Cours8_IUP2

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Systèmes Asservis Echantillonnés
Consigne
+
-
Commande
C
Correcteur N
Actionneur
A
Calculateur
C
A
N
Capteur
Système
Sortie
Signal continu
y(t)
y*(t)
Signal échantillonné
Te : Période d’échantillonnage
temps
Te 2Te 3Te 4Te
nTe
temps
Résultat de l’échantillonnage : y(0), y(Te), ….y(nTe)
y*(t)={y(0), y(Te), ….y(nTe)}

p(t)
y*(t)y(nTe)(t nTe)
n 0

Y*(s) y(nTe)e
n 0

Te 2Te 3Te 4Te
nTe
 nTe s
Y*(s) y(nTe)z n F(z) ze
n 0
Tes
u
Signal échantillonné
Te 2Te 3Te 4Te
nTe
u
Signal continu avec
bloqueur d’ordre 0
Te 2Te 3Te 4Te
nTe
Le bloqueur permet de maintenir la valeur de l’échantillonnage jusqu’à
l’arrivée de l’échantillon suivant (u(nTe +t) u(nTe) pour 0<t<Te)
b0(t)
b0(t)=G(t)-G(t-Te)
1
Te
t
T e s
B0(s)1e
s
Consigne
+
-
C(z)
B0(s)
G(s)
Sortie
Passage de la FT en s à la fonction de transfert en z sans bloqueur
N (s )
G (s ) 
D (s )


N
(
v
)


1

F(z)   Res
Te v 1 
 D(v) 1e z v  pi 
p i pôles
Calcul de Résidus
a) pi est un pôle simple de G(s)
b) pi est un pôle multiple de G(s)
N(v)
  (vp ) N(v)
1
1
Res
i
Te v 1 
Te v 1
D
(
v
)
D
(
v
)
1e z v  pi
1e z i

v  pi
r 1
N(v) 1 

(vp )r N(v) 1 
d
1
Res


i
T v 1
r 1
D(v) 1eTe vz1  vpi
 D(v) 1e e z vpi (r1)!dv 
Exemple
G(s) 1
s(s1)
T
(1e e )z1
G(z)
T
(1z1)(1e e z1)
Passage de la FT en s à la fonction de transfert en z avec bloqueur
N (s )
G (s ) 
D (s )
TE s
1
G(s) 



1

e
1

z
F(z)Z(B0(s)G(s))Z
G(s) Z
G(s) (1z1)Z

s
s
s


 


Exemple
1
G(s)
(s4)(s5)
G(s) 

1
G(z)(1z1)Z
(1z1)Z


 s 
 s(s4)(s5) 

1
1
1
G(z)(1z1)(r1 r2 r3)(1z1) 1 1 1  1

 4T 1
5T 1 
 201z 4 1e e z 5 1e e z 

Te
T
1
(1e )z
G(z)(1z )Z K  K
T
 e 1
 s(1T s)  T
1e T z
G(s) K
1T s
1
Influence du bloqueur d’ordre zéro sur la Rép. Indicielle du 1er ordre
K
T s1
B0(s)
Influence du bloqueur d’ordre zéro sur la Rép. Impulsionnelle du 1er ordre
B0(s)
Si T=Te
K
T s1
Te
y(T) K (1e
Te
T
Te
T
0,63K
1
) K (1e )
T
T
Système
C
N
A
PC
G(s) 
H(z)(1z )Z

s


1
FTBO = C(z)H(z)
C(z)H(z)
FTBF = 1+C(z)H(z)
+

C(z)
C
A
N
B0(s)

+
-
C(z)
H(z)
G(s)
Correcteurs numériques
Correcteur P continu
u(t)Kpe(t)
U(s)
K p
E(s)
Correcteur P numérique
T=kTe
Correcteur PI continu
u(t)Kp(e(t) 1 e(t)dt)
Ti
U(s)
C(s)
K p(1 1 )
E(s)
Tis
Correcteur PID continu
de(t)
u(t)K p(e(t) 1 e(t)dt Td
)
Ti
dt
U(s)
C(s)
K p(1 1 Tds)
E(s)
Ts
u(kTe)Kpe(kTe)
u(k)Kpe(k)
U(z)
K p
E(z)
Correcteur PI numérique
T
u(k)u(k 1)K p(e(k)( e 1)e(k 1))
Ti
U(z)
 T

C(z)
K p1 e 1 1 
E(z)
 Ti 1z 
Correcteur PID numérique
 T T 

T
T
u(k)u(k1)Kp 1 e  d e(k)(2 d 1)e(k1) d e(k2) 
Te
Te
  Ti Te 

C(z)
T
U(z)
 T
1 
Kp1 e 1 1  d (1z ) 
E(z)
 Ti 1z Te

Stabilité des systèmes échantillonnés
Le système asservi est stable SSI sa réponse impulsionnelle
tend vers zéro quand k tend vers l’infini.
Im
r(k)+
y(k)
C(z)
H(z)



Domaine

 stabilité
 


m
m 1
b z b z .b
C(z)H(z) N(z) m
m 1
0
FT BF


n
n 1
1C(z)H(z) D(z) a n z a n 1z .1
Az A z
Az
A1
A2
An
FT BF 1  2  n 



1
zz1 zz2
zzn 1z1z1 1z2z1
1zn z
Re
y(k)A1z1k A2zk2 Anzkn
Condition de stabilité :
y(k)0 quand k ssi zi < 1 i=1…n
Critère de Jury
m
m 1
N(z) bmz bm1z .b0
F(z)

D(z) a n zn a n 1zn 1.a 0
n 1
D(z)anz an1z .a0
n
a0
ck 
an
a n k
ak
c0
cn 1k
dk 
cn 1
ck
p0 p 2
p 0 p3
q1 
q0 
p3 p1
p3 p 0
p0 p1
q2 
p3 p 2
1
2
3
4
5
6
:
2n-5
2n-4
2n-3
a0
an
c0
cn-1
d0
dn-2
:
p0
p3
q0
a1
an-1
c1
cn-2
d1
dn-3
:
p1
p2
q1
a2
an-2
c2
cn-3
d2
dn-4
:
p2
p1
q2
…
…
…
…
…
…
:
p3
p0
an-1 an
a1 a0
cn-1
c0
:
:
Enoncé du critère
Toutes les racines de D(z) sont situées à l’intérieur du cercle unité
Ssi les (n+1) conditions sont satisfaites :
- D(1)>0 et D(-1)>0 pour n pair
- D(1) >0 et D(-1)<0 pour n impair
- |a0|<an avec an >0
- |c0|>|cn-1|
-|d0|>|dn-2| ….
-|q0|>|q2|
Cas particuliers
Système de 2ème ordre :
D(z)=a2z2+a1z+a0
|a0|<a2, a2+a1+a0>0 et a2-a1+a0>0
Système de 3ème ordre :
D(z)=a3z3+ a2z2+a1z+a0
|a0|<a3, a3+ a2+a1+a0>0 , -a3 +a2-a1+a0<0
|a02- a32|> |a0a2- a1a3|
Exemple :
k
z z 0
2
(z1)
Quelle est la condition de stabilité sur k du système asservi ?
-|1-kz0|<1
-1+(k-2)+k-kz0>0
- 1-(k-2)+k-kz0>0
- 0< z0 <1
- k <2/z0
- k<4/(1+z0)
Précision des systèmes asservis
échantillonnés
r(k)+
C(z)
y(k)
H(z)
-
FTBO =C(z)H(z)=
K N(z)
(z1)m D(z)
Avec N(1)=1 et D(1)=1, 0<m<n
Erreur en position (r(k)=1)
Ep=lim(r(k)-y(k))=lim(z-1)(R(z)-Y(z))=lim(1-z-1)(R(z)-Y(z))
k
z1
z1

 1 si m=0
1
1
lim
 K1
lim
z

1
N
(
z
)
z 1 1FT BO

1 K m
 0 si m>0
(z1) D(z)
Erreur en vitesse (r(k)=kTe)
Ev=lim(r(k)-y(k))=lim(z-1)(R(z)-Y(z))=lim(1-z-1)(R(z)-Y(z))
k
z1
Te
1
lim
z1 z11FTBO
z1

 Te
Te

lim
K
z 1

N(z)  
K

  0
(z1)1
m
 (z1) D(z) 
Nombre
d’intégrateurs
m=0
Erreur en
position
Erreur en
vitesse
1
K 1

m=1
0
Te
K
m=2
0
0
si m=0
si m=1
si m>1