Transcript CANTON DE FREПUS

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Lignes de transmission
On s’intéresse ici à un élément essentiel de la transmission d’un signal : le support de la transmission.
Commencer par le cas de la transmission de signaux électriques le long de conducteurs est un choix délibéré.
La propagation des ondes électromagnétiques dans le vide fera ultérieurement l’objet d’un chapitre spécifique.
2.1
Remarques sur les lignes de transmission
Pour transmettre un courant ou une différence de potentiel, il est nécessaire d’avoir un conducteur, étendu
suivant une direction (celle de la transmission, ici x) et transportant le signal, ainsi qu’une référence. Par
conséquent, il existe autant de possibilités que de façon de choisir la géométrie de conducteurs.
x
Emetteur
Récepteur
Figure 5 – Transmission d’un signal de l’émetteur au récepteur.
En vue de généralisations à des géométries plus complexes, la propagation utilisant simplement deux fils
électriques (conducteurs) parallèles fait l’objet d’une étude détaillée dans les paragraphes ci-après.
2.2
Transmission par deux fils électriques
Lors de l’étude de circuits linéaires (régimes continus, transitoires ou sinusoïdaux), les dimensions étaient
suffisamment petites pour que l’on puisse considérer qu’elles avaient une influence négligeable sur les lois de
l’électrocinétique qui étaient appliquées.
=
Z
Z_
_
Ve
Vs
( )
Figure 6 – Impédances (représentées “localement”) pour la transmission d’une tension avec deux fils. Dans
le cas idéal, Z{{ “ 0 et ZK “ 8.
Il est clair que lorsque les dimensions deviennent importantes, la transmission d’un signal électrique entre
un émetteur et un récepteur doit prendre en compte les impédances des fils (en plus de celles des composants
identifiés comme tels). On parle alors d’impédances (i.e. constantes) linéiques c’est-à-dire de résistances (ou
inversement de conductances), capacitances et inductances par unité de longueur pour les fils en question :
13
˝
˝
˝
˝
2.2.1
résistance linéique (en Ω{m, Ohm par mètre) ;
conductance linéique (en S{m, Siemens par mètre) ;
capacité linéique (en F{m, Farad par mètre) ;
inductance linéique (en H{m, Henry par mètre).
Schématisations
On peut représenter “localement” les quantités qui font que la ligne de transmission à deux fils n’est pas
parfaite. Cependant, il convient de garder à l’esprit qu’il ne s’agit que de représentations et qu’en réalité
chaque élément infinitésimal de fils possède toute les composantes. Les deux fils étant à une certaine distance
l’un de l’autre, il faut prendre en compte à la fois un courant de fuite (qui fait que la tension diminue avec
la distance) ainsi qu’une capacité. Par ailleurs, la résistance et l’inductance des fils ne sont pas totalement
négligeables.
R
L
C
G
Ve
Vs
( )
Figure 7 – Impédances (représentées “localement”) pour la transmission d’une tension avec deux fils correspondant à une modélisation du cas réel.
Pour les géométries les plus élémentaires comme ici la transmission par deux fils (et comme on le verra
plus tard le câble coaxial, cf. les exercices d’application), on peut déterminer les différentes constantes linéiques en utilisant les théorèmes d’électrostatique et de magnétostatique (théorème de Gauss et théorème
d’Ampère).
Dans le cas présent, pour deux fils conducteurs réalisés avec un métal
de résistivité ρ, de rayon r, parallèles et séparés d’une distance d (avec
r ăă d) par un milieu de constante diélectrique ε, on obtient :
rayon (r)
distance (d)
ε
constante
diélectrique
˝ la résistance est : R “ ρ{pπr2 q (pour de basses fréquences) ;
` ˘
˝ l’inductance est : L “ πµ ln dr avec µ “ µ0 ˆ µr la perméabilité
magnétique du milieu ;
˝ la capacitance est : C “
πε
ln p dr q
avec ε “ ε0 ˆ εr
Si les deux fils métalliques sont séparés par du vide, on remarque que :
LC “ µ0 ε0
2.2.2
Conditions de propagation sans pertes d’une onde sinusoïdale
Supposons dans un premier temps que la résistance R des fils ainsi que la conductance entre les fils sont
nulles. Comme les capacités et les bobines restituent la totalité de l’énergie qu’elles absorbent au cours du
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temps, on peut en déduire qu’un signal sinusoïdal est transmis sans perte.
Ceci est par ailleurs une évidence dans le cas limite des pulsations très faibles où tensions et courants sont
constants : le circuit équivalent au circuit LC contient donc une inductance qui se comporte comme un
simple fil de résistance nulle et une capacité correspondant à un interrupteur ouvert.
Ve
L
C
V=c te(t)
Vs
( )
Ve = Vs
( )
Figure 8 – Onde sinusoïdale sans perte et cas limite des tensions (et courants) continus.
Pour des pulsations non nulles (sans être pour autant dans le cadre de très hautes fréquences), un déphasage résulte de la présence de l’inductance et de la capacité. En effet, lors d’un cycle lié à une sinusoïde, la
charge puis la décharge de la capacité retarde la propagation de la tension. En imaginant qu’il y a, par unité
de distance x, l’équivalent d’une inductance et d’une capacité, on peut modéliser le déphasage créé par βx
dans l’expression : Vs pxq “ Ve sin pωt ´ βxq où β correspond au coefficient de changement de phase (unités :
radian par mètre).
La longueur d’onde λ étant la longueur au bout de laquelle la sinusoïde a réalisé un cycle complet, on a :
β ˆ λ “ 2π soit β “
2π
λ
De plus, le temps que met le signal pour faire un cycle complet au même point étant la période T , inverse
de la fréquence, on en déduit également que la vitesse de phase est :
v“
λ
λ
2π
ω
“
“ λ ˆ f donc, sachant que f “ ω{2π et λ “
, on obtient v “
T
1{f
β
β
Une fois que la capacité est chargée et que l’inductance transmet le courant, de l’énergie électrique est
emmagasinée. Il est donc clair qu’une ligne de transmission transportant une onde sinusoïdale stocke de
l’énergie sur toute sa longueur. En réalité, cela signifie que de l’énergie est transportée par le signal sinusoïdal.
Toujours en considérant une cellule (LC) par unité de longueur, le générateur fournit au tout début de
l’énergie pour transmettre la signal à travers la première cellule puis, de manière continue, pour que ce signal
soit transmis de proche en proche à chacune des cellules. La vitesse avec laquelle l’énergie se déplace de cellule
en cellule correspond à la vitesse de groupe et on a alors la relation (que l’on démontrera ultérieurement) :
vg “
dω
dβ
Bien que ceci ait été passé sous silence, il faut par ailleurs que la ligne soit “correctement terminée” par
le récepteur. Cela veut dire, sans rentrer dans le détail, que le récepteur doit être capable d’absorber cette
énergie à une vitesse équivalente et sans réflexion du signal.
15
2.2.3
Conditions de propagation avec atténuation d’une onde sinusoïdale
Dans une ligne de transmission réelle, une partie énergie est perdue ce qui fait que l’on constate une
atténuation de l’amplitude du signal lorsque la distance entre émetteur et récepteur augmente. En fait,
la diminution de cette amplitude est elle-même proportionnelle à l’amplitude et résulte des composantes
(résistance linéique de chaque fils et conductance linéique entre les fils) qui ont été négligées dans le cas
précédent.
De manière à modéliser cette diminution d’amplitude, on associe un coefficient d’atténuation dépendant
de la distance x (entre l’émetteur et le point considéré). La nouvelle relation donnant la tension au point
x est alors : Vs pxq “ Ve e´αx sin pωt ´ βxq. Les unités du coefficient d’atténuation sont des nepers (Np) par
mètre.
Il est d’usage de noter cette atténuation par unité de distance en décibel. Le rapport des amplitudes est
donc pour un mètre :
ˆ
˙
Ve p0q
Vs pxq ´1
“
“ eα
Vs pxq
Ve p0q
Et si α “ 1 neper alors eα “ e “ 2.72 ce qui donne en décibel 20 log10 pVe p0q{Vs pxqq “ 20 log10 peq “ 8.686 dB
c’est-à-dire une atténuation assez importante.
2.2.4
Atténuation et déphasage : conditions réelles de propagation d’une onde sinusoïdale
On utilise la notion de phaseur : V pxq “ V px “ 0q ˆ e´αx ˆ e´jβx “ V p0q ˆ e´pα`jβqx où pα ` jβq est
appelée constante de propagation et généralement notée γ, ce qui permet d’écrire :
V pxq “ V p0q e´γx
Pour déterminer les conditions globales de propagation de l’onde sinusoïdale, utilisons les lois de Kirchhoff
(loi des tensions et loi des courants) pour un élément infinitésimal de fils décrit par la figure 7 :
dI
dt
dV
“ Ipx ` dxq ´ Ipxq “ GdxV ` Cdx
dt
Vs ´ Ve “ V px ` dxq ´ V pxq “ RdxI ` Ldx
Is ´ Ie
Donc, puisque tensions et courants dépendent de la position x et du temps t, on obtient les équations
différentielles du premier ordre couplées suivantes :
BV px, tq
Bx
BIpx, tq
Bx
BIpx, tq
Bt
BV px, tq
“ GV px, tq ` C
Bt
“ RIpx, tq ` L
On peut passer aux dérivées secondes et écrire de manière plus compacte.
B2V
Bx2
B2I
Bx2
BI
B2I
`L
Bx
BxBt
BV
B2V
“ G
`C
Bx
BxBt
“ R
Ainsi que :
B2V
BxBt
B2I
BtBx
BI
B2I
`L 2
Bt
Bt
BV
B2V
“ G
`C 2
Bt
Bt
“ R
16
Donc on obtient :
B2V
Bx2
B2I
Bx2
˙
ˆ
˙
BV
BV
B2V
`Lˆ G
“ R ˆ GV ` C
`C 2
Bt
Bt
Bt
˙
ˆ
ˆ
˙
2
BI
BI
B I
`C R `L 2
“ G RI ` L
Bt
Bt
Bt
ˆ
Soit au final deux équations similaires pour V px, tq et Ipx, tq :
B2V
BV
B2V
´
LC
´ pRC ` LGq
´ RG ˆ V “ 0
2
2
Bx
Bt
Bt
B2I
BI
B2I
´
LC
´ pRC ` LGq ´ RG ˆ I “ 0
2
2
Bx
Bt
Bt
Si l’on utilise les notations complexes : V px, tq “ V pxq ˆ ejωt et Ipx, tq “ Ipxq ˆ ejωt , les solutions de ces
équations différentielles sont :
U pxq “ Aeγx ` Be´γx
ˆ
˙
1
γx
´γx
Ipxq “
Ae ´ Be
Zc
avec :
d
Zc “
R ` jLω
G ` jCω
et
γ“
a
pR ` jLωqpG ` jCωq “ α ` jβ
où :
˝ Zc est l’impédance caractéristique de la ligne ;
˝ γ est la constante de propagation ;
˝ α est le coefficient d’atténuation ;
˝ β est la constante de phase.
On remarque de plus que la solution générale est une combinaison linéaire d’une onde incidente et une onde
réfléchie.
2.2.5
Cas spécifiques
Ligne sans pertes : À partir de l’impédance caractéristique de la ligne, on retrouve que dans des conditions
de propagation sans pertes d’une onde sinusoïdale, le circuit est équivalent à un circuit LC. En effet, avec
R “ 0 et G “ 0, on a :
d
c
R ` jLω
L
Zc “
“
G ` jCω
C
b
L
Conditions sans distorsion : On peut également remarquer qu’il existe un cas où Zc “
C sans que les
conditions R “ 0 et G “ 0 ne soient remplies. Il s’agit de ce qu’on appelle des “conditions sans distorsion”
c’est-à-dire lorsque :
R
G
“
L
C
de sortes que lorsqu’on factorise, on puisse simplifier :
d
c
LpR{L ` jωq
L
Zc “
“
CpG{C ` jωq
C
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Ces “conditions sans distorsion” ne sont jamais remplies en pratique puisque G{C reste bien plus petit que
R{L.
Hautes fréquences (pulsations) : Les constantes linéiques L et C sont normalement indépendantes de la
fréquence du signal qui se propagent. Ce n’est pas le cas en revanche des valeurs de la résistance linéique des
fils R et de la conductance linéique G entre les fils. Elles augmentent avec la pulsation mais cette dépendance
n’est pas linéaire (plus faible) et ainsi, on obtient pour des pulsations élevées : ωL ąą R et ωC ąą G (ce
qui signifie au moins un ordrebde grandeur). Ainsi, dans ces conditions de pulsations (fréquences) élevées, on
retrouve les conditions Zc “
L
C
Constante de propagation : Dans des conditions de propagation sans pertes (R “ 0 et G “ 0), on obtient
une constante de propagation qui est un imaginaire pur :
a
?
γ “ j 2 ω 2 LC “ jω LC
?
Dès lors, α “ 0 et β “ ω LC, donc on peut simplifier les expressions des tensions et courant :
U pxq “ Aeγx ` Be´γx “ Aejβx ` Be´jβx
˙
˙
ˆ
ˆ
1
1
Aeγx ´ Be´γx “
Aejβx ´ Be´jβx
Ipxq “
Zc
Zc
Et ainsi :
β
β
U px, tq “ U pxq ˆ ejωt “ Aejωpt` ω xq ` Bejωpt´ ω xq
On voit qu’il n’y a pas d’atténuation du signal et que la vitesse de groupe peut s’écrire :
v“
ω
1
“?
β
LC
Il faut cependant savoir que L et C ne sont pas des impédances linéiques indépendantes. En effet, les expressions que pour une distance d entre les fils qui augmentent, L augmente également alors que C diminue,
et ?
que finalement le produit reste constant pour un milieu de propagation donné (avec, comme on l’a vu,
1{ LC égal à la vitesse de propagation de l’onde dans le milieu i.e. 3 ˆ 108 m{s dans le vide).
Si R et G ne sont pas nulles, mais que l’on se situe dans des conditions de propagation sans distorsion,
i.e. R{L “ G{C, on peut également simplifier l’expression de la constante de propagation :
d ˆ
˙ ˆ
˙ ˆ
˙
?
R
G
R
γ “ LC
` jω ˆ
` jω “
` jω
LC
L
C
L
b
Ce qui donne : α “ R
C
L
?
et β “ ω LC et puisque
R
L
“
G
C,
on peut réécrire le coefficient d’atténuation :
c ˙
ˆ c
C
L
1
α“ ˆ R
`G
2
L
C
Ces relations restent valables dans le cadre de hautes fréquences (pulsations).
2.2.6
Généralisation à un ensemble d’ondes sinusoïdales
En pratique, le signal transmis ne correspond pas à une seule sinusoïde mais à tout un spectre et la notion
de vitesse de groupe prend alors toute sa signification. La transformée de Fourier d’un pic de tension (une
impulsion infiniment mince) est un ensemble infini de signaux ayant tous la même amplitude mais de toutes
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les fréquences.
Si toutes ces ondes sinusoïdales se déplacent avec une même vitesse de phase, elles doivent s’annuler partout
sauf en un point donnant le profil de l’onde c’est-à-dire une impulsion se déplaçant avec la même vitesse que
les phases des ondes. Si, en revanche, les composantes de la transformée de Fourier possèdent des vitesses
de phase différentes, l’impulsion (qui, comme on l’a vu, transporte l’énergie du signal), se déplace tout de
même avec un vitesse de groupe égale à :
dω
vg “
dβ
Et ce, indépendamment, de la forme initiale du signal. Par la suite, ce signal peut parfaitement se déformer
ce qui arrive lorsque dω
dβ varie fortement avec la fréquence. Lorsqu’on
β= f(ω)
0
ωl
ωh
ω
Figure 9 – Constante de phase en fonction de la pulsation pour une ligne de transmission réelle (milieu
dispersif) : la pente inverse à la courbe i.e. la vitesse de phase change plus rapidement autour de ωl qu’autour
de ωh signant un milieu plus dispersif à basses qu’à hautes fréquences (pulsations).
Constantes linéiques pour des lignes de transmission à géométrie simple
On présente ici un résumé des géométries les plus simples utilisées comme lignes de transmission. Les
formules présentées doivent être redémontrées en utilisant les principaux théorèmes d’électrostatique et de
magnétostatique (théorème de Gauss et théorème d’Ampère).
Deux fils parallèles dans un milieu diélectrique ε :
rayon (r)
distance (d)
ε
constante
diélectrique
Pour deux fils conducteurs réalisés avec un métal de résistivité ρ, de
rayon r, parallèles et séparés d’une distance d (avec r ăă d) par un
milieu de constante diélectrique ε, on obtient :
˝ la résistance est : R “ ρ{pπr2 q (pour de basses fréquences) ;
` ˘
˝ l’inductance est : L “ πµ ln dr avec µ “ µ0 ˆ µr la perméabilité
magnétique du milieu ;
˝ la capacitance est : C “
πε
ln p dr q
avec ε “ ε0 ˆ εr
Si les deux fils métalliques sont séparés par du vide, on a : LC “ µ0 ε0
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Deux bandes parallèles séparées par un milieu diélectrique ε :
Pour deux bandes conductrices réalisés avec un métal de résistivité ρ,
de sections l ˆ a, parallèles et séparés d’une distance d par un milieu
de constante diélectrique ε, on obtient :
a
d
ε
˝ la résistance est : R “ ρ{pl ˆ aq ;
˝ l’inductance est : L “
˝ la capacitance est : C
l
µˆd
l ;
“ lˆε
d .
Si les deux bandes métalliques sont séparées par du vide, on a :
LC “ µ0 ε0
Câble coaxial avec séparation par un milieu diélectrique ε :
Le fil conducteur central ainsi que le conducteur constituant la
gaine sont réalisés avec un métal de résistivité ρ ; ils possèdent le
même axe et les rayons externes et interne du fil et de la gaine sont
respectivement a et b séparés par un milieu de constante diélectrique
ε. Par conséquent, on obtient :
b
a
˝ la résistance du fil central est : R “ ρ{pπ ˆ a2 q ;
` ˘
µ
˝ l’inductance est : L “ 2π
ln ab ;
ε
˝ la capacitance est : C “
2πε
.
ln p ab q
Si le milieu en question est le vide, on a : LC “ µ0 ε0
Fil métallique séparé d’une plaque avec un milieu diélectrique ε :
Le fil conducteur est réalisé à partir d’un métal de résistivité ρ, de
rayon r, dont la distance à la plaque est d{2 (avec r ăă d{2) dans un
milieu de constante diélectrique ε. Ainsi, on obtient :
r
ε
d/2
˝ la résistance du fil central est : R “ ρ{pπ ˆ r2 q ;
` ˘
µ
˝ l’inductance est : L “ 2π
ln dr ;
˝ la capacitance est : C “
2πε
.
ln p dr q
Si le milieu en question est le vide, on a : LC “ µ0 ε0
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Application n˝ 1 : calcul de l’inductance et considérations énergétiques pour le câble coaxial
i) en appliquant le théorème d’Ampère, déterminer la quantité d’énergie magnétique stockée par unité de
longueur pour un câble coaxial ;
ii) en déduire son inductance par unité de longueur ;
iii) en partant de l’équation de Poisson, déterminer la quantité d’énergie électrostatique stockée par unité
de longueur pour ce même câble coaxial.
Application n˝ 2 : Effet de peau lié au champ magnétique créé par le courant traversant un conducteur
Soit un fil conducteur de rayon R parcouru par un courant I. On se place, dans un premier temps, dans le
cadre d’un régime statique :
i) en appliquant le théorème d’Ampère, calculer le champ magnétique créé par le courant à l’intérieur de
ce conducteur puis à l’extérieur de ce conducteur ;
ii) représenter alors le champ magnétique en fonction de la distance r à l’axe du conducteur ;
Dans le cadre d’un régime variable (I ‰ Cte ), le champ magnétique B varie dans le temps et il y a couplage
avec le champ électrique via la loi de Lenz (e “ ´ dφ
dt ) :
iii) quelles sont les conséquences en terme de densité de courant à l’intérieur du conducteur ;
iv ) représenter alors cet “effet de peau” en fonction de la pulsation d’un courant variant comme une fonction sinusoïdale.
Application n˝ 3 : Perte d’énergie d’une ligne de transmission RLC
Une ligne de transmission avec perte possède une résistance par unité de longueur R, une inductance par
unité de longueur L, et une capacité par unité de longueur C. La résistance peut être considérée comme
étant en série avec l’inductance.
i) montrer que les conditions de propagation pour la ligne peuvent s’écrire :
1 BI
BV
“´
Bt
C Bx
BI
R
1 BV
“´ I´
Bt
L
L Bx
où I “ Ipx, tq et V “ V px, tq sont respectivement le courant et la tension le long de la ligne.
ii) on peut obtenir une équation de conservation de l’énergie de la forme :
BE
BI
`
“ ´R.I 2
Bt
Bx
où E est l’énergie stockée par unité de longueur de ligne et I le flux en énergie.
iii) donner les expressions de E et E.
iv ) à quoi correspond le terme à droite de l’égalité (´R.I 2 ) ?
v ) montrer que le courant doit satisfaire l’équation de propagation :
B2I
R BI
1 B2I
`
“
Bt2
L Bt
LC Bx2
21