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U NIVERSITÉ PARIS D IDEROT, 2014-2015
C ALCUL S TOCHASTIQUE , F EUILLE 5
C ALCUL D ’I TÔ
Dans toute cette feuille, on considère un espace fitré (Ω, F, {Ft }t≥0 , P) sur lequel est défini un
{Ft }t≥0 −mouvement brownien réel {Bt }t≥0 .
Exercice 1 (Martingales locales).
1. La somme de deux martingales locales est-elle encore une martingale locale ?
2. Soit {Mt }t≥0 une martingale locale continue. On suppose que pout tout t ≥ 0,
E sup |Ms | < ∞.
0≤s≤t
Montrer que {Mt }t≥0 est en réalité une vraie martingale.
3. Soit {Mt }t≥0 une martingale locale positive telle que E[M0 ] < ∞. Montrer que c’est une
surmartingale, et que c’est une martingale si et seulement si ∀t ≥ 0, E[Mt ] = E[M0 ].
1
Exercice 2 (Unicité de l’écriture d’un processus d’Itô). Étant donné ψ ∈ Mloc
, on pose
Z t
Zt :=
ψ(s)ds
(t ≥ 0).
0
1. Vérifier que {Zt }t≥0 est un processus adapté et continu.
2. Montrer que si ψ ∈ M 2 et si {Zt }t≥0 est une martingale, alors ψ est nul P ⊗ dt−p.p.
1
3. Montrer que la conclusion reste vraie si l’on suppose seulement ψ ∈ Mloc
et {Zt }t≥0
martingale locale. On pourra introduire une suite de temps d’arrêts bien choisie.
4. En déduire que l’écriture d’un processus d’Itô {Xt }t≥0 sous la forme
Z t
Z t
Xt = X0 +
φ(s)dBs +
ψ(s)ds,
0
0
1
2
avec (ψ, φ) ∈ Mloc
× Mloc
est unique.
Exercice 3 (Formule d’Itô). Dans chacun des cas suivants, montrer que {Zt }t≥0 est un processus
d’Itô, calculer sa différentielle stochastique, et déterminer si {Zt }t≥0 est une martingale.
1. Zt = Bt + 4t
2. Zt = Bt2 − t
3. Zt = t2 Bt − 2
4. Zt =
5. Zt =
6. Zt =
Rt
sBs ds
0
3
Bt − 3tBt
Bt2 (Bt2 − 6t)
Bt Bt4 − 10tBt2 +
15t2
7. Zt = exp(µt + σBt ), avec (µ, σ) ∈ R2 .
8. Zt = (cos Bt , sin Bt )
Exercice 4 (Polarisation). Soient φ1 , φ2 des éléments de M 2 . Montrer que
Z t
Z t
Z t
φ1 (s) dBs
φ2 (s) dBs −
φ1 (s)φ2 (s) ds
.
0
0
0
t≥0
est une martingale. Que dire si φ1 , φ2 sont seulement supposés dans
2
Mloc
?
Exercice 5 (Fonction du brownien). Soit f ∈ C 2 (R, R). On suppose que pour tout t ≥ 0,
Z t
Z t
2
|f 00 (Bs )| ds < ∞.
(f 0 (Bs )) ds < ∞
et
E
E
0
0
1. Établir l’identité suivante, valable pour tout t ≥ 0 :
Z t
1
00
E[f (Bt )] = f (0) + E
f (Bs )ds .
2
0
2. Retrouver la formule donnant les moments de la loi gaussienne.
Exercice 6 (EDP). Soit (t, x) 7→ f (t, x) une fonction de classe C 1,2 (R+ × R, R) solution de l’EDP
∂f
1 ∂ 2f
+
= 0.
∂t 2 ∂x2
1. Montrer que le processus {f (t, Bt )}t≥0 est une martingale locale, et donner une condition
suffisante sur f pour que ce soit une vraie martingale.
2. Que dire de {Bt3 − 3tBt }t≥0 , {Bt4 − 6tBt2 + 3t2 }t≥0 et {Bt5 − 10tBt3 + 15t2 Bt }t≥0 ?
Exercice 7 (Pont brownien). Soit (a, b) ∈ R2 . On considère le processus {Zt }0≤t<1 défini par
Z t
1
dBs .
Zt = a(1 − t) + bt + (1 − t)
0 1−s
Montrer que {Zt }0≤t<1 est solution de l’équation différentielle stochastique suivante :
dZt =
b − Zt
dt + Bt .
1−t
et )}t≥0 un mouvement brownien plan. Pour t ≥ 0 on pose :
Exercice 8 (Cas vectoriel). Soit {(Bt , B
et )
Xt := exp(Bt ) cos(B
et
et ).
Yt := exp(Bt ) sin(B
1. Montrer que {Xt }t≥0 et {Yt }t≥0 sont des martingales de carré intégrable.
2. Le produit {Xt Yt }t≥0 est-il une martingale ?
3. Calculer la différentielle stochastique du processus {Zt }t≥0 défini par
Zt := (Xt − 1)2 + (Yt )2 .
Exercice 9 (Carré de Bessel). Soit {Bt }t≥0 un brownien d−dimensionnel. Montrer que
{kBt k2 }t≥0 est un processus d’Itô et calculer sa différentielle stochastique.