Transcript 熱力学第一法則
熱とエネルギー 問題 断熱された容器の中に、温度−𝑇1 [℃]の氷が𝑚[𝑔]入っている。この氷に、毎秒𝑞0 [𝐽]の熱量を 加え続けたときのようすについて考える。図は、加熱を開始してからの、容器内の温度と加熱 時間との関係を示している。加熱を開始してから時間𝑡1 [𝑠]後には、温度が−𝑇1 [℃]から0℃ま で上昇し、しばらくの間、温度は0℃で一定となった。時間𝑡2 [𝑠]後には、氷は完全に溶けて水と なる。その後、再び温度が上昇し始めて時間𝑡3 [𝑠]後には、 𝑇2 [℃]となった。この実験において、 水の蒸発は無視できるものとして、次の各問いに答えよ。ただし、水の比熱を𝑐𝑤 𝐽 (𝑔∙𝐾) とし、 外部との熱のやりとりはなく、容器の熱容量は無視できるものとする。また、解答には、 𝑡1 , 𝑡2 , 𝑡3 , 𝑡𝑓 , 𝑇1 , 𝑇2 , 𝑚, 𝑐𝑤 のうち、必要なものを用いて表せ。 (1)完全に氷が解けた後、温度が0℃から 𝑇2 [℃]まで上昇する間に、水𝑚[𝑔]に加えた熱量𝑄[𝐽]はいく らか。 (2)毎秒加えている熱量𝑞0 [𝐽]はいくらか。 (3)温度0℃において、質量1gの氷を完全に溶かして水にするのに必要な熱量𝑞[𝐽]はいくらか。 (4)氷の比熱𝑐𝑖 𝐽 (𝑔∙𝐾) は𝑐𝑤 𝐽 (𝑔∙𝐾) の何倍か。 (5)加熱を開始してから𝑡𝑓 [𝑠]後に、この容器の中に残っている氷の質量 𝑛 𝑔 はいくらか。ただし、 𝑡1 < 𝑡𝑓 < 𝑡2 容 器 内 の 温 度 100 𝑇2 0 [℃] −𝑇1 𝑡1 𝑡𝑓 𝑡2 加熱時間[𝑠] 𝑡3 (1) 容 器 内 の 温 度 ここに注目 100 𝑇2 0 [℃] −𝑇1 𝑄 = 𝑚𝑐ΔTを使う 𝑡1 𝑡𝑓 𝑡2 𝑡3 加熱時間[𝑠] (2) ここでは 𝑐 = 𝑐𝑤 ΔT = 𝑇2 ∴ 𝑄 = 𝑚𝑐𝑤 𝑇2 (1)の結果を利用する。 毎秒𝑞0 [𝐽]の熱量を与えていると問題文に書いてあるので、𝑡2 ～𝑡3 の間にも 当然毎秒𝑞0 [𝐽]の熱量を与えている。よって 𝑚𝑐𝑤 𝑇2 = 𝑞0 (𝑡3 −𝑡2 )・・・① 毎秒𝑞0 [𝐽] 𝑡2 ～𝑡3 まで 𝑚𝑐𝑤 𝑇2 ∴ 𝑞0 = [𝐽] 𝑡3 −𝑡2 (3) 容 器 内 の 温 度 ここに注目 100 𝑇2 0 [℃] −𝑇1 𝑞= 氷だけの状態(𝑡 = 𝑡1 )から水だけの状態(𝑡 = 𝑡2 ) になるまで毎秒𝑞0 [𝐽]の熱量を与えている。 𝑡1 𝑡𝑓 𝑡2 𝑡3 この間に𝑞0 (𝑡2 −𝑡1 )[J]の熱量が与えられている。 加熱時間[𝑠] 𝑞0 (𝑡2 −𝑡1 ) 𝑚 𝑚[𝑔]の氷を全部水にするのに必要な熱量 𝑚で割ることを忘れずに、1[g]あたりどれだけの熱量が必要かを 聞かれている。 = 𝑡2 −𝑡1 ∙ 𝑐𝑤 𝑇2 𝑡3 −𝑡2 𝑞0 = 𝑚𝑐𝑤 𝑇2 を代入した 𝑡3 −𝑡2 ∴ 𝑞= 𝑡2 −𝑡1 𝑡3 −𝑡2 ∙ 𝑐𝑤 𝑇2 [𝐽] (4) まず氷の比熱𝑐𝑖 を求める。 容 器 内 の 温 度 ここに注目→ここから氷の比熱𝑐𝑖 を求められる 100 𝑇2 氷だけの状態において、0[s]～𝑡1 [s]の間に𝑇1 [℃] 温度が上昇している。 0 𝑡𝑓 𝑡1 [℃] −𝑇1 𝑄 = 𝑚𝑐ΔTを使う 𝑡3 𝑡2 𝑚𝑐𝑖 𝑇1 = 𝑞0 (𝑡1 − 0)・・・② 加熱時間[𝑠] 毎秒𝑞0 [𝐽] ②より両辺𝑡1 で割って 0～𝑡1 まで 𝑞0 𝑡1 𝑐𝑖 = 𝑚𝑇1 一方①より両辺𝑡3 −𝑡2 で割って 𝑞0 (𝑡3 −𝑡2 ) 𝑐𝑤 = 𝑚𝑇2 𝑐 よって𝑐 𝑖 = 𝑤 𝑞0 𝑡 1 𝑚𝑇1 𝑞0 (𝑡3 −𝑡2 ) 𝑚𝑇2 𝑡1 3 −𝑡2 =𝑡 𝑇 ∙ 𝑇2 1 ∴ 𝑡1 𝑇2 ∙ 𝑡3 −𝑡2 𝑇1 (5) 容 器 内 の 温 度 𝑡 = 𝑡1 100 𝑇2 0 [℃] −𝑇1 𝑡1 𝑡𝑓 𝑡2 最初𝑚[𝑔]あった 𝑡3 加熱時間[𝑠] 𝑡 = 𝑡𝑓 氷を𝑚′ [𝑔]溶かすのに、(𝑡𝑓 −𝑡1 )[s]だけかかっている。→ 𝑞0 (𝑡𝑓 −𝑡1 )[𝐽]の熱量を必要とする・・・③ 一方、1[g]の氷を水にするのに𝑞 = 𝑡2 −𝑡1 𝑡3 −𝑡2 ∙ 𝑐𝑤 𝑇2 [𝐽]必要とすることが(3)の答えからわかっている 𝑚′ [𝑔]溶かすのには𝑚′ × 𝑞[𝐽]必要・・・④ ③、④より 𝑞0 (𝑡𝑓 −𝑡1 ) = 𝑚′ 𝑞 𝑚′ 𝑞0 = (𝑡𝑓 −𝑡1 ) 𝑞 𝑛 = 𝑚 − 𝑚′ = 𝑚 − =𝑚 1− 𝑞0 𝑡 −𝑡 𝑞 𝑓 1 𝑚𝑐𝑤 𝑇2 𝑡𝑓 −𝑡1 𝑡3 −𝑡2 ∙ 𝑡𝑓 −𝑡1 = 𝑚 − 𝑡 −𝑡 =𝑚−𝑚∙ 2 1 𝑡2 −𝑡1 ∙ 𝑐 𝑇 𝑤 2 𝑡3 −𝑡2 𝑡𝑓 −𝑡1 𝑡2 −𝑡𝑓 =𝑚∙ 𝑡2 −𝑡1 𝑡2 −𝑡1 𝑡2 −𝑡𝑓 ∴ 𝑛=𝑚∙ [𝑔] 𝑡2 −𝑡1