Transcript Cours_5_problème de Helmholtz

Résolution des problèmes de
Laplace et de Helmholtz 1D
en Collocation Gauss-Lobatto
Résolution d’un problème de diffusion 1D
On chercheà résoudre le problèmedifférentiel :
  2
2
 2  H u  s( x ), x   1,1

 x
u


  u( 1)   
x x  1

u

 u(1)   


x x 1

Correspond à un problème de diffusion stationnaire (H=0) ou instationnaire,
après discrétisation temporelle.
-Définir l’équivalent matriciel de ce problème en collocation GaussLobatto.
-Vérifier que c’est bien le type d’opérateur proposé dans le programme
E_5_1_Lap.m
-Utiliser ce programme pour implémenter les conditions aux limites de
type Robin.
Corrigé :
d 



...  U1
...       dx 
1


2
DX

  ...
d 



... U N 1
...       dx 
N 1


 
  
 
 s
 
  
 







L’opérateur de dérivation seconde voit sa première et sa dernière ligne
remplacées par les conditions aux limites.
Quelques considérations sur le phénomène de diffusion
Les équations de la mécanique des fluides sont principalement
gouvernées par la compétition entre les termes d’advection et de
diffusion.
La diffusion agit de façon irréversible en éliminant les inhomogénéités
des solutions.
Ceci assure, pour un problème temporel sans source imposée et
avec des conditions aux limites homogènes, que la solution tend
vers 0 partout.
Les modes propres de l’opérateur de diffusion,
l’opérateur de Laplace
La diffusion est un problème elliptique : les valeurs propres de
l’opérateur de diffusion sont donc toutes réelles et négatives.
L’opérateur numérique doit, lui aussi, satisfaire cette propriété : toutes
ses valeurs propres doivent être réelles négatives.
Toutes les conditions aux limites permises par les conditions de type
Robin ne permettent pas de satisfaire cette condition.
Considérons l’équation de diffusion instationnaire
associée aux conditions de frontière homogènes
La solution tendra vers 0 si le problème aux valeurs propres
a ses racines réelles négatives.
On obtient la condition sur les coefficients de la condition aux limites
en regardant les modes propres du problème basé sur l’énergie.
Les valeurs propres doivent être négatives. Le théorème de
Green permet d’écrire :
Ce terme s’annule
en DD ou NN.
La condition d’ellipticité devient alors :
Elle ne concerne que les conditions de type Robin.
Utiliser votre programme modifié pour l’utiliser avec conditions
aux limites de type Robin incompatibles avec la condition
d’ellipticité.
Analyse des modes propres de l’opérateur de diffusion discret.
Les modes propres du problème continu sont les modes
propres Fourier discrets, du type.
eikn x , kn  n / 2, avec n une valeur entièreou fractionnaire selon le
fondamental.
Les valeurs propres de la diffusion sont donc –k2
Utiliser le programme Ex_5_2_Lap_Helm
pour observer le spectre de la diffusion avec
différents types de conditions aux limites.
Commenter le spectre en pensant à la répartition des points de
collocation.
Le programme Ex_5_4_Lap_Helm_DF
calcule le spectre équivalent pour un opérateur
différences finies et des conditions de Dirichlet.
Observer les différences avec le spectre Chebyshev.
Réduction des conditions aux limites.
On a le système :
d 



...



...




 U1


dx

1


2
DX

  ...
d 



...



...
 



 U N 1
dx


N

1


 
  
 
 s
 
  
 







On veut résoudre la diffusion uniquement, tenant compte des conditions
aux limites :
2
 U1   
2
2 
  s


D
...
X
N

  
U N 1  N  
Ecrire le problème ne s’appliquant
qu’aux points internes du domaine.
Réduction des conditions aux limites.
On a le système :
d 



...



...




 U1


dx

1


2
DX

  ...
d 



...



...
 



 U N 1
dx


N

1


 
  
 
 s
 
  
 







 a1,1 ...a1, j ...
a1, N   U1   b1 


  

a


i, j


 

a N 1,1 ...a N 1, j a N 1, N 1  U N 1  bN 1 
La première et dernière ligne peuvent s’écrire :
a1, N 1   U1   b1   a1, 2
 a1,1


a




 N 1,1 a N 1, N 1  U N 1  bN 1  a N 1, 2
U 2 
 a1, N   




 a N 1, N 
U N 
Soit :
 U1   a1,1
U   a
 N 1   N 1,1

U 2  

a1, N 1   b1   a1, 2  a1, N    

 






aN 1, N 1   bN 1  aN 1, 2  a N 1, N 

U


N
 

1
Pour résoudre la diffusion uniquement, il faut résoudre le problème rectangulaire :
 a2,1 ...a2, j ... a2, N   U1   b2 


  

a


i, j


  
a N ,1 ...a N , j a N , N 1  U N 1  bN 
On passe à droite les termes de bord.
 a2, 2 ...a2, j ... a2, N  U 2   b2   a2,1 a2, N 1 

    
  U1 
ai , j
      
 

 
   
U
a N , 2 ...a N , j a N , N  U N  bN  a N ,1 a N , N 1   N 1 
On remplace alors les termes de bord par leur écriture fonction des conditions
aux limites :
 a2, 2 ...a2, j ... a2, N  U 2   b2   a2,1 a2, N 1 
U 2  
1 


a
a
a

a
 b1   1, 2

    
1, N 1 
1, N  
  1,1

ai , j
      
 
  b    a
   
 
   
a
a

a
N 1, N 1    N 1 
N 1, N 
 N 1, 2

a N , 2 ...a N , j a N , N  U N  bN  a N ,1 a N , N 1   N 1,1
U


N




 a2, 2 ...a2, j ... a2, N  U 2   b2   a2,1 a2, N 1 
U 2  
1 


a
a
a

a
 b1   1, 2

    
1, N 1 
1, N  
  1,1

ai , j
      
 
  b    a
   
 
   
a
a

a
N 1, N 1    N 1 
N 1, N 
 N 1, 2

a N , 2 ...a N , j a N , N  U N  bN  a N ,1 a N , N 1   N 1,1
U


N




Opérateur interne
  a2, 2 ...a2, j ... a2, N   a2,1 a2, N 1 
 U 2 
1

a1, N 1   a1, 2  a1, N    
 
  a1,1
ai , j
  
 
 
 a
   
a
a

a
N 1, N 1   N 1, 2
N 1, N  
 
 N 1,1
 U N 



a
...
a
a
a
a
N,j
N ,N 
N , N 1 
 N ,1
  N ,2

 b2   a2,1 a2, N 1 
1
a
a
  b1  


1, N 1

 1,1
    
 
  b  
 
a
a
N 1,1
N 1, N 1    N 1  
bN  a N ,1 a N , N 1  
Fin cours précédent
Second membre modifié
En détaillant les termes des opérateurs :
On a le système :
On veut résoudre la diffusion :
 
d 



...




...
U


 j ,1


  1   
dx

1
 


2
D
...
 s


X
 


d 

...




...
  j , N 1



 U N 1   
dx


N 1


 







2
 U1   
2
2 
  s


D
...
X
N

  
U N 1  N  
Première et dernière ligne de l’opérateur (CL) :
d 


  d 

 d 





U 2 









 



U
dx 1,1
 dx 1, N 1   1 
 dx 1, 2:N      




...   
U 

   
d

d

d







 
  N 1 
 










U




 N 
   dx  N 1,1



dx
dx




N 1, N 1 
N 1, 2:N 


P
Donc :
  d 
 U

 2
 



 U1 
 dx 1, 2:N  
1
1   
 ...  P   
U   P   d  
 
 

  
 N 1 

  dx  N 1, 2:N  U N 
On veut résoudre le système
rectangulaire :
2
 U1   
2
2 

D
...    s 
X
N

  
U N 1  N  

2

D
X
2 ,1
 2

2
 DX   ...
N
N 2
 DX2 N ,1

 
On peut le rendre carré et inversible en remplaçant
U1 et UN+1 par :
  d 
 U

 2
 



 U1 
dx

1, 2:N  
1
1   








P
...

P
U 
 
  d  
 
 
 N 1 
U





N
 dx  N 1, 2:N 
  d 
 U
2

DX2 2, N 1 
...
D







2
X
2 ,1




dx
1, 2:N
 1 

  ...    s    ...
... P  
   
 d 


2

 

 DX2 N ,1
DX N , N 1 
U
...








N
 dx  N 1, 2:N  
D 
2
X CL
DX2 2, N 1 
 1  
... P    
  
2

DX N , N 1 
Fbc, RHS modifié
Cet opérateur inversible est l’opérateur de diffusion tenant compte des
conditions aux limites, appliqué à l’intérieur du domaine. C’est cet opérateur
qui doit être résolu, et les conditions aux limites peuvent être imposées par
la suite sur les bords.

2

D
X
2 ,1
 2

2
 DX   ...
N
N 2
 DX2 N ,1

 
  d 
 U
2

DX2 2, N 1 
...
D







2
X
2 ,1


 1   dx 1, 2:N      
  ...  s   ...
... P  
   
d





2


 

 DX2 N ,1
DX N , N 1 
U
...








N
 dx  N 1, 2:N  
DX2 2, N 1 
 1   
... P   
  
DX2 N , N 1 
Portons notre attention sur le second membre modifié :
2
1
1
2
1
1










2,2  
si ,int  si  DXi
P


P


D
P


P
,1
Xi, N 1
1,1 
1, 2 
2,1 
Cette écriture nous sera utile pour la formulation de problèmes multidimensionnels.
Résolution par diagonalisation
et inverse partiel
L’opérateur de diffusion interne peut être diagonalisé :
D   M  M
2
X CL
1
avec  la mat rice(diagonale) des valeurspropres
et M la mat ricecomposéedes vecteurspropres.
D U   F  s' écrit M  M U   F 
2
X CL
1
int
bc
int
bc
On calcule l' inverse 1 de  en remplaçantles valeurspropres
par leur inverse,sauf en cas de valeur proprenulle. Si une valeur
propreest nulle on garde la valeur nulle pour l' inverse.
On résoud alors
U int   M1M 1Fbc .


Question: que deviennentles modes propresnuls de DX2 CL ?
Ouvrir le programme Ex_5_3_Lap_Helm_diagonalisation.
Analyser ce que fait le programme.
Comparer la qualité des solutions obtenues par résolution
directe et par diagonalisation avec inverse partiel pour différents
types de conditions aux limites.
Prochain cours : problèmes à 2 et 3 dimensions