Transcript 2球の斜衝突

力学的エネルギー
問題
なめらかな水平面上に質量ｍの小球Ｂが静止し
ている。これに質量２ｍの小球Ａを速さＶで衝突させ
たところ、衝突後、Ａ，Ｂは水平面上で別々の方向に
運動を始めた。Ｂの運動の方向は衝突前のＡの
運動の方向から角βをなしていた。この衝突が
完全弾性衝突だったとして次の問いに答えよ。
(1)Ａ，Ｂの衝突後の速さはそれぞれいくらか。
(2)β=30°のとき、Ａの衝突後の運動エネルギー
はいくらか
(1)
問題文中で設定されていない変数を自分で決めなければならない。
座標系も自分で決める。
x
座標系も自分で決める
y
αは自分でおく
β
α
m
ＶＡ
Ｖ
ＶＢ
ＶＡ、ＶＢも自分でおく
2m
完全弾性衝突→力学的エネルギーが保存されるので
1
1
1
2
2
2
2mV  2mVA  mVB・・・①
2
2
2
Ｘ軸方向の運動エネルギー保存より
2mV  2mVA cos   mVB cos ・・・②
Y軸方向の運動エネルギー保存より
2mVA sin   mVB sin ・・・③
未知数はα、ＶＡ、ＶＢの３つ。②と③には三角関数
2
2
sin


cos
  1を利用すると良い
が含まれていてやや複雑。
②より、mを消去して移行して
2V A cos   2V  VB cos ・・・② '
③より、mを消去して移行して
2V A sin   VB sin ・・・③
''
②'の二乗と③'の二乗を両辺それぞれ足すと
4V A2 (sin 2   cos 2  )  4V 2  4VVB cos   VB2 cos 2 
1
したがって
4V A2  4V 2  4VVB cos   VB2 cos 2 ・・・④
あとはＶＡ、かＶＢを消去すればいいが、④式にはVBの一次の項も含まれているので
ＶＡ消去のほうがよい
1 2
①よりV  V  VBとなるので④に代入すると
2
2
A
2
4V 2  2VB2  4V 2  4VVB cos   VB2
3VB  4V cos   0
4
V B  V cos 
3
1
V A2  V 2  VB2を使ってVB を代入すると
2
14

2
2
V A  V   V cos  
23

2
8
V A  V 1 cos 2 
9
8
V A  V 1  cos 2 
9
4
VB  V cos 
3
(2)
β=30°のとき
8
V A  V 1  cos 2 30○
9
1
1
1
 8

2mVA2  2mV 2 1  cos 2 30○   mV 2
2
2
3
 9

1
 mV 2
3