice 4.2
Parmi les applications f : R[X] → R[X], dont les expressions sont données
ci-dessous, lesquelles sont des applications linéaires, lesquelles ne le sont pas
et pourquoi.
– a) f (P (X)) = P (2).
– b) f (P (X)) = P (X + 1) − P (X).
– c) f (P (X)) = P (X + 1) − X.
– d) f (P (X)) = XP (X + 1) − P 0 (X).
– e) f (P (X)) = (X 2 + 1)P 00 (X).
– f) f (P (X)) = (X + 1)P 0 (X) − P (X).
Si Rn [X] désigne l’espace des polynômes de degré ≤ n, quelles sont celles
dont la restriction à Rn [X] définit un endomorphisme de Rn [X].
Exercice 4.3
On considère le système linéaire

x−y+z =u

2x + 3y + 4z = v
(S)

x − 6y − z = w
1. Montrer que les solutions du système homogène (S0 ), associé (S) forment
une droite vectorielle dont on déterminera un vecteur directeur.
2. Montrer que le système (S) possède des solutions si et seulement si
le vecteur U = (u, v, w) ∈ R3 appartient à un plan vectoriel dont on
donnera une équation.
3. Soit f : R3 → R3 l’application donnée par
f (x, y, z) = (x − y + z, 2x + 3y + 4z, x − 6y − z),
pour tout (x, y, z) ∈ R3 . Vérifier que f est linéaire et écrire sa matrice
A relativement à la base canonique de R3 .
24
4. En utilisant les deux premières questions, donner une base du noyau
ker f de f, et une base de son image Im f. L’application linéaire f
est-elle injective ? Surjective ?
Exercice 4.4
Soit f : R3 → R3 l’application donnée par
f (x, y, z) = (x + 3z, −y + z, 2x + 3y + 3z),
pour tout (x, y, z) ∈ R3 .
1. Vérifier que f est linéaire et écrire sa matrice M relativement à la base
canonique de R3 .
2. Déterminer le rang de f, une base de l’image Im f de f et une base du
noyau ker f de f. L’application f est-elle injective ? Surjective ?
3. On considère le plan vectoriel P d’équation x + y + z = 0. Déterminer
une base de P, puis de son image f (P ) par l’application f. La restriction
de f au plan P est-elle injective ?
4. On considère la matrice


0
0 3
A =  0 −2 1  .
2
3 2
– (i) Vérifier que A est la matrice de l’application linéaire
g = f − id., relativement à la base canonique de R3 , où id. est
l’application identité sur R3 .
– (ii) Si u, v, w sont trois réels quelconques, montrer que le système
linéaire

3z = u

−2y + z = v

2x + 3y + 2z = w
possède une unique solution (x, y, z) que l’on déterminera en fonction
de u, v et w.
– (iii) En déduire que la matrice A est inversible et déterminer son
inverse. Que peut-on dire sur l’image et le noyau de g ?
Exercice 4.5
Soit f : R3 → R3 l’application définie par
f (x, y, z) = (x + y − z, 2x − y + z, x + z),
pour tout (x, y, z) ∈ R3 .
25
1. Vérifier que f est linéaire et écrire sa matrice dans la base canonique
de R3 .
2. Déterminer le noyau et l’image de f. Quel est le rang de f ? L’application f est-elle injective ? Surjective ? un isomorphisme ?
3. Si P est le plan vectoriel d’équation x + y + z = 0, montrer que f (P )
est aussi un plan vectoriel, dont on donnera une équation.
Exercice 4.6
Soit f : R3 → R3 l’application définie par
f (x, y, z) = (x + 3y − z, −x − 4y + 2z, 2x + y + 3z),
pour tout (x, y, z) ∈ R3 .
1. Vérifier que f est linéaire et écrire sa matrice dans la base canonique
de R3 .
2. Déterminer une base du noyau et de l’image de f. Quel est le rang de
f ? L’application f est-elle injective ? Surjective ? un isomorphisme ?
3. Soit P un plan vectoriel d’équation ax+by+cz = 0 : A quelle condition
f (P ) est-il aussi un plan vectoriel ?
4. Déterminer les images par f des plans vectoriels P1 d’équation
x − y + 2z = 0, et P2 d’équation 2x + y + z = 0.
Exercice 4.7
Soit f : R3 → R3 l’application définie par
f (x, y, z) = (ax + 3y − z, 2x + y + z, 3x + y + 3z),
pour tout (x, y, z) ∈ R3 , où a est un paramètre réel.
1. Vérifier que f est linéaire et écrire sa matrice dans la base canonique
de R3 .
2. Déterminer pour chaque valeur de a, les sous-espaces ker f et Im f,
ainsi que le rang de f. On en donnera une base, lorsqu’ils ne sont pas
réduits à {0}.
3. Déterminer l’ image par f du plan vectoriel P d’équation x+y −z = 0,
suivant les valeurs de a.
26
Exercice 4.8
On considère les applications linéaires suivantes
– a) f : R4 → R3 , donnée par
f (x, y, z, t) = (x − y − 2z + t , 2x − y + t, 3x + 2y + z + t),
pour tout (x, y, z, t) ∈ R4 .
– b) f : R4 → R3 , donnée par
f (x, y, z, t) = (x − y + 3z + 2t , x + 2z + t, x + 2y + az − t),
pour tout (x, y, z, t) ∈ R4 , où a est un paramètre réel.
– c) f : R3 → R4 , donnée par
f (x, y, z) = (x − y , x − y + z, −x + 2y + z, 4x + 2y + 3z),
pour tout (x, y, z) ∈ R3 .
– d) f : R3 → R4 , donnée par
f (x, y, z) = (x + z , −x + 2y − 3z, x + y + az, −x + 3y − 4z),
pour tout (x, y, z) ∈ R3 , où a est un paramètre réel.
On déterminera dans chaque cas :
1. La matrice de f, relativement aux bases canoniques de R3 et R4 .
2. Une base de ker f, lorsque celui-ci est non nul.
3. Le rang de f et une base de Im f.
Exercice 4.9
On considère

1 2
 1 2
A=
 1 a
1 3
les matrices réelles suivantes, où a


1 0
1
0
2 1
 1
0 2
0 
2 1
, B = 
 1
2 a
0 
a 1
1 2 −1
1 −3 1
est un paramètre :



0
2 1 −1

2 
a 
, C =  1 1
.
 a 1
a 
1 
2
−1 2
3
Soient
f : R5 → R4 , f : R4 → R4 , f : R3 → R4
les applications linéaires dont les matrices dans les bases canoniques sont
respectivement A, B, C.
1. Déterminer suivant les valeurs de a le rang de chacune de ces applications.
2. Donner dans chaque cas une base de l’image.
27
Exercice 4.10
1. On considère les trois vecteurs suivants de R4 :
v1 = (1, 0, 4, 0), v2 = (1, −1, 2, 3), v3 = (0, 2, 1, 1).
Si (e1 , e2 , e3 ) est la base canonique de R3 , donner l’expression de
f (x, y, z), pour tout (x, y, z) ∈ R3 , où f : R3 → R4 est l’application
linéaire telle que
f (ei ) = vi , i = 1, 2, 3.
2. On considère les quatre vecteurs suivants de R3 :
v1 = (1, −1, 4), v2 = (−1, 2, 3), v3 = (2, 1, 1), v4 = (1, 1, 1).
Si (e1 , e2 , e3 , e4 ) est la base canonique de R4 , donner l’expression de
f (x, y, z, t), pour tout (x, y, z, t) ∈ R4 , où f : R4 → R3 est l’application
linéaire telle que
f (ei ) = vi , i = 1, 2, 3, 4.
Donner une base de son noyau.
3. On considère les trois vecteurs suivants de R3 :
v1 = (1, 4, 0), v2 = (1, 2, 3), v3 = (0, 1, 1).
Si (e1 , e2 , e3 ) est la base canonique de R3 , donner l’expression de
f (x, y, z), pour tout (x, y, z) ∈ R3 , où f : R3 → R3 est l’application
linéaire telle que
f (ei ) = vi , i = 1, 2, 3.
Montrer que v1 , v2 , v3 sont des vecteurs linéairement indépendants et
en déduire que f est un isomorphisme.
Exercice 4.11
Soient E, F deux espaces vectoriels réels (ou complexes) et f une application
linéaire de E dans F. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies,
lesquelles sont fausses et pourquoi
– L’image du vecteur nul de E est égale au vecteur nul de F.
– Im f est un sous-espace vectoriel de F.
– ker f est un sous-espace vectoriel de E.
– L’image par f d’une famille libre de E est une famille libre de F.
– L’image par f d’une famille liée de E est une famille liée de F.
– L’image par f d’une famille génératrice de E est une famille génératrice
de F.
– Si F est de dimension finie, alors ker f est un sous-espace de dimension
finie.
28
– Si E est de dimension finie, alors Im f est de dimension finie.
– Si E et F sont de dimension finie et si dim(E) > dim(F ), alors ker f 6=
0.
– Si E et F sont de dimension finie et si dim(E) > dim(F ), alors f est
surjective.
– Si E et F sont de dimension finie et si dim(E) < dim(F ), alors f est
injective.
Exercice 4.12
On note (e1 , e2 , e3 ) la base canonique de R3 . On considère les vecteurs
1 = (1, 1, 1), 2 = (1, 2, 1), 3 = e1 .
1. Montrer que les vecteurs 1 , 2 , 3 forment une base de R3 .
2. Montrer qu’il existe une unique application linéaire f : R3 → R3 telle
que l’on ait
f (1 ) = 2 , f (2 ) = 1 , f (3 ) = e1 + e2 .
3. Calculer la matrice A de f dans la base canonique de R3 .
4. Calculer la matrice B de f dans la base (1 , 2 , 3 ).
5. Montrer que f 2 = f ◦ f est égale à l’application identité de R3 , que
l’on note id. dans la suite.
6. On pose g = f + id. , et h = f − id. Montrer que g ◦ h = h ◦ g = 0.
Écrire les matrices de g et h dans la base (1 , 2 , 3 ).
7. Si V = ker g et W = ker h, montrer que Im g = W, et que Im h = V.
Vérifier aussi que R3 = V ⊕ W.
Exercice 4.13
Les résultats des dernières questions de l’exercice précédent se généralisent à
n’importe quel endomorphisme dont le carré est l’identité. Plus précisément,
soit E un espace vectoriel de dimension finie et f un endomorphisme de E
tel que
f 2 = idE ,
où idE désigne l’identité de E. On pose g = f + idE , h = f − idE , V = ker g
et W = ker h.
1. Montrer que g ◦ h = h ◦ g = 0.
2. En utilisant l’identité x =
1
2
(x + f (x) + x − f (x)) , vérifier alors que
E = V ⊕ W.
29
3. En déduire qu’il existe une base de E, dans laquelle la matrice de f est
une matrice diagonale, dont tous les éléments diagonaux sont égaux à
1 ou -1.
4. Montrer aussi que Im g = W, et que Im h = V.
5. Soit f l’endomorphisme de R4 , défini par
f (x, y, z, t) = (−x+2y+2t, 2x+y+2z+2t, 2x−2y+z−2t, −2x−2z−t),
pour tout (x, y, z, t) ∈ R4 .
– Écrire la matrice A de f dans la base canonique de R4 .
– Calculer A2 , et en déduire que
f 2 = idE .
– Déterminer une base de V = ker(f + idE ) et une base de
W = ker(f −idE ). Vérifier alors directement les assertions des quatre
premières questions.
6. Reprendre la question précédente avec cette fois-ci f : R4 → R4 , donné
par
f (x, y, z, t) = (−3x+4y+4z+4t, −2x+3y+2z+2t, −2x+2y+3z+2t, 2x−2y−2z−t),
pour tout (x, y, z, t) ∈ R4 .
Exercice 4.14
On considère dans l’espace vectoriel E = R3 muni de ses coordonnées canoniques x, y, z les sous-espaces
H = {(x, y, z) ∈ R3 ; x − 2y + z = 0} et D = {(a, a, 0) ; a ∈ R}
de E.
1. Déterminer les dimensions de H et D. Montrer que
E = H ⊕ D.
2. Écrire tout vecteur (x, y, z) de E comme somme d’un vecteur de H et
d’un vecteur de D.
3. En déduire le projecteur p de E sur H, parallèlement à D, et la symétrie
s par rapport à H, parallèlement à D.
4. Déterminer les matrices A et B de p et s, respectivement, et calculer
leurs carrés. Ces derniers calculs étaient-ils prévisibles ?
30
Exercice 4.15
On considère dans l’espace vectoriel E = R4 muni de ses coordonnées canoniques x, y, z, t les sous-espaces
H = {(x, y, z, t) ∈ R3 ; 2x + y − z − t = 0} et D = {(a, a, 2a, 0) ; a ∈ R}
de E.
1. Déterminer les dimensions de H et D. Montrer que
E = H ⊕ D.
2. Écrire tout vecteur (x, y, z, t) de E comme somme d’un vecteur de H
et d’un vecteur de D.
3. En déduire le projecteur p de E sur H, parallèlement à D, et la symétrie
s par rapport à H, parallèlement à D.
4. Déterminer les matrices A et B de p et s, respectivement, et calculer
leurs carrés.
Exercice 4.16
On considère dans l’espace vectoriel E = R4 muni de ses coordonnées canoniques x, y, z, t les sous-espaces
V = {(x, y, z, t) ∈ R3 ; x − y + z + t = 0, 2x + y − z − t = 0},
W = {(x, y, z, t) ∈ R3 ; x − 2z − t = 0, x + 3y + z − 2t = 0}
de E.
1. Déterminer les dimensions de V et W, et en donner des bases. Montrer
que
E = V ⊕ W.
2. Écrire tout vecteur (x, y, z, t) de E comme somme d’un vecteur de V
et d’un vecteur de W.
3. En déduire le projecteur p de E sur V, parallèlement à W, et la symétrie
s par rapport à V, parallèlement à W.
4. Déterminer les matrices A et B de p et s, respectivement, et calculer
leurs carrés.
Exercice 4.17
On suppose dans cet exercice que f est un endomorphisme d’un espace vectoriel réel E de dimension finie n, tel que f 2 = −id. , où id. désigne l’identité
de E. En préliminaire aux trois situations envisagées ci-dessous, montrer que
si v ∈ E \ {0}, alors v et f (v) sont des vecteurs linéairement indépendants
31
le cas n=2.
On suppose que n = 2. Montrer qu’il existe une base de E, dans laquelle la
matrice de f est
0 −1
.
1
0
Donner une interprétation géométrique d’un tel endomorphisme.
le cas n=3.
On va montrer que pour n = 3, il n’existe pas d’endomorphisme f tel que
f 2 = −id.
1. Raisonnons par l’absurde et supposons qu’il existe un tel endomorphisme. Montrer qu’il existe une base de E, dans laquelle la matrice
de f est égale à


0 −1 a
0 b .
A= 1
0
0 c
2. Calculer A2 + I, où I est la matrice identité d’ordre 3 et conclure.
le cas n=4.
On suppose maintenant que E est de dimension 4.
1. Soit v ∈ E \ {0}. Montrer qu’il existe w ∈ E, tel que la famille
{v, f (v), w} soit libre. Vérifier alors que {v, f (v), w, f (w)} est une base
de E.
2. En déduire qu’il existe une base de E dans la quelle la matrice de f
est


0 −1 0
0
 1
0 0
0 
.

 0
0 0 −1 
0
0 1
0
Exercice 4.18
Soient p, q des nombres réels tels que p2 − 4q > 0. On suppose maintenant
que f est un endomorphisme d’un espace vectoriel réel E, tel que
(1)
f 2 + p f + q id. = 0.
On notera dans la suite a et b les deux racines réelles distinctes du trinôme
t2 + pt + q = 0, et on posera
g = f − a id.,
32
h = f − b id.
1. Si V = ker g et W = ker h, montrer que
V ∩ W = {0}.
2. Vérifier que g ◦ h = h ◦ g = 0.
3. En utilisant l’identité
v=
1
(g(v) − h(v)) ,
b−a
montrer que
E = V ⊕ W.
4. En déduire qu’il existe une base de E, dans laquelle la matrice de f est
une matrice diagonale, dont les éléments diagonaux sont tous égaux à
a ou à b.
5. On considère les endomorphismes suivants :
– a) f1 : R3 → R3 , donné par
f1 (x, y, z) = (9x + y + 5z , −21x − y − 15z, −7x − y − 3z),
pour tout (x, y, z) ∈ R3 .
– b) f2 : R3 → R3 , donné par
f2 (x, y, z) = (3x + 2z , 2x + y + 2z, −x),
pour tout (x, y, z, ) ∈ R3 .
– c) f3 : R4 → R4 , donné par
f3 (x, y, z, t) = (3x + z − t , −2x + 2y − 2z + 2t, −x + z + t, x + z + t),
pour tout (x, y, z, t) ∈ R4 .
Montrer qu’ils satisfont tous l’identité (1),avec p = −3, et q = 2.
Trouver ensuite pour chacun d’entre eux une base dans laquelle leur
matrice est diagonale.
33