Transcript ŽÀ K‰F`ˆ - KEK研究情報Web

宇宙の音を聴く
小玉英雄
宇宙物理理論グループ
素粒子原子核研究所，KEK
KEK・総研大夏期実習 2009年６月2日
宇宙の一様性の謎
宇宙ゆらぎの起源
天体の起源
宇宙構造の起源
イ
ン
フ
レ
ー
シ
ョ
ン
熱いビッグバン宇宙
暗
黒
時
代
現
在
の
宇
宙
の
加
速
膨
張
元素の起源
ダークマター
の実体
通常物質
ダークマター
ダークエネルギー
宇宙膨張の謎
物質の起源
宇宙創成の謎
構成プラン

宇宙地図




Hubbleの法則
GRSによる宇宙地図
実習１：一様モデル
宇宙音波とCMB





宇宙膨張の謎











宇宙論の基本方程式
実習２：空間曲率
Friedmannモデル
宇宙パラメータ
宇宙の距離梯子
宇宙膨張による赤方偏移
光度距離・赤方偏移関係
実習３：宇宙モデルとd-z
SNIa観測
実習４：宇宙の加速膨張
ダークエネルギー問題





実習５：ビッグバン宇宙
Jeans長
実習６：宇宙のJeans長
宇宙音波とCMB
実習７：宇宙ゆらぎ
WMAP観測
Doppler peaks
宇宙のdark pie
宇宙創成の謎







フリードマンモデルの諸問題
インフレーション
インフレーション
量子ゆらぎから銀河へ
CMBによるインフレーションの検証
インフレーション問題
宇宙誕生を観測する
宇宙膨張と宇宙地図
Hubbleの法則

銀河の後退運動
[Vesto Melvin Slipher (1912)]

Andromeda銀河を除く多くの銀河から
の光が赤方偏移．
z´¢¸/¸ =v/c >0

δ-Cepheid型変光星に対する光度周
期関係
[Henrietta Swan Leavitt (1916)]
絶対等級 M = - a log(P) + b

Hubbleの法則
[Edwin Hubble, Milton Humanson (1929)]
z=v/c / d ) v = H0 d
補足： Cepheid Variables

Cepheid型変光星の距離決定


周期光度関係
<MV> = -3.53 log P + 2.13 (<B0> - <V0>) + f
f ~ -2.25: a zero point. P in days
適用範囲： 7Mpc (M101) on Ground; 25Mpc by
HST
Cepheidは超巨星であるため，遠方まで観測可能．
Pop I 型星なので，楕円銀河（や球状星団）には含まれない．
Mathewson, Ford and Visvanathan (1986) ApJ 301: 664
Hubbleの法則 by Hubble & Humanson

=
赤方偏移： z = 
v
c
遠方の銀河は距離に比例す
る速度で我々から遠ざかる運
動をしている．
E. Hubble: PNAS 15: 168 (1929)
1Mpc=106 pc 1pc= 3.26光年
Hubble定数 by HST
H0の観測値
H0= 71 +/- 7 km/s/Mpc
1Mpc= 106 pc
1pc=3.26 光年 = 3£ 1018cm
CfA Survey

CfA Huchra
Outline

CfA1 1977-1982



PI: Marc Davis, John Huchra, Dave Lathan, John Tonry
Selection: m<14.5 in UGC
CfA2 1985-1995




PI: John Huchra, Margaret Geller
Sky coverage: ' 40%
Redshift of 18,000 bright galaxies
v < 15,000km/s (z<0.05)
CfA2/sky map
Red V < 3000 km/s
Blue 3000 < V < 6000 km/s
Magenta 6000 < V < 9000 km/s
Cyan 9000 < V < 12000 km/s
Green 12000 < V km/s
CfA2/slice map
Great Wall & Southern Wall


Geller MJ 1997 Rev. Mod. Astron. 10: 159
Ramella, Geller and Huchra ApJ 384, 404, 1992
銀河赤方偏移サーベイ
プロジェクト名
観測期間
観測領域
銀河数
CfA
1977-1982
CfA2
1985-1995
34% （北天）
18,000
SSRS
-1998?
13% （南天）
5,400
LCRS
1987-1997
1.7%（南北銀河極近傍）
2dFGRS
1996-2003
3.6% （南天）
220,000
6dFGRS
2001-2006
（南天）
150,000
SDSSI
2000-2005
19% （主に北天）
657,000
SDSSII
2005-2008
20% （主に北天）
790,000
26,000
2dF(two degree fields) GRS
銀河分布のフィラメント・ボイド構造
Void Statistics (2dFGRS)
[Hoyle F, Vogeley MS “Voids in the 2dF Galaxy
Redshift Survey” ApJ607:751 (2004)]
The Sloan Digital Sky Survey

Outline

SDSS-I: April 2000 - June, 2005. (5 years)


Site: 2.5-meter telescope on Apache Point, NM, equipped with two powerful special-purpose
instruments. The 120-megapixel camera can image 1.5 square degrees of sky at a time
Selection criteria:






Skycoverage: More than 8,000 square degrees of the sky in five bandpasses,
Objects: 200 million celestial objects, spectra of more than 675,000 galaxies, 90,000 quasars,
and 185,000 stars.
SDSS-II: June, 2005 -June, 2008





Bright galaxies, the "main" sample, with Petrosian r-band magnitude < 17.77 (see this pie plot
showing the redshift distribution of 78275 DR1 galaxies with -15° < DEC < 20°).
Luminous Red Galaxies (LRGs) with Petrosian r-band magnitude down to 19.5 (see this redshift
distribution of DR1 "main" galaxies and LRGs), and
Quasars, targetting quasar candidates as faint as i < 20.2 (see this DR1 quasar redshift distribution).
Three surveys: the Sloan Legacy Survey, SEGUE, and the Sloan Supernova Survey
the Sloan Legacy Survey: 860,000 galaxies, 105,000 quasars; 8,400 deg2，z決定精度 30km/s
SEGUE (Sloan Extension for Galactic Understanding and Exploration): 240,000 stars
the Sloan Supernova Survey : 南天 300 deg2 の複数スキャン
SDSS-III: 2008-
SDSS/DR6
Astrophys.J.674:768-783,2008.
e-Print: arXiv:0708.0030 [astro-ph]
SDSS/slice map
SDSS
Baryon Acoustic Oscillation
SDSS Collaboration: ApJ 633: 560 (2005)
実習1
Q1-1 Hubbleの法則 v=Hd が我々から見て厳
密に成り立つとすると，我々から距離 a
の銀河にいる観測者にとって他の銀河は
どのように運動して見えるか？（宇宙の
一様等方性）
（解答）
v = H0 r
) v’ = v- v(a)= H0 r – H0 a = H0(r-a)
) v’ = H0 r’
Q1-2 Hubbleの法則が大きな距離でもそのま
ま成り立つとすると，銀河の後退速度が
光速に達する距離は？（ホライズン）
（解答）
z=1 ,
c / H0 = 3£ 105 km/s / (70 h70 km/s/Mpc)
= 4,400 Mpc
Q1-3 宇宙のVバンドでの光度密度の観測値
は
で与えられる．天体の質量光度比を =
M/L により定義すると，銀河に対する
M/L比は 10 h(M/L)⊙ 程度となる．これら
より，宇宙の平均密度を推定せよ．（太
陽質量はM⊙ = 2£ 1033g )
（解答）
½ = j0£ M/L ' 5£ 108 M⊙ /Mpc3
= 5 £ 108 £ 2£ 1033 /(3£ 1024 cm)3
' 4£ 10-32 g/ cm3
cf. mp= 1.67£ 10-24 g
) ½ ¼ 0.03 mp/m3
Q1-4 銀河の運動速度が一定とする．
このとき，過去に時間をさかのぼる
と銀河の分布はどのように変化する
か？また，その変化の特徴的な時間
はいくらか．（宇宙年齢）
（解答） t –t0= - 1/H0 で一点に集まる．
時間は，1/H0= 1.4 £ 1010 h70-1 yr
Q1-5 半径 Rの質量Mの一様なガス球
を考える．このガス球が一様性を
保って膨張するとき，半径と密度の
時間変化を決める方程式を求めよ．
ただし，ガスの圧力は重力に比べて
無視できるとする．さらに，時間t
無限大で，膨張速度 dR/dtがゼロに
近づく解を求めよ．
（解答）
d2 R/dt2 = -GM/R2
) (dR/dt)2 – 2GM/R= -k.
M= 4¼ ¹ R3/3 ) ¹ = 3M/(4¼ R3).
R=(GM/2)1/3 (3t)2/3 ) R=R0 (t/tf)2/3;
tf=1/(6¼ G ¹0 )1/2
¹ = ¹ 0 (tf/t)2
Q1-6 Q1-5で求めた R(t)に対する方
程式の一般解を求めよ．
（解答）
k>0のとき：
k=2GM/Rm, x=R/Rm ,
¿ = t/(Rm3/(2GM))1/2
d¿ = x dx/(x(1-x))1/2
x=(1-cosµ)/2
) ¿=(µ-sinµ)/2 (0· µ · 2¼)
k<0のとき：
k= - 2GM/Rm, x=R/Rm ,
¿ = t/(Rm3/(2GM))1/2
d¿ = x dx/(x(1+x))1/2
x=(coshµ-1)/2
) ¿=(sinhµ -µ)/2 (0· µ )
宇宙膨張の謎
宇宙論の基本方程式

宇宙膨張の方程式

エネルギー方程式
実習２：空間の曲率
Q2-1. 3次元球面
X2+Y2+Z2+W2=R2
において，北極 N(0,0,0,R)から距離 Â 以
下の点の集合 D(Â)の体積V(Â)および表面
積S(Â)を求めよ．
K=1/R2
（解答）
S(Â)= 4¼ R2 sin2(Â/R),
V(Â)= s0 d S(Â)= (2Â-Rsin(2Â/R))R2/4
Q2-2. Minkowski時空内の3次元双曲面
X2+Y2+Z2-T2=-R2
において，点O(0,0,0,R)を中心としてQ21と同様の量を求めよ．
（解答）
S(Â)= 4¼ R2 sinh2(Â/R),
V(Â)= s0 d S(Â)= (sinh(2Â/R) -2Â)R2/4
K= - 1/R2
Friedmann宇宙モデル
Hubbleの法則(1929)
銀河の後退速度 / 距離
v= H0 r
K=0
宇宙の膨張と一様等方性
Robertson-Walker宇宙モデル
• 空間は一様等方で，一様な曲率 K をもつ
• 空間のサイズ a(t)が時間 t 共に増大
重力は引力 ⇒ 宇宙膨張は減速型
⇒ 有限な宇宙年齢
⇒ Big-bangモデル
K>0
K<0
宇宙パラメーター

宇宙膨張の方程式
ハッブル定数
密度パラメーター

エネルギー方程式
wパラメーター

物質組成
宇宙膨張による赤方偏移

Robertson-Walker計量

宇宙膨張とハッブル則

光線の伝播

赤方偏移
特に，d= c(t_0-t) が小さいとき，
光度距離ー赤方偏移関係

赤方偏移 z と宇宙サイズ a の関係

距離と面積の関係

dL – z関係
実習3：光度距離-赤方偏移関係
Q3-1 次の3つのモデルに対して，光度距離とzの関係を求めよ：
Einstein-De Sitter宇宙モデル: (M,K,¤)=(1,0,0)
De Sitter宇宙モデル： (M,K,¤)=(0,0,1)
Milne宇宙モデル：(M,K,¤)=(0,1,0)
（解答）
Q3-2 Einstein-de Sitterモデルを基準にするとき，他の2つのモデルで
は，z=1にある天体の等級はどれだけずれるか？（ln 10 =2.3)
（解答）
Hubble Diagramの拡張
Flat ΛCDM models
Curved CDM models
Degeneracy
SNIa で宇宙を計測する
Ia型超新星までの距離


光度曲線が、ピーク時の色指数と光度減
衰時間により良い精度で分類されることを
用いて，絶対光度を推定．
適用距離： >60Mpc
これまでの観測
(High z) Supernova Search Team
1998 Riess AG et al
16 SNe Ia (z=0.16-0.62) + 34 nearbys
2004 Riess AG et al
16 SNe Ia (z>1.25 by HST) + 170 SNe
Supernova Cosmology Project
1997 Perlmutter S et al
7 SNe Ia (z=0.35-0.46)
1998 Perlmutter S et al
42 SNe Ia (z=0.18-0.83)
2003 Knop RA et al
11 SNe Ia (z=0.36-0.86, HST)
Supernova Legacy Survey 1st yr
2005 Astier P
71 SNe Ia (0.249<z<1.01) + 44 nearbys
Supernova Legacy Survey
SNLS collaboration: A&A 447:31 ( 2006)
実習4：何を意味するのか？
Q4-1.宇宙膨張の基本方程式を用いて，現在の宇宙膨張
の加速度(d2 a/dt2)を密度パラメータで表せ．また，
密度パラメーター (M,K,¤) =(0.26,0,0.74)に対
して，加速度の値をを計算せよ．
宇宙は現在，加速膨
張している！！
（解答）
重力が引力 ⇔ 宇宙膨張が減速
Q4-2. 宇宙膨張の基本方程式を用いて，宇宙膨張の加
速度(d2 a/dt2)をエネルギー密度½と圧力Pで表せ．
宇宙膨張が加速 ⇒ 重力が斥力
（解答）
重力が斥力 ⇔ 圧力 P < － /3
Q4-3. ダークエネルギーの密度をPlanck単位(G=1, c=1,
~=1)で表すといくらか？(tpl=(G~ /c5)1/2 =5.4£ 10-44
s, 1yr=3£ 107 s)
（解答）
Reacceleration of the Universe
1998 Discovery by SNIa (SNCP, HzST)
2003 WMAP 1st year
宇
宙
の
膨
張
速
度
2005
イ BAO (SDSS)
ン
2006
フ
レ
2007
ー
シ
ョ
2008
ン
熱いビッグバン宇宙
WMAP 3rd year
Chandra X observation (fgas
method)
WMAP 5 year data
宇宙時間
暗
黒
時
代
現
在
の
宇
宙
の
加
速
膨
張
ダークエネルギー問題
一般相対性理論が宇宙のスケールで正しいとすると，
量子エネルギーを含めて，真空のエネルギーが


正である (加速問題),
素粒子物理の特徴的なエネルギースケールと比べて異常に小
さい (階層性問題),
Cf. 真空の構造が変化する特徴的なエネルギースケール
EPlanck=1028eV, EGUT=1025eV, EEW=1011eV, EQCD=108eV

ちょうど現在の物質密度と同程度である(一致問題).
様々な理論的試み

特別の場を導入



Quintessence, K-essence, phantom field, dilatonic ghost
condensate, tachyon field(¾ Chaplygin gas),
量子重力
ダークエネルギー問題は、２１世紀に残され
 Spacetime foams, EPI, baby universe
た最大の難問。その解決には，真空のエネル
重力理論の変更
ギーを完全にコントロール出来る基礎理論（
 ミクロでの変更: 弦理論・M理論
重力を含む統一理論）の構築が不可欠！
 長距離での変更: Lorentz不変性の自発的破れ， f(R,,r) モ
デル, TeVeS理論, DGPモデル

人間原理
Ref: Copeland, Sami, Tsujikawa: IJMPD15, 1753(2006)
宇宙音波とCMB
実習5:ビッグバン宇宙
Q5-1. 現在の宇宙は，約2.74KのPlanck分布をする
熱放射により満たされていることが知られてい
る(CMB)．光子ガスのエントロピー密度がT3に
比例することを利用して，宇宙のエントロピー
が一定とした場合のCMBの温度Tとスケール因
子aの関係を求めよ．また，T=3000K, 3800Kと
なる時期の赤方偏移の値と時刻を求めよ．
（解答）
T3 a3=一定 ) T/ 1/a
zdec= 1,100, tdec= 3.8£ 105 yr
zrec= 1,400, trec= 2.1£ 105 yr
Q5-2. 現在のCMBの密度パラメーはh2CMB=2.39£
10-5 T2.74で与えられる．これより，熱輻射のエ
ネルギー密度とダークマターのエネルギー密度
が等しくなるときのzと温度，時間を求めよ．
（解答）
zeq=DM/CMB=5,000, Teq=15,000K, teq= 4£ 104 yr
Q5-3. 輻射のエネルギーが支配的な時期において，
スケール因子の時間依存性を求めよ．
（解答）
½ / T4 / 1/a4 より，
(da/dt)2/a2= Heq2 (aeq/a)4 ) a =aeq (t/teq)1/2
Q5-4. 物質優勢な宇宙および輻射優勢な宇宙におい
て，宇宙誕生時を頂点とする光円錐の宇宙時間
tにおける半径lH(t)を時間の関数として求めよ．
この値と 1/Hを比較せよ．
（解答）
光波面の方程式は，cdt=-a d より，
物質優勢とすると： lH(t) = 3c t = 2 /H
輻射優勢とすると： lH(t) = 2c t =1/H
Jeans Length

半径Lのガス雲（領域）において，

ガスの圧力勾配
P/L » cs2 m/L

重力
圧力
単位体積当たりの重力
Gm M/L2 » Gm m L
L
両者が等しい長さ
) Jeans長 LJ= cs/(Gm)1/2 = cs tff



L < LJ のガス雲は膨張し密度勾配が減少
L > LJ のガス雲は重力収縮し，さらに密度
が上昇．
一様なガス雲のゆらぎに対して，


波長  < LJ のとき，音波として伝播
波長  > LJ のとき，重力収縮によりゆらぎ
は成長
実習6：Jeans長とホライズン
Q6-1.宇宙物質を輻射 (r)と物質(b)
（電子，陽子プラズマ）の混合
気体と見たとき，両者の圧力の
比 Pb/Prをもとめよ．ただし，
輻射と物質は同じ温度とする．
また，CMB=4.8£ 10-5, b=0.046,
kB TCMB=2.4£ 10-4 eV. mp=940
MeV/c2 とせよ．
（解答）
Q6-2. Q6-1と同じ仮定の下で，宇宙
物質のエネルギー密度½と圧力P
をスケール因子の関数として求め
よ．さらに，これを用いて，この
ガスの音速
をスケール因子の関数として求め
よ．また，原子物質が中性化して
以降の音速を求めよ．
（解答）
P=Pb ) cs は 3.7£ 10-5-倍
Q6-3 水素再結合時tdec以前のCDM
優勢な時期では，電磁輻射と
物質の混合気体を伝播する波
数k/aの音波の方程式は，
（解答）
WKB解は次のように書き換え
られる：
ここで，
となる．このWKB解
よって，
に対して，t=tdecでの振幅|¢r|2
は離散的な波数knでピークを
もつ．kn/(a(tdec) H(tdec))を求め
よ．
Sounds of CMB
宇
宙
の
晴
上
り
現
在

膨張宇宙におけるJeans長
熱い膨張宇宙
H2= 8 G /3 ) LJ ¼ cs /H
長
さ
Cf. ホライズン長 LH ¼ c/H
c /H
cs /H
CMB

LJは宇宙の晴れ上がり直前で
最大となる．

時間 t

晴れ上がり前： LJ ¼ LH
晴れ上がり後： LJ < 10-5 LH
実習7: 宇宙音波の観測
Q7-1. CMBの最終散乱面t=tdecで我々が観測
できる領域の半径（t=tdec時での固有長
rplc(tdec)と対応する現在の長さ（共動長）
Âplc(tdec)）を求めよ．それとlH(tdec)の比を
求めよ．ただし，宇宙膨張は物質優勢
FRWモデルで近似できるとする．
Q7-2. CMBの最終散乱面t=tdecでのホライズン
を見込む角度を求めよ．ただし，宇宙膨張
は平坦な物質優勢FRWモデルで近似でき
るとする．
（解答）
（解答）
Q7-3. Q6-3の結果を用いて，第1Dopper peak
の波長を¸1として，l=2¼ rplc(tdec)/¸1を求めよ．
（解答）
CMB Temperature Map by WMAP
Doppler Peak

CMBの音波（振動部分）
の波長には最大値 Lm ¼
LJ(trec)が存在する．

CMB温度の天球上でのゆら
ぎは，（近似的に）離散値
角度 / 波長 ¼ Lm/ n
に対応する角度で強い相関
をもつ．

WMAP 5yr: arXiv:0803.0593
Lmは，宇宙の（晴れ上がり
前後での）物質組成と物理
だけで決まる．
Cosmometry by CMB

Dopplerピークの位置は空間曲率を決
める．



Dopplerピーク波長はほぼ物理で決ま
り，宇宙物質組成に敏感でない．
晴れ上がり時でのDopplerピークの波
長 Lp とそれを見込む角度pの対応は，
主に空間曲率に依存：
WMAP観測

1st Doppler peak l ¼ 200 , K¼ 0

観測値： |K| < 0.1
WMAP Collaboration: ApJ Suppl. 170:377 (2007)
宇宙のDark Pie
通常物質
ダークマター
ダークエネルギー
WMAP 5yr data:
arXiv:0863.0547
WMAP Collaboration: ApJ Suppl.
170:377 (2007)
SDSS Collaboration: ApJ 633: 560
(2005)
宇宙創成の謎
平坦性問題
Planck時での空間曲率
Q8-1 現在の宇宙でK=0.1とすると，
Planck時（t=tpl)での½K/½mの値はいく
らになるか？
（解答）


（古典的な）宇宙の始まり
Planck定数 h, 光速 c, 重力定数 G
Planck時間
tpl ¼ 10-43s
Planck長
Lpl ¼ 10-33cm
Planckエネルギー Epl¼ 1019GeV ¼ 1032 K
平坦性問題は，宇宙初期にエネル
ギー密度 m が曲率 K/a2より緩やか
に減少する（i.e. 宇宙の加速膨張）時
期が十分長く続けば解消される．
Planck時の曲率半径 > 1030 Lpl
ホライズン問題

Friedmannモデルを仮定すると
我々がCMBで観測する領域のサイズ
は，宇宙晴上りの時点で，ホライズン
サイズの33倍程度
現在
時間
観測領域で，CMB温
度ゆらぎは 10-5 程度
宇宙晴上り
初期面
宇宙の一様等方性は，宇宙誕生時の
初期条件．量子論と整合しない．

ホライズン問題も，宇宙初期に宇宙膨張が加速する時期が十分長く
続くと解消される．
宇宙膨張の起源
なぜ宇宙は膨張を
始めたのか？
宇
宙
の
膨
張
速
度
イ
ン
フ
レ
ー
シ
ョ
ン
熱いビッグバン宇宙
宇宙時間
暗
黒
時
代
現
在
の
宇
宙
の
加
速
膨
張
宇宙構造の起源
Q8-2. 同じサイズの各々の領域でエネルギーがδEだけラン
ダムに変動するとき，N個の領域の全体でのエネルギー
は N1/2 δEだけ変動する．また，サイズLの領域で重力ポ
テンシャルのゆらぎは δE/Epl /(L/Lpl)で与えられる．こ
のことを用いて，Planck時でホライズンサイズの領域で
エネルギーがランダムに比率 ² で変動するとき，t=tdecで
ホライズンサイズの領域での重力ポテンシャルのゆらぎ
はいくらになるか？ただし，Friedmannモデルを仮定し，
ホライズンより大きなゆらぎのポテンシャルゆらぎがほ
ぼ定数となることを用いよ．
L
（解答）
宇宙誕生時のゆらぎのスペクトルは
lH(tdec)に対応するPlanck時でのサイズとLplの比は
観測は 「曲率ゆらぎはすべ
てのスケールで一定で10-5程
度」を支持 (HarrisonZeldovichスペクトル）。
宇宙のインフレーション
宇
宙
の
膨
張
速
度
イ
ン
フ
レ
ー
シ
ョ
ン
熱いビッグバン宇宙
• ビッグバンの起源
宇宙初期での
加速膨張
• 平坦性問題
解
決
• ホライズン問題
• モノポール問題
• 宇宙構造の起源
宇宙時間
実習９：インフレーション宇宙
Q9-1. インフレーション時の宇宙膨
張率Hが一定で，時刻t=tfにイン
フレーションが終了し直ちに輻
射優勢LFRWモデルに移行する
とする．LFRW宇宙に移行した
直後の宇宙の温度Trが1016 GeV
となるとすると，Hはいくらか？
ただし，この時点での物質のエ
ネルギー密度は0.165 g (Tr/Epl)4
Epl/Lpl3, g=100とする．
（解答）
Tr=5 ¢10-4 Tpl , g=100
)
Htpl=3 ¢ 10 - 6
Q9-2. Q9-1と同じ設定で，現在サイズL
の領域は，t=tfにおいて，そのとき
のHubbleホライズンサイズ1/Hの何
倍か？
（解答）
NL=L (T0/Tr) H
= (L/Lpl) (T0/Tpl) (1.38g)1/2 (Tr/Epl )1/2
30
= 1.7 £ 10
(L/4000Mpc) (Tr/Epl )1/2
Q9-3. Q9-1と同じ設定で，ホライ
ズン問題が解決される，すなわ
ちインフレーションの始まりに
現在の観測領域が1/H以下のサ
イズであるためには，インフ
レーションが続く時間¢ tがいく
ら以上必要か？H¢ tの値で答え
よ．
（解答）
H¢ t >> ln(NL)
¼ 69+0.5ln(Tr/Epl )
Q9-4. Q1と同じ設定で，平坦性問
題が解決されるには，H¢ tがい
くら以上である必要があるか？
（解答）
N=exp(H¢ t)とおくと，
Q9-5. 計量のゆらぎを± gとおくと，
重力場のサイズLの領域での量子
ゆらぎの大きさは，h=κ-1± gを用
いて，h= 1/Lで与えられる．イン
フレーション時の量子ゆらぎが
Hubbleホライズンより引き延ばさ
れると一定に保たれることも示さ
れる．このことから，インフレー
ション時に生成される重力波の振
幅を宇宙の再加熱温度で表せ．
（解答）
インフレーションは起こせるか？
インフラトン =重力が斥力となる物質
宇宙加熱（graceful exit）問題
新インフレーションモデル
カオティックインフレーションモデル
量子ゆらぎから銀河へ

インフレーション時．
インフラトンの量子ゆらぎはスケール不
変な宇宙ゆらぎを生成する．
同様に，インフレーションによりスケー
ル不変な重力波背景放射が生成され
る．

宇
宙
の
加
熱
宇
宙
の
晴
上
り
熱い膨張宇宙
長
さ
インフレーション後


インフラトンのゆらぎは再加熱により通
常の物質密度のゆらぎに変化し，CMB
のスカラ型ゆらぎを生み出す．
重力波背景放射は宇宙晴れ上がり後，
CMBにテンソル型ゆらぎを誘起する．
量子ゆらぎ
時間 t
現
在
CMBによるインフレーションの検証
WMAP(+others)

温度非等方性のスケール依存性は，CDM+インフレーション
の予言とよく一致．
スカラ型スペクトル指数: ns = 0.95 » 0.97
WMAP 5yr: arXiv:0803.0593
インフレーション問題

適当にポテンシャルを手で与えれば，スカラインフラトンを用いて（現在の）
観測と整合的なインフレーションモデルを作ることは容易である．
そのようなモデルは，インフレーションの背後に重力を含む統一理論が隠
れていることを示唆する．



インフレーションがPlanck時に始まることが要求される．
インフラトンと他の場の相互作用は，重力相互作用程度となる．
現在，超弦理論・Ｍ理論は整合的な重力を含む統一理論の唯一の候補で
あるが，未だにそれに基づくインフレーションモデルは存在しない．特に，
次のNo-Go定理は大きな障害となっている．
１０次元ないし１１次元の超重力理論の余剰次元を定常，コンパクト
で滑らかな空間によりコンパクト化することにより得られる４次元理
論では宇宙の加速膨張は起こらない． [Gibbons GW 1984]
宇宙誕生を観測する

CMB非等方性
より精密な観測．特に，ゆらぎの非ガ
ウス性の測定
⇒ 非線形効果を通して，インフレーショ
ンの情報を得る．
Planck (今年５月に打ち上げ）

偏光（特にBモード）観測
⇒ インフレーションで生成された重力
波の観測
⇒ インフレーションの終了時期など新
たな情報
QUITE, PolarBear, ….

LiteBIRD(KEK CMB group, 10年後）
NASA EPIC(Einstein Probe of
Inflationary Cosmology, 10年後）

原始重力波

スペースレーザー干渉計
Lpl at inflation ⇒ L >10 RE
LISA, DECIGO (２０年後）
LISA (of Great Observatories), The Structure and
Evolution of the Universe 2003 roadmap, "Beyond
Einstein: From the Big Bang to Black Holes.“ (NASA)
WMAP 5yr data: arXiv: 0803.0593
まとめ
新しい窓は新しい物理を生む
COBE, HST, SNLS, WMAP, SDSS
B-mode Satellite, GW BBO,
Space VLBI, ICECube
より高感度，より高解像度の観測
Cosmophysics Group Key Projects

重力を含む統一理論を宇宙初期進化で検証する

宇宙ジェットとブラックホールの高エネルギー物理
2009年度総研大高エネルギー加速器科学研究科
夏期実習A04
実習問題集
実習1
Q1-1 Hubbleの法則 v=Hd が我々から見て厳
密に成り立つとすると，我々から距離 a
の銀河にいる観測者にとって他の銀河は
どのように運動して見えるか？（宇宙の
一様等方性）
Q1-2 Hubbleの法則が大きな距離でもそのま
ま成り立つとすると，銀河の後退速度が
光速に達する距離は？（ホライズン）
Q1-3 宇宙のVバンドでの光度密度の観測値は
で与えられる．天体の質量光度比を =
M/L により定義すると，銀河に対するM/L
比は 10 h(M/L)⊙ 程度となる．これらより，
宇宙の平均密度を推定せよ．（太陽質量
はM⊙ = 2£ 1033g )
Q1-4 銀河の運動速度が一定とする．
このとき，過去に時間をさかのぼる
と銀河の分布はどのように変化する
か？また，その変化の特徴的な時間
はいくらか．（宇宙年齢）
Q1-5 半径 Rの質量Mの一様なガス球
を考える．このガス球が一様性を
保って膨張するとき，半径と密度の
時間変化を決める方程式を求めよ．
ただし，ガスの圧力は重力に比べて
無視できるとする．さらに，時間t
無限大で，膨張速度 dR/dtがゼロに
近づく解を求めよ．
Q1-6 Q1-5で求めた R(t)に対する方
程式の一般解を求めよ．
実習２：空間の曲率
Q2-1. 3次元球面
X2+Y2+Z2+W2=R2
において，北極 N(0,0,0,R)から距離 Â 以下の点の集合 D(Â)の体積V(Â)
および表面積S(Â)を求めよ．また，空間曲率Kを求めよ．
Q2-2. Minkowski時空内の3次元双曲面
X2+Y2+Z2-T2=-R2
において，点O(0,0,0,R)を中心としてQ2-1と同様の量を求めよ．
実習3：光度距離-赤方偏移関係
Q3-1 次の3つのモデルに対して，光度距離とzの関係を求めよ：
Einstein-De Sitter宇宙モデル: (M,K,¤)=(1,0,0)
De Sitter宇宙モデル： (M,K,¤)=(0,0,1)
Milne宇宙モデル：(M,K,¤)=(0,1,0)
Q3-2 Einstein-de Sitterモデルを基準にするとき，他の2つのモデルでは，z=1にある天体の等級はどれ
だけずれるか？（ln 10 =2.3)
実習4：何を意味するのか？
Q4-1.宇宙膨張の基本方程式を用いて，現在の宇宙膨張の加速度(d2
a/dt2)を密度パラメータで表せ．また，密度パラメーター
(M,K,¤) =(0.26,0,0.74)に対して，加速度の値をを計算せよ．
Q4-2. 宇宙膨張の基本方程式を用いて，宇宙膨張の加速度(d2 a/dt2)をエ
ネルギー密度½と圧力Pで表せ．
Q4-3. ダークエネルギーの密度をPlanck単位(G=1, c=1, ~=1)で表すとい
くらか？(tpl=(G~ /c5)1/2 =5.4£ 10-44 s, 1yr=3£ 107 s)
実習5:ビッグバン宇宙
Q5-1. 現在の宇宙は，約2.74KのPlanck分布をする
熱放射により満たされていることが知られてい
る(CMB)．光子ガスのエントロピー密度がT3に
比例することを利用して，宇宙のエントロピー
が一定とした場合のCMBの温度Tとスケール因
子aの関係を求めよ．また，T=3000K, 3800Kと
なる時期の赤方偏移の値と時刻を求めよ．
Q5-2. 現在のCMBの密度パラメーはh2CMB=2.39£
10-5 T2.74で与えられる．これより，熱輻射のエ
ネルギー密度とダークマターのエネルギー密度
が等しくなるときのzと温度，時間を求めよ．
Q5-3. 輻射のエネルギーが支配的な時期において，
スケール因子の時間依存性を求めよ．
Q5-4. 物質優勢な宇宙および輻射優勢な宇宙におい
て，宇宙誕生時を頂点とする光円錐の宇宙時間
tにおける半径lH(t)を時間の関数として求めよ．
この値と 1/Hを比較せよ．
実習6：Jeans長とホライズン
Q6-1.宇宙物質を輻射 (r)と物質(b)（電子，陽子プラズマ）の混合気体と見たとき，両者の圧力
の比 Pb/Prをもとめよ．ただし，輻射と物質は同じ温度とする．また，CMB=4.8£ 10-5,
b=0.046, kB TCMB=2.4£ 10-4 eV. mp=940 MeV/c2 とせよ．
Q6-2. Q6-1と同じ仮定の下で，宇宙物質のエネルギー密度½と圧力Pをスケール因子の関数と
して求めよ．さらに，これを用いて，このガスの音速
をスケール因子の関数として求めよ．また，原子物質が中性化して以降の音速を求めよ．
実習7: 宇宙音波の観測
Q7-1. CMBの最終散乱面t=tdecで我々が観測できる領域の半径（t=tdec時での固有長rplc(tdec)
と対応する現在の長さ（共動長）Âplc(tdec)）を求めよ．それとlH(tdec)の比を求めよ．
ただし，宇宙膨張は物質優勢FRWモデルで近似できるとする．
Q7-2. CMBの最終散乱面t=tdecでのホライズンを見込む角度を求めよ．ただし，宇宙膨張
は平坦な物質優勢FRWモデルで近似できるとする．
Q7-3. Q6-3の結果を用いて，第1Dopper peakの波長を¸1として，l=2¼ rplc(tdec)/¸1を求めよ．
実習8: Friedmannモデルの諸問題
Q8-1 現在の宇宙でK=0.1とすると，Planck時（t=tpl)での½K/½mの値はいくら
になるか？
Q8-2. 同じサイズの各々の領域でエネルギーがδEだけランダムに変動するとき，N
個の領域の全体でのエネルギーは N1/2 δEだけ変動する．また，サイズLの領
域で重力ポテンシャルのゆらぎは δE/Epl /(L/Lpl)で与えられる．このことを用い
て，Planck時でホライズンサイズの領域でエネルギーがランダムに比率 ² で変
動するとき，t=tdecでホライズンサイズの領域での重力ポテンシャルのゆらぎは
いくらになるか？ただし，Friedmannモデルを仮定し，ホライズンより大きなゆら
ぎのポテンシャルゆらぎがほぼ定数となることを用いよ．
実習９：インフレーション宇宙
Q9-1. インフレーション時の宇宙膨張率Hが
一定で，時刻t=tfにインフレーションが
終了し直ちに輻射優勢LFRWモデルに
移行するとする．LFRW宇宙に移行し
た直後の宇宙の温度Trが1016 GeVとな
るとすると，Hはいくらか？ただし，
この時点での物質のエネルギー密度は
0.165 g (Tr/Epl)4 Epl/Lpl3, g=100とする．
Q9-2. Q9-1と同じ設定で，現在サイズLの領域
は，t=tfにおいて，そのときのHubbleホラ
イズンサイズ1/Hの何倍か？
Q9-3. Q9-1と同じ設定で，ホライズン問題が解決
される，すなわちインフレーションの始まり
に現在の観測領域が1/H以下のサイズである
ためには，インフレーションが続く時間¢ t
がいくら以上必要か？H¢ tの値で答えよ．
Q9-4. Q1と同じ設定で，平坦性問題が解決され
るには，H¢ tがいくら以上である必要がある
か？
Q9-5. 計量のゆらぎを± gとおくと，重力場のサイズ
Lの領域での量子ゆらぎの大きさは，h=κ-1± gを
用いて，h= 1/Lで与えられる．インフレーショ
ン時の量子ゆらぎがHubbleホライズンより引き
延ばされると一定に保たれることも示される．
このことから，インフレーション時に生成され
る重力波の振幅を宇宙の再加熱温度で表せ．