Transcript 1 Opérateur fermables 2 Opérateurs auto-adjoints

Université Joseph Fourier. Institut Fourier, Master 2, 2011-12
o1
TD n
Opérateurs fermables, Opérateurs auto-adjoints.
1
Opérateur fermables
Exercice 1.
[6, p.516] Montrer que la
distribution de Dirac :
(
L2 (R) → C
δ:
ϕ (x)
7→ ϕ (0)
est un opérateur
non fermable sur L2 (R). Déduire que l'opérateur
(
L2 (R) → L2 (R)
A:
2
ϕ (x)
7→ ϕ (0) e−x
est non fermable. Montrer que
m
distributions H (R) si
δ : Hm (R) → C
est fermable sur l'espace de Sobolev de
m > 1/2.
Exercice 2.
[2, p.57][8, p.119] On utilise les notations :
α1 + . . . + αn
et
Dα := −i ∂x∂ 1
α 1
. . . −i ∂x∂n
P =
α n
X
.
α = (α1 , α2 . . . αn ) ∈ Nn , |α| =
Soit
aα (x) Dα
|α|≤k
opérateur diérentiel d'ordre
aα ∈ C ∞ (Rn ). On suppose que toutes
les dérivés de aα sont à croissance au plus polynomiale pour |x| → ∞. Montrer que P est
fermable sur Lp (Rn ), 1 < p < ∞. Aide : considérer une suite (ϕk )k ∈ S (Rn ) et utiliser
∗
n
l'opérateur diérentiel adjoint P sur S (R ) appelé adjoint formel, dénit par
un
k
sur
Rn
hψ|P ∗ ϕi = hP ψ|ϕi,
2
avec
ψ, ϕ ∈ S (Rn )
Opérateurs auto-adjoints
Exercice 3.
1.
L2 ([0, 1]), on considère les opérateurs
2
Dom (HD ) = ϕ ∈ C ([0, 1]) ,
ϕ (0) = ϕ (1) = 0
[3, p.55] Sur l'espace
2
HD ϕ = − ddxϕ2 ,
: conditions de Di-
richlet
2.
2
HN ϕ = − ddxϕ2 ,
Neumann
Dom (HN )
=
n
ϕ ∈ C 2 ([0, 1]) ,
1
dϕ
dx
(0) =
dϕ
dx
(1) = 0
o
: conditions de
3.
n
2
HP ϕ = − ddxϕ2 , Dom (HP ) = ϕ ∈ C 2 ([0, 1]) ,
ϕ (0) = ϕ (1) , dϕ
dx (0) =
dϕ
dx
(1)
o
: condi-
tions périodiques
Pour chacun des opérateurs précédents, montrer qu'il est symétrique (intégration par parties) et qu'il admet des fonctions propres formant une base de
L2 ([0, 1]).
Déduire qu'il est
essentiellement auto-adjoint. Comparer les spectres.
2
Hϕ = − ddxϕ2 ,
Montrer que au contraire,
Dom (H)
=
Dom (HD )
T
Dom (HN ) possède plu-
sieurs extensions auto-adjointes.
Exercice 4.
Dom (H)
oscillateur harmonique
[7, p.178] L'opérateur
est
H : L2 (R) → L2 (R),
= S (R),
(Hϕ) (x) = −
1. Montrer que
H
est symétrique.
2. On dénit les opérateurs suivants :
√1
2
a+ :=
(ˆ
x − iˆ
p), N := a+ a.
et montrer que
H=N+
tion diérentielle
1
π 1/4
exp −
x2
2
4. Pour un entier
dψ0
dx
ψ0 (x)
= −xψ0
Par récurrence sur
normalisée).
5. Montrer que
aψn =
n
√
Calculer les
x + iˆ
p),
(ˆ
xϕ) (x) := xϕ (x), a := √12 (ˆ
commutateurs [ˆ
x, pˆ], a, a† , [N, a] , N, a†
et
dénie par
aψ0 = 0.
Montrer que l'on obtient l'équa-
dont la solution normalisée est la Gaussienne
ψ0
. Montrer que
n ≥ 1,
pˆϕ := −i dϕ
dx
1
2.
3. On cherche la fonction
1 d2 ϕ
1
(x) + x2 ϕ (x)
2 dx2
2
est fonction propre de
N.
on dénit par récurrence la fonction
montrer que
N ψn = nψn
ψ0 (x) =
et que
ψn
par
ψn =
kψn k2 = 1.
√1 a+ ψn−1 .
n
(fonction propre
nψn−1 .
d
ψn (x). Montrer la relation :ψn (x) = √12n x − dx
ψn−1 (x).
dessiner les fonctions d'Hermite ψn (x) avec le code :
6. On cherche l'expression de la fonction
A l'aide du logiciel
xcas [1],
f0:=exp(-x^2/2);
|ψ2 >
f1:=1/(sqrt(2*1))*(x*f0-diff(f0,x));
f2:=1/(sqrt(2*2))*(x*f1-diff(f1,x));
f3:=1/(sqrt(2*3))*(x*f2-diff(f2,x)); |ψ3>
plot([f0,f1,f2,f3],x=-5..5);
7. Pour simplier l'écriture, on dénit la fonction
ψn (x) =
1
π 1/4
Hn (x)
ψ0 (x) ci-dessus, on observe
Hn−1 (x). Déduire par récurrence
que
d
dx
que
degré
x
|ψ1>
par l'écriture :
1/2
2
x
1
exp −
Hn (x)
2
n!2n
et connaissant
2x −
|ψ0>
n à coecients entiers appelé
H1 (x) , H2 (x) , H3 (x).
H0 (x) = 1. Montrer que Hn (x) =
Hn (x) est en fait un polynôme de
polynome d'Hermite,
termes
2
et calculer les premiers
(ψn )n∈N forment une base orthonormée de L2 (R). Aide : on cherche une
−x2 /2 H (x) avec
fonction ϕ (x) orthogonale à toutes les fonctions ψn . Comme ψn ∝ e
n
R
2
Hn polynome de degré n, cela implique ϕ (x) e−x /2 P (x) dx = 0 pour tout polynome
P
P . Considérant P (x) = nj=0 j!1 (itx)j , n → ∞, déduire que la transformée de Fourier
8. Montrer que
de
ϕ (x) e−x
2 /2
est nulle et donc que
9. Déduire de ce qui précède que
spectre est
Exercice 5.
λn = n +
H
ϕ = 0.
est essentiellement autoadjoint sur
S (R)
est que son
1
2 avec multiplité 1.
[7, p.175] (*) Le moment angulaire. Laplacien sur la sphère
On considère l'opérateur Laplacien
R3 (S 2 est la sphère unité),
∆
sur
L2 S
2
S2
. En coordonnées cartésiennes
(x, y, z) ∈
∆ = L2x + L2y + L2z
Lx := ypz − zpy ,Ly := zpx − xpz ,Lz := xpy − ypx
formant une représentation de l'algèbre de Lie so (3). Par des méthodes algèbriques similaires à
2 S2 ,
l'exercice prédédent, montrer que ∆ admet des fonctions propres formant une base de L
que le spectre de ∆ est {λl = l (l + 1) ,
l ∈ N} avec la multiplicité (2l + 1). Déduire que ∆
∞ S2 .
est essentiellement autoadjoint sur C
avec les opérateurs de moment angulaire
3
Opérateurs inverse
Exercice 6.
X, Y ,
[5, p.127]Si
et Ran (A)
=Y,
A : X → Y est un opérateur linéaire sur des
A est inversible si et seulement si
espaces de Banach
montrer que
∃c > 0, ∀x ∈ Dom (A) , kAxk ≥ c kxk
et alors
−1 A ≤
Exercice 7.
borné,
1
c.
[4, p.311]Supposer :
−1
kBk ≤ A−1 .
Montrer
A : X → Y est un opérateur
que (A + B) est inversible et
(A + B)−1 = 1 + A−1 B
−1
inversible,
A−1 = A−1 1 + BA−1
B
est un opérateur
−1
où les inverses des deux termes de droites sont dénis par la série de Neumann
P
n≥0 T
n qui est Abs. Conv. Montrer que
(1 − T )−1 =
−1
−1
−1 .
(A + B) ≤ A−1 − kBk
Références
Logiciel libre de calcul formel. Taper xcas dans google.
E.B. Davies and E.B. Davies. Spectral theory and dierential operators, volume 42.
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Cam-
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khauser, 2009.
Intermediate spectral theory and quantum dynamics,
3
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ger Operators.
Introduction to Spectral Theory with Applications to Schrödin-
Springer, 1996.
Functional analysis : Applications in mechanics and inverse problems. Kluwer Academic Publishers, 2002.
M. Taylor. Partial dierential equations, Vol I. Springer, 1996.
G. Teschl. Mathematical methods in quantum mechanics : with applications to Schr
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[8] M. W. Wong.
An introduction to pseudo-dierential operators. World Scientic Publishing
Co. Inc., River Edge, NJ, second edition, 1999.
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