Transcript Automatique (AU3): Correction des systèmes bouclés

Automatique (AU3): Correction
des systèmes bouclés
Département GEII, IUT de Brest
contact: [email protected]
Plan de la présentation
Introduction
Plan de la présentation
1
Introduction
Hypothèses
Correcteur idéal :
Correcteurs usuels
2
Correcteur P
Exemple
Exemple
3
Correcteur PI
Exemple
Exemple
4
Correcteur PD
Exemple
Exemple
5
Correcteur PID
Exemple
Exemple
Techniques de réglage
Correcteur P
Correcteur PI
Correcteur PD
Correcteur PID
Plan de la présentation
Introduction
Correcteur P
Correcteur PI
Correcteur PD
Introduction
Correcteur PID
3/ 25
• Rappel des objectifs :
Comparateur
E (p )
+
−
(p )
Correcteur
Système
C (p )
F (p )
S (p )
G (p )
Capteur
Nous allons utiliser un correcteur pour satisfaire les contraintes d’un cahier
des charges :
I
I
I
I
stabilité du système bouclé,
précision du système bouclé.
dynamique du système bouclé,
...
Plan de la présentation
Introduction
Correcteur P
Correcteur PI
Correcteur PD
Correcteur PID
Introduction: Hypothèses
4/ 25
• Hypothèses Nous admettrons que la boucle possède un retour unitaire
E (p )
+
−
(p )
C (p )
H (p )
S (p )
• Problématique :
Comment regler C (p ) pour satisfaire le cahier des charges ?
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Introduction
Correcteur P
Correcteur PI
Correcteur PD
Correcteur PID
Introduction: Correcteur idéal :
5/ 25
• Correcteur idéal Nous voulons calibrer C (p ) pour que la fonction de transfert
en boucle fermée respecte un ”modèle” Hm (p )
C (p )H (p )
1 + C (p )H (p )
C (p )H (p )
C (p )H (p ) (1 − Hm (p ))
=
Hm (p )
(1)
=
Hm (p )(1 + C (p )H (p ))
(2)
=
Hm (p )
(3)
Le correcteur idéal à donc pour fonction de transfert :
C (p ) =
Hm (p )
H (p )(1 − Hm (p ))
Sauf que :
I
I
Les contraintes du cahier des charges ne sont pas nécessairement
spécifiées sous la forme d’une fonction de transfert modèle Hm (p ).
Le correcteur C (p ) n’est pas forcement réalisable en pratique.
(4)
Plan de la présentation
Introduction
Correcteur P
Correcteur PI
Correcteur PD
Introduction: Correcteur idéal :
Correcteur PID
6/ 25
• Exercice : Trouver la fonction de transfert C (p ) pour que le système se
comporte en boucle fermée comme un système de premier ordre avec K = 1
et τ = 1s.
E (p )
+
−
(p )
?
2
3p 2 +2p +1
S (p )
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Introduction
Correcteur P
Correcteur PI
Correcteur PD
Introduction: Correcteurs usuels
Correcteur PID
7/ 25
• Correcteurs usuels : Avant propos
E (p )
C (p )
F (p )
S (p )
Objectifs :
50
0
Phase (deg)
Gain (dB)
I
+
−
0
−50
−100
10−1
101
Pulsation (rad/s)
Figure: Module de la Boucle Ouverte
Apporter du gain uniquement en
Basse fréquence ⇒ Precision.
−100
−200
−300
10−1
101
Pulsation (rad/s)
Figure: Phase de la Boucle Ouverte
Apporter de la phase à proximité
du point critique ⇒ Stabilité.
Plan de la présentation
Introduction
Correcteur P
Correcteur PI
Correcteur PD
Introduction: Correcteurs usuels
Correcteur PID
8/ 25
• Correcteurs usuels : Avant propos
I
Correcteur proportionnel (P)
C (p ) = K
I
Correcteur proportionnel/intégral (PI)
C (p ) = K
I
(5)
1 + Ti p
Ti p
!
(6)
Correcteur proportionnel/dérivé (PD)
C (p ) = K (1 + Td p )
I
(7)
Correcteur proportionnel/intégral/dérivé (PID)
1
C (p ) = K 1 +
+ Td p
Ti p
!
(8)
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Introduction
Correcteur P
Correcteur PI
Correcteur PD
Correcteur PID
Correcteur proportionnel (P)
9/ 25
• Expression : La fonction de transfert d’un correcteur P est donnée par
C (p ) = K
(9)
• Réponse harmonique :
I
I
Gain
|C (j ω|dB = 20 log(K )
(10)
ϕ(ω) = 0o
(11)
Phase :
Plan de la présentation
Introduction
Correcteur P
Correcteur PI
Correcteur PD
Correcteur PID
Correcteur proportionnel (P)
10/ 25
• Exemple : Correcteur P
0
0
−100
−50
−200
−100
H(p)
H(p)
C(p)H(p)
10−2
10−1
100
101
C(p)H(p)
102
−300
10−2
10−1
100
101
102
(a) Module de la Boucle Ouverte avec (b) Phase de la Boucle Ouverte avec
K = 2.9
K = 2.9
• En résumé : Si K < 1
Si K > 1
+ amélioration de la stabilité.
+ amélioration de la précision.
- détérioration de la précision.
- détérioration de la stabilité.
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Introduction
Correcteur P
Correcteur PI
Correcteur PD
Correcteur proportionnel (P)
11/ 25
• Exemple : Correcteur P
1.5
sortie
1
0.5
e(t)
H(p)
C(p)H(p)
0
0
10
Correcteur PID
20
30
t (s)
Figure: Réponse indicielle de la boucle fermée avec K = 2.9
40
Plan de la présentation
Introduction
Correcteur P
Correcteur PI
Correcteur PD
Correcteur proportionnel/intégral (PI)
Correcteur PID
12/ 25
• Expression : La fonction de transfert d’un correcteur PI est donnée par
!
1 + Ti p
C (p ) = K
Ti p
(12)
• Réponse harmonique :
I
Gain
|C (j ω|dB = 20 log(K ) + 10 log 1 + Ti2 ω2 − 20 log(Ti ω)
I
Phase :
ϕ(ω) =
180
π
arctan(Ti ω) − 90
(13)
(14)
⇒ En basse-fréquence, le correcteur PI apporte un gain infini mais réduit la
phase de 90o .
⇒ En haute-fréquence, le correcteur PI apporte un gain 20 log(K ).
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Introduction
Correcteur P
Correcteur PI
Correcteur PD
Correcteur PID
Correcteur proportionnel/intégral (PI)
13/ 25
• Réponse harmonique : Diagramme de Bode du correcteur
60
0
−20
Gain (dB)
Phase (deg)
40
20
-45o
−40
−60
20log(K)+3 1/Ti
20log(K)
0
10−3
10−2
1/Ti
−80
10−1
100
Pulsation (rad.s-1 )
(a) Gain (K = 2.9, Ti = 8.5s)
101
10−3
10−2
10−1
100
101
Pulsation (rad.s-1 )
(b) Phase (K = 2.9, Ti = 8.5s)
• En résumé :
+ Précision parfaite (présence d’un intégrateur dans la boucle ouverte).
- Diminution de la stabilité.
- Ralentissement du système.
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Introduction
Correcteur P
Correcteur PI
Correcteur PD
Correcteur PID
Correcteur proportionnel/intégral (PI)
14/ 25
• Exemple : Correcteur PI
0
0
−100
−50
−200
−100
H(p)
H(p)
C(p)H(p)
10−2
10−1
100
101
C(p)H(p)
102
−300
10−2
10−1
100
101
102
(c) Module de la Boucle Ouverte avec (d) Phase de la Boucle Ouverte avec
K = 2.8 et Ti = 8.47s
K = 2.8 et Ti = 8.47s
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Introduction
Correcteur P
Correcteur PI
Correcteur PD
Correcteur proportionnel/intégral (PI)
15/ 25
• Exemple : Correcteur PI
1.5
sortie
1
0.5
e(t)
H(p)
C(p)H(p)
0
0
10
20
Correcteur PID
30
40
t (s)
Figure: Réponse indicielle de la boucle fermée avec K = 2.8 et Ti = 8.47s
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Introduction
Correcteur P
Correcteur PI
Correcteur PD
Correcteur proportionnel/intégral (PI)
Correcteur PID
16/ 25
• Exemple : Si le choix de Ti est trop faible, le système peut devenir instable !
1.5
sortie
1
0.5
e(t)
H(p)
C(p)H(p)
0
0
10
20
30
40
t (s)
Figure: Réponse indicielle de la boucle fermée avec K = 2.8 et Ti = 0.85s
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Introduction
Correcteur P
Correcteur PI
Correcteur PD
Correcteur proportionnel/dérivé (PD)
Correcteur PID
17/ 25
• Expression : La fonction de transfert de ce correcteur est donnée par
C (p ) = K (1 + Td p )
(15)
• Réponse harmonique :
I
Gain
|C (j ω|dB = 20 log(K ) + 10 log 1 + Td2 ω2
I
Phase :
ϕ(ω) =
180
π
arctan(Td ω)
⇒ En basse-fréquence, le correcteur apporte un gain 20 log(K ).
⇒ En haute-fréquence, le correcteur PD augmente la phase de +90o et
apporte un gain infini.
(16)
(17)
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Introduction
Correcteur P
Correcteur PI
Correcteur PD
Correcteur proportionnel/dérivé (PD)
Correcteur PID
18/ 25
• Réponse harmonique : Diagramme de Bode du correcteur
40
Phase (deg)
Gain (dB)
80
20
20 log(K ) + 3
20 log(K )
60
45o
40
1
Td
20
0
1
Td
10−2
10−1
100
Pulsation (rad .s −1 )
(a) Gain (K = 2.3, Td = 2.9s)
101
0
10−2
10−1
100
Pulsation (rad .s −1 )
(b) Phase (K = 2.3, Td = 2.9s)
• En résumé :
+ Amélioration de la stabilité (par apport de phase).
+ Amélioration de la rapidité.
- Amplification des bruits de mesure situés en hautes-fréquence.
101
Plan de la présentation
Introduction
Correcteur P
Correcteur PI
Correcteur PD
Correcteur PID
Correcteur proportionnel/dérivé (PD)
19/ 25
• Exemple : Correcteur PD
0
0
−100
−50
−200
H(p)
−100
10−2
H(p)
C(p)H(p)
10−1
100
101
C(p)H(p)
102
−300
10−2
10−1
100
101
102
(c) Module de la Boucle Ouverte avec (d) Phase de la Boucle Ouverte avec
K = 2.3 et Td = 2.9s
K = 2.3 et Td = 2.9s
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Introduction
Correcteur P
Correcteur PI
Correcteur PD
Correcteur proportionnel/dérivé (PD)
20/ 25
• Exemple : Correcteur PD
1.5
sortie
1
0.5
e(t)
H(p)
C(p)H(p)
0
0
10
Correcteur PID
20
30
40
t (s)
Figure: Réponse indicielle de la boucle fermée avec K = 2.8 et Td = 2.9s
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Introduction
Correcteur P
Correcteur PI
Correcteur proportionnel/intégral/dérivé (PID)
Correcteur PD
Correcteur PID
21/ 25
• Expression : La fonction de transfert d’un correcteur PID est donnée par
!
1
C (p ) = K 1 +
+ Td p
(18)
Ti p
• But :
Exploiter à la fois l’action intégrale et de l’action dérivée
I
I
Précision parfaite (action intégrale en basse fréquence)
Augmentation de la stabilité (action dérivée aux moyennes et hautes
fréquences)
THE correcteur universel, à la fois précis et stabilisant !
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Introduction
Correcteur P
Correcteur PI
Correcteur PD
Correcteur PID
Correcteur proportionnel/intégral/dérivé (PID)
22/ 25
• Réponse harmonique : Diagramme de Bode du correcteur
20
20 log(K ) + 3
20 log(K )
0
45o
50
Phase (deg)
Gain (dB)
40
10−3
0
−45o
−50
1
Ti
10−1
1
Td
1
Td
1
Ti
101
Pulsation (rad .s −1 )
(a) Gain (K = 2, Td = 1s, Ti = 100s)
• En résumé : le correcteur universel
+ Amélioration de la stabilité
+ Amélioration de la précision
10−3
10−1
101
Pulsation (rad .s −1 )
(b) Phase (K = 2, Td = 1s, Ti = 100s)
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Introduction
Correcteur P
Correcteur PI
Correcteur PD
Correcteur PID
Correcteur proportionnel/intégral/dérivé (PID)
23/ 25
• Exemple : Correcteur PID
100
0
−100
0
−200
H(p)
−100
H(p)
C(p)H(p)
10−3
10−2
10−1
100
101
102
C(p)H(p)
−300
10−4
10−2
100
102
(c) Module de la Boucle Ouverte avec (d) Phase de la Boucle Ouverte avec
K = 1.5, Ti = 2.9s et Td = 0.73s.
K = 1.5, Ti = 2.94s et Td = 0.73s.
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Introduction
Correcteur P
Correcteur PI
Correcteur PD
Correcteur proportionnel/intégral/dérivé (PID)
Correcteur PID
24/ 25
• Exemple : Correcteur PID
1.5
sortie
1
0.5
e(t)
H(p)
C(p)H(p)
0
0
10
20
30
40
t (s)
Figure: Réponse indicielle de la boucle fermée avec K = 1.5, Ti = 2.94s et Td = 0.73s.
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Correcteur P
Correcteur PI
Correcteur PD
Correcteur proportionnel/intégral/dérivé (PID)
Correcteur PID
25/ 25
• Techniques de réglage
I
Méthodes algébriques : Calibration ”mathématique” des paramètres pour
obtenir le comportement desiré.
→ Voir TD
→ Voir TP : régulation de niveau, etc...
I
Méthodes temporelles : Technique de Ziegler-Nichols
→ Voir TP : correction d’un système de 3eordre.
I
Méthodes graphiques : Calibration ”graphique” des paramètres à partir
du tracé de la boucle ouverte dans le plan de Bode
→ Hors programme.