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La preuve
de la conjecture
de Goldbach
Yves Meyer
[email protected]
1
2
Le congr`
es international
des math´
ematiciens
se tiendra
`
a S´
eoul, Cor´
ee-du-Sud,
du 13 au 21 aoˆ
ut 2014.
Que s’y passera-t-il ?
Vous allez le savoir maintenant.
3
1. Les nombres premiers.
Un produit n = l × m de deux nombres entiers l ≥ 2
et m ≥ 2 est un nombre compos´e. Les entiers l et m sont
des diviseurs de n. Un nombre premier est un entier naturel n ≥ 2 qui n’est pas compos´e. Par exemple 6 = 2×3
est compos´e, tout comme 21 = 3 × 7, mais 11 est premier. En allant un peu plus loin, 97 est premier ainsi que
101, mais 98 = 2 × 72, 99 = 32 × 11, 100 = 22 × 52 ne
sont pas premiers. Un nombre pair ne peut ˆetre premier
(sauf 2).
Un test de primalit´e est un algorithme permettant de
savoir si un nombre entier n est premier. Ces tests
sont lents et deviennent impraticables d`es que n est tr`es
grand. En 2002, trois jeunes math´ematiciens indiens
Manindra Agrawal, Nitin Saxena et Neeraj Kayal ont
d´ecouvert un test de primalit´e qui ne n´ecessite que
O((log2 n)12) op´erations ´el´ementaires.
Les 25 nombres premiers inf´erieurs `a 100 sont : 2, 3, 5,
7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67,
71, 73, 79, 83, 89 et 97.
La premi`ere trace des nombres premiers se trouve dans
´ ements d’Euclide (tomes VII a` IX). Euclide d´emontra
les El´
le th´eor`eme suivant il y a deux mille trois cents ans:
Th´
eor`
eme 1.1. Il y a une infinit´e de nombres premiers.
4
Les nombres premiers, ´ecrits dans l’ordre croissant, forment donc une suite infinie (qui ne s’arrˆete pas)
p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5, p4 = 7, p5 = 11, p6 = 13,
p7 = 17, p8 = 19, p9 = 23, p10 = 29, p11 = 31, . . .
On ne sait que tr`es peu de choses sur les nombres premiers. Il n’existe pas d’algorithme produisant automatiquement des nombres premiers. On ne sait pas calculer
le n-i`eme nombre premier (not´e pn).
Les diff´erences pn+1 − pn valent 2, 4, 6 et 8 lorsque
1 ≤ n ≤ 24. Ces diff´erences sont petites.
Le math´ematicien am´ericain Yitang Zhang vient de
d´emontrer que de telles “petites diff´erences” apparaissent
une infinit´e de fois dans la suite des nombres premiers :
Th´
eor`
eme 1.2. Il existe un entier r inf´erieur `
a 7.107
tel que l’on ait pn+1 − pn = r pour une infinit´e de
nombres premiers pn.
Ceci sera publi´e dans quelques mois aux Annals of
Mathematics, ´edit´e par l’Universit´e de Princeton.
Yitang Zhang esp`ere d´emontrer qu’il existe une infinit´e de nombres premiers pn tels que pn+1 − pn =
2 (conjecture des nombres premiers jumeaux). Yitang
Zhang exposera sa d´ecouverte au congr`es international
des math´ematiciens qui se tiendra a` S´eoul du 13 au 21
aoˆut 2014.
Les nombres premiers servent a` s´ecuriser les paiements
en ligne.
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Le chiffrement RSA (nomm´e par les initiales de ses
trois inventeurs) est l’algorithme de cryptographie le plus
utilis´e dans le commerce ´electronique, et plus g´en´eralement
pour ´echanger des donn´ees confidentielles sur Internet.
Cet algorithme a ´et´e invent´e en 1977 par Ronald Rivest,
Adi Shamir et Leonard Adleman.
RSA fonctionne parce que nous ne savons presque rien
sur les nombres premiers.
Le plus grand nombre premier connu (d´ecouvert le 25
janvier 2013, dans le cadre du projet GIMPS) est le nombre de Mersenne
P = 257.885.161 − 1.
On sait qu’il y a une infinit´e de nombres premiers mais
on ne sait pas les construire. Ceci parce que la preuve
du th´eor`eme d’Euclide n’est pas constructive.
2. La conjecture de Goldbach
La conjecture de Goldbach (1690-1764), ´enonc´ee en
1742 dans une lettre de Goldbach a` Euler, dit que tout
nombre entier impair n, sup´erieur ou ´egal `a 7, est la
somme de trois nombres premiers.
L’entier n vous ´etant donn´e, vous trouverez, en cherchant bien, trois nombres premiers p, q et r tels que
n = p + q + r.
V´erifions la conjecture de Goldbach sur les entiers impairs inf´erieurs `a 100. On a :
6
99 = 11 + 19 + 67
97 = 11 + 17 + 67
95 = 17 + 19 + 59
93 = 3 + 31 + 59
91 = 3 + 29 + 59
89 = 13 + 17 + 59
87 = 11 + 17 + 59
85 = 7 + 19 + 59
83 = 5 + 19 + 59
81 = 3 + 19 + 59
79 = 3 + 17 + 59
...
41 = 11 + 13 + 17
...
7 = 3 + 2 + 2.
Le math´ematicien suisse Leonhard Euler (1707-1783)
r´epondit `a Goldbach en lui proposant une conjecture plus
puissante, a` savoir que: tout entier pair sup´erieur ou
´egal `a 4 est la somme de deux nombres premiers. Par
exemple 6=3+3. La conjecture initiale de Goldbach est
d´esormais appel´ee conjecture faible de Goldbach tandis
que l’´enonc´e d’Euler est la conjecture forte de Goldbach.
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Leonhard Euler, né le 15 avril 1707 à Bâle
et mort à 76 ans le 18 septembre 1783 à
Saint-Pétersbourg, est un mathématicien
et physicien suisse, qui passa la plus grande
partie de sa vie en Russie et en Allemagne.
Euler fit d'importantes découvertes dans
des domaines aussi variés que la mécanique, la
dynamique des fluides, l’optique et l’astronomie.
Euler est l'un des plus grands mathématiciens
de tous les temps.
8
3. Harald Helfgott
Ce jeune mathématicien péruvien de 36 ans
a démontré la conjecture faible de Goldbach,
un problème que les plus grands
mathématiciens au monde n’avaient
pu résoudre.
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La conjecture faible vient d’ˆetre d´emontr´ee (juin 2013)
par le math´ematicien p´eruvien Harald Andr´es Helfgott,
n´e le 25 novembre 1977, a` Lima (P´erou).
Th´
eor`
eme 3.1. Tout nombre entier impair n ≥ 7
est la somme de trois nombres premiers.
La conjecture forte n’a toujours pas ´et´e d´emontr´ee. Elle
a ´et´e v´erifi´ee pour tous les entiers n ≤ 4.1018, grˆace `a un
programme informatique. Nous nous servirons de cette
v´erification. Que se passe-t-il pour n > 4.1018 ?
Pour tout entier n, on peut donc trouver trois nombres
premiers p, q et r tels que n = p+q+r. Il n’y a cependant
aucun algorithme fournissant cette d´ecomposition. La
preuve est indirecte ; elle n’est pas constructive.
Pourquoi a-t-il fallu attendre 250 ans pour que la conjecture de Goldbach soit d´emontr´ee ? Euler ´etait pourtant un g´enie. En quoi Harald Andr´es Helfgott d´epasset-il Euler ?
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4. La transmission des savoirs.
Dans un texte saisissant Montaigne r´epond `a cette question.
Ce que ma force ne peut d´ecouvrir, je ne
laisse pas de le sonder et essayer et, en retastant et p´etrissant cette nouvelle mati`ere,
la remuant et l’eschaufant, j’ouvre `
a qui
me suit quelque facilit´e. Autant en fera le
second au tiers qui est cause que la difficult´e ne me doit pas d´esesp´erer, ni aussi
peu mon impuissance...
Montaigne, Essais, Livre II, Chapitre XII, (1580).
Pascal pense de mˆeme quand il ´ecrit :
[Les Anciens] s’´etant ´elev´es jusqu’`
a un certain degr´e o`
u ils nous ont port´es, le moindre effort nous fait monter plus haut, et
avec moins de peine et moins de gloire nous
nous trouvons au-dessus d’eux. C’est de
l`a que nous pouvons d´ecouvrir des choses
qu’il leur ´etait impossible d’apercevoir. Notre
vue a plus d’´etendue, et, quoiqu’ils connussent aussi bien que nous tout ce qu’ils
pouvaient remarquer de la nature, ils n’en
connaissaient pas tant n´eanmoins, et nous
voyons plus qu’eux.
Blaise Pascal, Pr´eface sur le trait´e du vide,
(1647).
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Les math´ematiques sont encore dans l’enfance. Elles
grandissent, s’enrichissent et se perfectionnent jour apr`es
jour. Comme la vie sur Terre ! La vie n’´etait au d´epart
constitu´ee que de quelques brins d’ARN inorganis´es et
´epars.
Ensuite la vie s’est complexifi´ee au cours de l’´evolution
et l’homme est apparu, homo habilis, puis homo erectus
et enfin homo sapiens.
L’´evolution des math´ematiques prolonge la grande
´evolution qui a conduit `
a l’homo sapiens.
Ce progr`es puissant, continu et incessant des math´ematiques est ´evident dans la preuve de la conjecture de
Goldbach.
C’est grˆace aux d´ecouvertes faites par un paysan fran¸cais
(Fran¸cois Proth), par un indien (Srinivasa Ramanujan),
par deux anglais (Hardy et Littlewood), par un russe
sovi´etique (Vinogradov) et par un p´eruvien (Helfgott)
que la conjecture de Goldbach a pu enfin ˆetre d´emontr´ee.
Les math´ematiques se moquent des nations et des fronti`eres.
C’est pourquoi les congr`es internationaux des math´ematiciens
sont bouleversants. Nous y venons de tous les pays au
monde pour partager notre passion pour la recherche.
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5. Christian Goldbach
N´e le 18 mars 1690 a` K¨onigsberg en Prusse (actuellement Kaliningrad en Russie), Christian Goldbach ´etait
le fils d’un pasteur. D`es 1710, il entreprit ses premiers
voyages en Europe, au cours desquels il rencontra les
principaux math´ematiciens de son temps. En 1725, il
fut nomm´e professeur de math´ematiques et historien a`
l’Acad´emie imp´eriale de Saint-P´etersbourg qui venait d’ˆetre
cr´e´ee.
Ses recherches math´ematiques concernaient alors le domaine de l’analyse : il r´esolut en particulier divers cas
d’´equations diff´erentielles de Ricatti et proposa des m´ethodes
nouvelles d’analyse des s´eries infinies. Il s’installa `a Moscou
comme tuteur du tsar´evitch Pierre II a` partir de 1728,
mais sa carri`ere de pr´ecepteur s’ach`eva deux ans plus
tard avec la mort pr´ematur´ee de son ´el`eve.
Goldbach resta n´eanmoins au service de la famille imp´eriale
a` Moscou, puis `a Saint-P´etersbourg lorsque la cour s’y
installa en 1732. De 1729 a` 1763, Goldbach entretint
une correspondance suivie avec le math´ematicien suisse
Leonhard Euler (1707-1783) et c’est dans ce cadre que
se d´eveloppa sa contribution `a la th´eorie des nombres.
Dans une lettre `a Euler du 7 juin 1742, il ´enon¸ca la conjecture suivante :
Tout nombre entier sup´erieur ou ´egal `
a 7 est la
somme de trois nombres premiers.
Goldbach mourut le 20 novembre 1764 a` Moscou.
13
La lettre de Goldbach à Euler
où Goldbach énonce sa conjecture
est reproduite sur la page suivante.
14
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6. Les travaux fondateurs
Les premiers travaux sont dus a` Hardy (G.H. Hardy,
1877-1947), Littlewood (J.E. Littlewood, 1885-1977) et
Ramanujan.
Srinivˆasa Aiyangˆar Rˆamˆanujan (1887-1920) est un math´ematicien indien, issu d’une famille brahmane, pauvre et orthodoxe. Rˆamˆanujan ´etait un autodidacte. Il
apprit les math´ematiques a` partir de deux livres qu’il
s’´etait procur´es `a 15 ans. Ramanujan a ´enonc´e, sans les
d´emontrer, des r´esultats tr`es profonds sur la th´eorie des
nombres. Il tenta alors d’int´eresser les math´ematiciens
europ´eens `a son travail.
Une lettre de 1913 a` Godfrey Harold Hardy contenait une longue liste de formules et de th´eor`emes sans
d´emonstration. Hardy consid´era tout d’abord cet envoi inhabituel comme une supercherie, puis, interpel´e
par l’´etranget´e de certains th´eor`emes, Hardy en discuta
longuement avec John Littlewood pour aboutir a` la conviction que son auteur ´etait certainement un “homme de
g´enie”.
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Hardy lui r´epondit et invita Ramanujan a` venir en Angleterre ; une collaboration fructueuse, en compagnie de
Littlewood, en r´esulta. Hardy d´eclara, `a propos de certaines formules qu’il ne pouvait comprendre, qu’“un seul
coup d’œil sur ces formules ´etait suffisant pour se rendre compte qu’elles ne pouvaient ˆetre pens´ees que par
un math´ematicien de tout premier rang.” Hardy aimait
classer les math´ematiciens sur une ´echelle de 1 `a 100.
Il s’attribuait 25, donnait 30 `a Littlewood, 80 `a David
Hilbert et 100 a` Ramanujan.
La m´ethode invent´ee par Ramanujan est appel´ee aujourd’hui la m´ethode du cercle. Elle consiste a` traduire
des probl`emes d’arithm´etique portant sur des nombres
entiers en des calculs d’int´egrales portant sur des sommes
de sinus et de cosinus. L’arithm´etique devient l’analyse
o`u de nouvelles comp´etences sont utilis´ees. Ce m´elange
entre analyse et arithm´etique s’appelle la th´eorie analytique des nombres.
Hardy et Littlewood d´emontr`erent, en 1923, qu’au del`a
d’un nombre entier C1 tout nombre impair n ≥ C1
est la somme de trois nombres premiers. Mais, pour
ce faire, ils devaient admettre l’hypoth`ese de Riemann
g´en´eralis´ee (GRH). Le math´ematicien sovi´etique Vinogradov (Ivan Vinogradov, 1891-1983), prouva, en 1937,
le mˆeme r´esultat sans avoir besoin de GRH. Il suffira donc
de v´erifier la conjecture pour les nombres plus petits que
C1 !
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Malheureusement le nombre C1 obtenu par Vinogradov
est tellement grand (C1 ' 101000) qu’il est impossible de
v´erifier la conjecture de Goldbach pour tous les entiers
plus petits que C1. Mˆeme en utilisant les ordinateurs les
plus puissants au monde.
Olivier Ramar´e d´emontra, en 1995, que tout entier
pair est somme de six nombres premiers. Terence Tao
prouva, en 2012, que tout entier impair n ≥ 3 est somme
de cinq nombres premiers au plus.
7. La preuve de Helfgott
La preuve se d´ecompose en deux parties.
7.1. Premi`
ere partie. En am´eliorant les travaux de
Vinogradov, Helfgott r´eussit a` remplacer C1 ' 101000
par C0 = 8, 876 · 1030 dans le th´eor`eme de Vinogradov.
On a donc
Lemme 7.1. Tout entier impair n > C0 = 8, 876·1030
est la somme de trois nombres premiers.
La preuve est bas´ee sur la m´ethode du cercle, invent´ee
par Hardy, Littlewood et Ramanujan. La m´ethode du
cercle relie la th´eorie des nombres et l’analyse math´ematique
(l’´etude des fonctions et le calcul de certaines int´egrales).
La m´ethode du cercle fait partie d’un programme plus
g´en´eral qui est la th´eorie analytique des nombres.
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7.2. Seconde partie : les ´
echelles de nombres
premiers. Il reste ensuite a` r´egler le cas des entiers
n ≤ C0 = 8, 876 · 1030. Cette partie de la d´emonstration
est bas´ee sur la construction d’´echelles de nombres premiers de tr`es grande longueur et telles que la distance
entre deux nombres premiers cons´ecutifs soit la plus petite possible, compte tenu de la longueur.
D´
efinition 7.1. Une ´echelle de nombres premiers
de raison r et de taille l est une suite croissante
q1 < q2 < . . . < ql compos´ee de nombres premiers
et telle que q1 ≤ r, et
qj+1 − qj ≤ r
(1 ≤ j ≤ l − 1)
(1)
La taille d’une ´echelle est donc le nombre de ses barreaux. La longueur de l’´echelle est ql − q1. Pour un r
donn´e, la taille l de l’´echelle ne peut d´epasser er /r. Cela
r´esulte du th´eor`eme de Gauss sur la r´epartition des nombres premiers (le nombre de nombres premiers compris
entre 1 et N est asymptotiquement logNN ).
Le th´eor`eme de Green-Tao, d´emontr´e en 2004 par Ben
Joseph Green et Terence Tao, dit que pour tout entier
l, il existe une progression arithm´etique qj 1 ≤ j ≤ l,
compos´ee de l nombre premiers.
Helfgott et David Platt d´emontr`erent le th´eor`eme suivant:
20
Th´
eor`
eme 7.1. Il existe une ´echelle de nombres premiers dont la raison est r = 4.1018 et qui permet de
monter jusqu’`a ql = 8, 876.1030.
Le nombre l de barreaux de cette ´echelle (c’est-`a-dire le
nombre de nombres premiers construits) d´epasse 2, 219.1012.
Montrons que ce th´eor`eme implique la conjecture de
Goldbach. Si n > 8, 876.1030, le lemme 7.1 permet de
conclure : n est la somme de trois nombres premiers. Si
n ≤ 8, 876.1030 alors n se trouve situ´e entre deux barreaux cons´ecutifs de l’´echelle. On a qj ≤ n < qj+1. On
forme ensuite m = n−qj . On a 0 ≤ m ≤ 4.1018. Mais la
conjecture forte de Goldbach a ´et´e v´erifi´ee num´eriquement
jusqu’`a la valeur M = 4.1018 par trois informaticiens,
Tom´as Oliveira e Silva, Siegfried Herzog et Silvio Pardi.
On peut donc ´ecrire m = p + p0 o`u p et p0 sont deux
nombres premiers. Finalement n = qj + p + p0 est la
somme de trois nombres premiers.
La construction par Helfgott d’´echelles tr`es longues de
nombres premiers utilise le th´eor`eme de Proth.
Fran¸cois Proth (1852-1879) ´etait un fermier et un math´ematicien autodidacte qui a v´ecu a` Vaux-devant-Damloup pr`es de Verdun. La cause de la mort de Proth n’est
pas connue.
Proth a d´emontr´e quatre th´eor`emes sur les nombres
premiers. Un nombre de Proth est un nombre entier de
la forme x = k 2n + 1 o`u 1 ≤ k < 2n et o`u k est impair. Le crit`ere de Proth donne une condition n´ecessaire
et suffisante pour qu’un nombre de Proth soit premier.
21
Pour ´enoncer le th´eor`eme de Proth, il faut d´efinir le symbole de Legendre, puis le symbole de Jacobi.
On dit qu’un entier a est un r´esidu quadratique modulo
le nombre premier p s’il existe un entier k tel que a − k 2
soit un multiple de p.
D´
efinition 7.2.Si p est un nombre premier et a
un entier, alors ap d´esigne le symbole de Legendre
(1752-1833). Il vaut :
(i) 0 si a est divisible par p
(ii) 1 si a n’est pas divisible par p et si a est un
r´esidu quadratique modulo p
(iii) −1 si a n’est pas un r´esidu quadratique modulo
p.
Dans l’´enonc´e du crit`ere de Proth ( xa ) d´esigne le symbole de Jacobi (1804-1851). Voici sa d´efinition.
D´
efinition 7.3. Soit x un entier impair sup´erieur
α
`a 2 et x = pα1 1 pα2 2 · · · pk k la d´ecomposition de x en
facteurs premiers. Alors, pour tout entier a, on a :
α1 α2
αk
a
a
a
=
···
.
x
p1
p2
pk
a
22
Th´
eor`
eme 7.2. Soit x un nombre de Proth. S’il
existe un entier a tel que
a
= −1
x
(2)
et
a(x−1)/2 ≡ −1
(mod x)
(3)
alors x est un nombre de Proth premier.
R´eciproquement si x est un nombre de Proth premier, alors (3) est v´erifi´ee pour tout entier a tel que
( xa ) = −1.
Les nombres premiers de l’´echelle de Helfgott sont des
nombres premiers de Proth. Tous les calculs n´ecessaires
ont ´et´e impl´ement´es par Dave Platt et ont ´et´e r´ealis´es, en
partie, au m´esocentre de calcul MesoPSL de l’observatoire
de Paris (la machine parall`ele NEC, a` 1472 cœurs et `a
m´emoire distribu´ee, a ´et´e mise en service en d´ecembre
2012).
R´ef´erence: H.A. Helfgott. Major archs for Goldbach’s
problem. Preprint (13 mai 2013).
Abstract:
The ternary Goldbach conjecture, or three-primes problem, asserts that every odd integer n greater than 5 is the sum of three
primes.
The present paper proves this conjecture.
Both the
ternary Goldbach conjecture and the binary, or strong, Goldbach
23
conjecture had their origin in an exchange of letters between Euler
and Goldbach in 1742. We will follow an approach based on the
circle method, the large sieve and exponential sums, supplemented
by rigorous computations, including a verification of zeros of Lfunctions due to D. Platt. The improved estimates on exponential
sums are proven in a twin paper by the author.
´
Proth, F. (1876), “Enonc´
es de divers th´eor`emes sur
les nombres”, Comptes Rendus des S´eances de l’Acad´emie
des Sciences, Paris 83: 1288-1289.
Proth, F. (1878), “Th´eor`eme relatif `
a la th´eorie des
nombres”, Comptes Rendus des S´eances de l’Acad´emie
des Sciences, Paris 87: 347.
Proth, F. (1878), “Th´eor`emes sur les nombres premiers”, Comptes Rendus des S´eances de l’Acad´emie des
Sciences, Paris 87: 926.