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Physique INDUCTION ELECTROMAGNETIQUE EXERCICE - EXERCICE 28.7 - l ENONCE : « Pertes dans un métal feuilleté » Un métal est feuilleté en tôles identiques de forme parallélépipédique rectangle, de dimensions a, b et h ; le repère (Oxyz), lié à une tôle, a pour origine le centre O du parallélépipède et pour axes les axes de symétrie (figure 1.a ) ; la conductivité de la tôle est notée γ . Le métal est soumis à un champ magnétique sinusoïdal de faible fréquence, dont le r r B = Bm sin(ω t ) ez vecteur est : où Bm est un scalaire positif indépendant du temps et des coordonnées d’espace. Dans ces conditions, le métal est le siège de courants de Foucault : on se propose r d’évaluer la puissance dissipée par ces courants dans une tôle. Compte tenu de la direction de B et de la forme de la tôle, on considère le modèle suivant, où les courants circulent dans des éléments de tôle tels que celui représenté sur la figure 1.b : h y b/2 y dy O r j x a b/2 M x z dy dx - figure 1.a - ∗ a/2 b z ∗ a/2 - figure 1.b - ses dimensions sont : b dans la direction Ox, 2y dans la direction Oy et h dans la direction Oz. La section du conducteur est hdy. 1) a) Calculer la force électromotrice b) e( t ) dans l’élément de tôle à l’instant t. La fréquence du champ magnétique étant faible, l’hypothèse des régimes lentement variables est valide ; dans ces conditions, déterminer le champ induit r r M courant de l’élément de tôle, à l’aide du potentiel-vecteur A dont dérive B . uuuur r r 1 r On admettra que l’on peut calculer A selon : A( M , t ) = B (t ) ∧ OM 2 r c) Retrouver à partir de E ( M , t ) l’expression de e( t ) . r E ( M , t ) au point 2) a) Compte tenu de la réponse à la question 1.b, montrer que les lignes de courant sont très simplifiées ; dans le cadre de ce modèle, écrire l’expression de la conductance l’élément de tôle. Page 1 Christian MAIRE EduKlub S.A. dG r j de Tous droits de l’auteur des œuvres réservés. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et privée sont interdites. Physique INDUCTION ELECTROMAGNETIQUE EXERCICE b) Calculer la puissance moyenne PJ (t) t dissipée par effet Joule dans une tôle. En déduire la puissance volumique moyenne On donne : p J dissipée par effet Joule. y2 C 1 b b2 = Ay + B + , avec : A = ; B = − ; C = b + 2y b + 2y 2 4 4 c) Examiner le cas, pour lequel le modèle est particulièrement bien adapté, où la tôle est très mince, a = b . On rappelle que, au troisième ordre : pour x = 1 , Ln(1 + x ) = x − x 2 / 2 + x 3 / 3 + o( x 3 ) d) Indiquer comment peut être minimisée la puissance calculée à la question précédente, pour un champ magnétique donné. 3) Pour obtenir la dépense minimale de puissance, choisir entre l’aluminium et l’acier, et évaluer la densité de puissance dissipée correspondante avec : ∗ γ (aluminium)= 3,7.107 U .S .I ; γ (acier)= 3,17.105U .S .I ∗ Bm = 0,1T ; ω = 100π rad .s −1; a = 2 mm *************** Page 2 Christian MAIRE EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres réservés. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et privée sont interdites. Physique INDUCTION ELECTROMAGNETIQUE EXERCICE l CORRIGE : « Pertes dans un métal feuilleté » 1) a) Le flux à travers l’élément de tôle vaut : ϕ = Bm sin(ω t) × 2 yb e=− ⇒ la relation de Faraday permet d’écrire : dϕ = −2 ybω Bm cos(ωt ) dt b) En utilisant la relation proposée, il vient : y x Ax ( y, t ) = − Bm sin(ω t ) Ay ( x, t ) = Bm sin(ωt ) 2 2 r r y x ∂A Ex ( y, t ) = ω Bm cos(ω t ) E y ( x, t ) = −ω Bm cos(ωt) Puis, avec E ( M , t) = − , on obtient : 2 2 ∂t r c) Les plans xOz et yOz sont des plans de symétrie du champ magnétique B ; d’après r uuur r r ∂B la relation rotE = − , le champ induit E a un comportement antisymétrique vis-à-vis des ∂t r r plans de symétries de B ⇒ lorsqu’on effectue une symétrie par rapport aux plans xOz et yOz, E est changé en l’opposé de son symétrique ⇒ on obtient les relations suivantes : Ex ( y, t ) = − Ex ( − y, t ) et Ey ( x, t ) = − Ey ( − x, t ) En faisant circuler le champ induit sur le rectangle délimitant l’élément de tôle, il vient : e = −2 × ∫ b/2 −b / 2 ω y y b Bm cos(ωt )dx − 2 × ∫ ω Bm cos(ωt ) dy = −2 ωybBm cos( ωt ) − y 2 4 ce qui correspond effectivement à la fem calculée précédemment. 2) a) Le modèle suppose que les lignes de courant parallèles à Oy : en réalité, r r j = γ E sont soit parallèles à Ox, soit r r E (donc j ) a deux composantes Ex et Ey , sauf en x=0 et y=0. Dans le cadre du modèle, on peut appliquer la relation donnant la conductance d’un tronçon de conducteur droit : S hdy dG = γ × = γ × L 2b + 4 y b) La puissance instantanée se calcule selon : PJ (t ) = ∫ dG × e 2 (t ) = ∫ tole a/ 2 0 4γ hb 2ω 2 Bm2 cos 2 (ωt ) × y2 dy ⇒ 2b + 4 y PJ (t ) t = ∫ a/2 0 γ hb 2ω 2 Bm2 × y2 dy b+ 2y Avec les indications de l’énoncé, il vient : ∫ a/2 0 Finalement : Page 3 a 2 y y b b b2 a2 a 2 y a dy = − × y + × Ln 1 + = × 2 − + Ln 1 + b+ 2y 8 b 0 8 2b b b 4 4 2 2 pJ = 2 PJ (t ) abh t =γ b3 2 2 a 2 a a Bmω 2 − + Ln 1 + 8a b 2b b Christian MAIRE EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres réservés. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et privée sont interdites. Physique INDUCTION ELECTROMAGNETIQUE EXERCICE On en déduit : pJ = PJ (t ) abh t =γ b3 2 2 a 2 a a Bmω 2 − + Ln 1 + 8a b 2b b c) Au troisième ordre en a/b, on peut écrire : a3 a a a2 Ln 1 + ; − 2 + 3 b b 2 b 3b ⇒ pJ = γ a2 2 2 a2 2 2 Bmω = γ Bmπ f 24 6 d) Les pertes sont proportionnelles à la conductivité 2 γ et au carré de l’épaisseur a, ce qui exige l’emploi de tôles de faible conductivité et de faible épaisseur. 3) La conductivité de l’acier étant inférieure à celle de l’aluminium, il faut utiliser des tôles en acier ; l’application numérique conduit à : p J (acier) = 52,1 W .m −3 et p J (aluminium) = 6100 W .m −3 ************* Page 4 Christian MAIRE EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres réservés. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et privée sont interdites.