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NLTE 7/30
“Radiative transfer
in
stellar atmosphere”
Chapter 4
中村 尚樹
4.2 近似解
輻射輸送方程式
μ
𝑑𝐼𝜈
(𝜏 , 𝜇)
𝑑𝜏𝜈 𝜈
= 𝑆𝜈 𝜏𝜈 − 𝐼𝜈 (𝜏𝜈 , 𝜇)
⇒与えられた𝑆𝜈 𝜏𝜈 から 𝐼𝜈 (𝜏𝜈 , 𝜇) を求めたい
𝑆𝜈 𝜏𝜈 は𝐽𝜈 𝜏𝜈 の情報（全方向の𝐼𝜈 (𝜏𝜈 , 𝜇))が必要
⇒簡単には解けない
光学的に厚い領域（LTEからのずれが小さい)
⇒解析解
光学的に薄い領域⇒近似解
(ex. Eddington 近似)
4.2.1 表面における近似
[Eddington-Barbier 近似]
Source function を 𝜏𝜈 でTaylor 展開
𝑛
Source function : 𝑆𝜈 = ∞
𝑎
𝜏
𝑛=0 𝑛 𝜈
𝑛
外向き intensity : 𝐼𝜈+ (0, 𝜇) = ∞
𝑛!
𝑎
𝜇
𝑛
𝑛=0
平均 intensity : 𝐽𝜈 (𝜏𝜈 ) = Λ 𝜈 [𝑆𝜈 ]
Flux :𝐹𝜈 𝜏𝜈 = Φ𝜏𝜈 [𝑆𝜈 ]
Eddington-Barbier 近似(表面値)
intensity : 𝐼𝜈+ 0, 𝜇 ≈ 𝑎0 + 𝑎1 𝜇 ≈ 𝑆𝜈 (𝜏𝜈 = 𝜇)
𝑎0
𝑎1
𝑎1
平均intensity : 𝐽𝜈 0 = + +
2
4
≈
2
3
3
1
𝑆
2 𝜈
𝜏𝜈 = 1
2
Flux :𝐹𝜈 0 = 𝑎0 + 𝑎1 + 𝑎2 +. .
2
≈ 𝑆𝜈 (𝜏𝜈 = )
3
Linear Source function (S が τ の一次関数)
ならば厳密に一致
𝑆𝜈 が𝜏𝜈 に対して
1
2
1
𝑆
2 𝜈
・急激に増加 ⇒ 𝑆𝜈 𝜏𝜈 = 0 < 𝐽𝜈 𝜏𝜈 = 0 = 𝑆𝜈 𝜏𝜈 = 1
2
𝜏𝜈 = 1
2
・ゆっくり増加⇒ 𝑆𝜈 𝜏𝜈 = 0 > 𝐽𝜈 𝜏𝜈 = 0 =
Second Eddington 近似
一様媒質 (𝑆𝜈 = 𝑎0 )
𝐼𝜈+ 0, 𝜇 = 𝑆𝜈 = 𝑎0 (𝜇 > 0)
𝐽𝜈 0 = 𝑆𝜈 2 = 𝑎0 2 = 𝐼𝜈 (0) 2
𝐹𝜈 0 = 𝑆𝜈 = 𝑎0 = 2𝐽𝜈 0 = 4𝐻𝜈 (0)
Second Eddington 近似
𝐹𝜈 0 = 2
≈
1
𝐼 (0, 𝜇) 𝜇 𝑑𝜇
−1 𝜈
2𝐽𝜈 (0) (ほぼ一様媒質)
𝑆𝜈 = 𝑎0 + 𝑎1 𝜏𝜈 のとき
𝐹𝜈 (0)
2𝐽𝜈 (0)
=
𝑎0
𝑎1
2+
3
𝑎0
𝑎1
4
2+
≠1
おおくの恒星𝑎1 > 0
𝐽𝜈 0 ≈ 1 2 𝑆𝜈 𝜏𝜈 = 1
𝐹𝜈 (0)
𝐽𝜈 (0) > 2
2
< 1 2 𝑆𝜈 𝜏𝜈 = 1
4.2.2 深い場所における近似
深い場所⇒光学的に厚い⇒LTEからのずれが小さい
𝑛 𝑑𝑛 𝑆
(𝜏
)
𝜈
𝜈
∞
𝑛=0 𝑛! 𝑑𝜏𝑛
𝜈
𝑆𝜈 𝜏𝜈 =
𝐼𝜈+ 𝜏𝜈 , 𝜇 =
∞
𝑆
𝜏𝜈 𝜈
𝑡𝜈 𝑒
𝑡 −𝜏
−𝜈 𝜈
𝜇
𝑑𝑡𝜈 /𝜇
より
𝐼𝜈+ 𝜏𝜈 , 𝜇 =
𝐼𝜈− (𝜏𝜈 , 𝜇)
=
𝑛𝑆
𝑑
𝜈
∞
𝑛
𝑛=0 𝜇 𝑑𝜏𝑛
𝜈
𝑛
∞
𝑛 𝑑 𝑆𝜈
𝑛=0 𝜇 𝑑𝜏𝑛 (𝜏𝜈
𝜈
→ ∞)
𝜏𝜈 ≫ 1のとき
∞
1
𝑑 2𝑘 𝑆𝜈 (𝜏𝜈 )
=
[
]
(2𝑘)
2𝑘 + 1
𝑑𝜏𝜈
𝑘=0
𝐽𝜈 𝜏𝜈
𝑑𝑛+2 𝑆𝜈
𝑑𝑡𝑛+2
𝜈
𝑛
𝑑 𝑆𝜈
𝑑𝑡𝑛
𝜈
~
1
𝑡𝜈2
→ 0(𝜏𝜈 ≫ 1)より
𝐼𝜈 𝜏𝜈 , 𝜇 ≈ 𝑆𝜈 𝜏𝜈 +
𝐽𝜈 (𝜏𝜈 ) ≈ 𝑆𝜈 (𝜏𝜈 )
4 𝑑𝑆𝜈 𝜏𝜈
3 𝑑𝜏𝜈
1
≈ 𝑆𝜈 (𝜏𝜈 )
3
𝐹𝜈 𝜏𝜈 ≈
𝐾𝜈 𝜏𝜈
𝑑𝑆𝜈 (𝜏𝜈 )
𝜇[
]
𝑑𝜏𝜈
Diffusion 近似(Rosseland 近似)
星の内部深いところで𝑆𝜈 = 𝐵𝜈
𝐼𝜈 𝜏𝜈 , 𝜇 ≈ 𝐵𝜈 𝜏𝜈 + 𝜇[
𝐽𝜈 (𝜏𝜈 ) ≈ 𝐵𝜈 (𝜏𝜈 )
𝐹𝜈 𝜏𝜈 ≈
𝑑𝐵𝜈 (𝜏𝜈 )
]
𝑑𝜏𝜈
4 𝑑𝐵𝜈 𝜏𝜈
3 𝑑𝜏𝜈
Rosseland mean extinction coefficient
∞1
𝑑𝐵𝜈
(
)𝑑𝜈
1
𝛼𝜈
0
𝑑𝑇
≡
∞ 𝑑𝐵𝜈
𝛼𝑅
(
0
𝑑𝑇)𝑑𝜈
Total radiative energy diffusion
𝐹 𝑧 ≡
∞
𝐹
0 𝜈
𝑧 𝑑𝜈 ≈
16 𝜎𝑇 3 𝑑𝑇
−
3 𝛼𝑅 𝑑𝑧
星から輻射によりエネルギーを逃がすためには
負の温度勾配が必要
4.2.3 (first) Eddington 近似
1
𝐽𝜈 (𝜏𝜈 )
3
𝐾𝜈 (𝜏𝜈 ) ≈
• 等方的な放射ならば厳密に一致
𝑛/2
• 𝐼𝜈 𝜏𝜈 , 𝜇 = 𝑖=0 𝑎2𝑖+1 (𝜏𝜈 )𝜇2𝑖+1 のときも一致
𝐼𝜈 𝜏𝜈 , 𝜇 ≡ 𝑎0 𝜏𝜈 + 𝑎1 (𝜏𝜈 )𝜇のとき
𝐽𝜈 𝜏𝜈 = 𝑎0 𝜏𝜈
𝐻𝜈 𝜏𝜈 = 𝑎1 𝜏𝜈 /3
𝐾𝜈 𝜏𝜈 =
1
𝑎0 𝜏𝜈 /3= 𝐽𝜈 (𝜏𝜈 )
3
Diffusion Vs Eddington
• Diffusion 近似
– LTEを仮定
– 光学的に深いところでいい近似
• Eddington 近似
– 線形非等方を仮定
– 𝜏𝜈 = 1面と𝜏𝜈∗ = 1の間でいい近似
(𝜏𝜈 < 1でも成り立つ）
二次輸送方程式
Eddington 近似より
1 𝑑 2 𝐽𝜈 (𝜏𝜈 )
= 𝐽𝜈 𝜏𝜈 − 𝑆𝜈 (𝜏𝜈 )
2
3 𝑑𝜏𝜈
弾性散乱のとき 𝑆𝜈 = 1 − 𝜀𝜈 𝐽𝜈 + 𝜀𝜈 𝐵𝜈
1 𝑑 2 𝐽𝜈 (𝜏𝜈 )
= 𝜀𝜈 (𝐽𝜈 𝜏𝜈 − 𝐵𝜈 𝜏𝜈 )
2
3 𝑑𝜏𝜈
T(z), 𝜀𝜈 (𝑧)と境界条件が与えられると、
𝐽𝜈 , 𝑆𝜈 が得られ、最終的に𝐼𝜈 𝜏𝜈 , 𝜇 が得られる。