Transcript Correction fiche EXO4

SÉRIE 1 : CERCLES
7 Sur la figure ci-contre, on veut construire un
point M appartenant à la droite (d) tel que le
triangle AMB soit rectangle en M.
a. Complète et code ce schéma à main levée.
8 [HF] est un diamètre du cercle.
U appartient à ce cercle et est tel
que 
UHF = 72°.
U
On veut calculer la mesure de 
UFH .
H
a. Quelle est la nature du triangle
UHF ? Justifie.
M
(d)
B
A
F
Je sais que [HF] est un diamètre du cercle
b. Analyse de la figure à construire :
circonscrit au triangle HFU
AMB est rectangle en M donc le triangle AMB est
Or si un triangle est inscrit dans un cercle de
inscrit dans le cercle de diamètre [AB] donc M
diamètre l'un de ses côtés alors ce triangle est
appartient au cercle de diamètre [AB].
rectangle et admet ce diamètre pour hypoténuse.
Ainsi, M est un point d'intersection de ce cercle et
Donc le triangle UHF est rectangle en U.
de la droite (d).
b. Déduis-en la mesure de 
UFH . Justifie.
c. Complète la construction et place le point M.
(d)
M2
M1
Les deux angles aigus d'un triangle rectangle sont
complémentaires,
donc 
UFH = 90° – 
UHF = 90° – 72°
A
donc 
UFH = 18°.
B
9
Triangles rectangles ?
Combien de choix as-tu pour placer le point M ?
a. Ci-contre, O est le centre du I
cercle. Les points I, J et K sont sur
le cercle.
Le triangle IJK est-il rectangle ?
Il y a deux choix possibles pour placer le point M.
Si IJK était rectangle alors son cercle circonscrit
d. Étant donnés une droite (d) et deux points A et
B n'appartenant pas à cette droite, peut-on
toujours construire un point M appartenant à (d)
tel que AMB soit rectangle en M ? Réfléchis à
toutes les situations possibles en t'aidant de
schémas.
J
O
K
aurait pour diamètre son hypoténuse : le centre
de son cercle appartiendrait à l'un de ses côtés.
Or O est le centre du cercle circonscrit au triangle
IJK, mais O n'appartient à aucun des côtés du
triangle donc IJK n'est pas rectangle
(d)
A
B
On ne peut pas construire le point M lorsque le
cercle de diamètre [AB] ne coupe pas la droite (d).
b. Ci-contre, [YS] est un diamètre
N
du cercle et YS > NS > YN.
Explique pourquoi le triangle NYS
ne peut pas être rectangle.
Y
S
Si NYS était rectangle, alors son
cercle
circonscrit
aurait
pour
diamètre
son
hypoténuse soit [YS] – puisque [YS] est le plus
grand côté – et le point N se trouverait sur ce
cercle. Mais N n'appartient pas à ce cercle.
Donc le triangle NYS n'est pas rectangle.
TRIANGLE
RECTANGLE
: CHAPITRE G1