Transcript 量子渦および量子乱流の世界 - 東京大学駒場原子核理論研究室

量子渦および量子乱流の世界
東京大学大学院総合文化研究科
小林未知数
共同研究者：
坪田誠（大阪市立大理） 川口由紀（東大理）
新田宗土（慶応大物理） 上田正仁（東大理）
2010年6月23日 駒場原子核理論研究室セミナー
発表内容
1. 超流動とボース・アインシュタイン凝縮体
2. 量子乱流とその歴史的背景
3. 古典乱流と量子乱流
4. 量子乱流のエネルギースペクトルと統計
5. その他の話題：スピノルBECと非可換量子渦
6. まとめ
量子渦および量子乱流の世界
なぜ（今さら）量子乱流か？
超流動液体4Heで実現される超流動乱流（量子乱流）は低
温物理学において非常に重要なトピックスの１つであった。
近年、超流動乱流において古典乱流との類似性が発見され、
超流動乱流（量子乱流）を用いて古典乱流を要素還元的に
理解するという視点において、低温物理学の範囲を超えて
重要視され始めた。
超流動乱流（量子乱流）という分野は、
新しい時代を迎えようとしている！
量子渦および量子乱流の世界
超流動とBEC
液体ヘリウムは低温で超流動状態となり、粘性を
持っていないかのように振る舞う
超流動薄膜
量子渦および量子乱流の世界
超流動とBEC (Microscopic)
超流動はボース・アインシュタイン凝縮(BEC)によって
引き起こされる
ボース系では低温において巨視
的な数の原子が、1粒子の基底状
態を占有し、巨視的な波動関数
を形成する。
原子集団は巨視的波動関数としてコ
ヒーレントに運動し、超流動を引き起
こす。
量子渦および量子乱流の世界
BECとU(1)ゲージ対称性の破れ
BECの本質は巨視的波動関数の存在である
Y(x)=|Y(x)| exp[i (x)]：位相(x)が決まる
→U(1)ゲージ対称性の破れ
絶対零度における平均場ハミルトニアン
量子渦および量子乱流の世界
超流動のダイナミクス (Macroscopic)
•全流体は粘性のある成分（常流体）と
ない成分（超流体）とに分けられる。
•粘性のない振る舞いは超流体の振る舞
いを見ている
•1 K以下では常流体はほとんどない
•二流体モデルを用いて超流動現象の
多くを説明することができる
量子渦および量子乱流の世界
２流体モデルを最も特徴づける現象
：熱対向流
超流動中に温度勾配をつけると‥
常流体：低温側へ
超流体：高温側へ
•流体全体としては流れていないように見えるが、それぞれの
成分が反対方向に流れている。
•非常に大きな熱伝導度（通常の液体の約106倍）
量子渦および量子乱流の世界
熱対向流における層流－乱流転移
二流体の相対速度がある値を超
えると、今まで散逸を伴わな
かった熱対向流に散逸が生じる
Feynman
この散逸こそ超流体中の循環が量子化された量子渦
のタングル状態：超流動乱流状態である！(1955)
量子渦および量子乱流の世界
量子渦と量子乱流の発見
Vinen
•超流動4Heにおける量子化された循環k = h/mを観測：量
子渦の発見
•タングル状態の量子渦と常流体との摩擦である相互摩
擦力(mutual friction)を観測：超流動乱流の発見 (1957)
量子渦および量子乱流の世界
量子渦の特徴 (Macroscopic)
•すべての量子渦はいたるところで同じ循環 k = ∳
vs・ds = n h / m を持つ（実際には n ≥ 2 の渦は不安定
で n = 1 の渦へと分裂する）。
•渦の粘性拡散がなく、安定に存在する。
•渦芯のサイズは数Å（液体4He）：非常に微視的な渦
→古典流体の渦では最も粗雑な近似である渦糸近似
が、量子渦ではRealisticとなる。
k
量子渦および量子乱流の世界
量子渦の特徴 (Microscopic)
波動関数の位相が2pずれてい
る部分があると、その中心では波
動関数を定義できず(r = 0)欠陥
(defect)となる。
量子渦および量子乱流の世界
量子渦
欠陥は線状に走り、量子渦となる
原理的には2pだけでなく、2pの整数倍n
だけの位相のずれが可能である。
n：トポロジカル不変量
量子渦および量子乱流の世界
量子渦の観測
超流動4He中の渦タングル
超流動4He中の渦格子
G. P. Bewley et al. Nature 441, 588 (2006)
Packard 1982
量子渦および量子乱流の世界
渦糸近似による超流動乱流のシミュレー
ション
渦糸要素の時間発展
量子渦：渦糸近似
が有効
x0：渦糸要素の位置ベクトル
vind：渦糸が作る超流動速度場（ビ
オ・サバール則で与えられる）
vsa：外部から駆動する超流動速度場
vm：量子渦と常流体の相互摩擦力
量子渦および量子乱流の世界
渦糸近似による超流動乱流のシミュレー
ション
超流動乱流中の渦糸タングル
vs
vn
渦糸近似を用いて量子渦のダイ
ナミクスを計算し、熱対向流中
における超流動乱流との定量的
な一致を得た (Schwarz 1988)。
「超流動乱流＝量子渦糸タング
ル」という描像が裏付けられた。
量子渦および量子乱流の世界
熱対向流中の超流動乱流における膨大な研
究が行われた
熱対向流は超流動固有の現象であり、よって熱対向流によっ
て作り出された超流動乱流は古典乱流との対応を全く持って
いない！
超流動乱流の古典乱流との関係は全く謎
のままであった！
量子渦および量子乱流の世界
超流動乱流研究の新しい幕開け
J. Maurer and P. Tabeling, Europhys. Lett. 43 (1), 29 (1998)
近年、状況は一変する
回転円盤中に形成される
超流動乱流
実験条件 T
> 1.4 K
量子渦および量子乱流の世界
超流動乱流と古典乱流の類似性
J. Maurer and P. Tabeling, Europhys. Lett. 43 (1), 29 (1998)
超流動転移温度以下においても
Kolmogorovの-5/3乗則が観測された
超流動乱流と古典乱流の
類似性が観測された！
量子渦および量子乱流の世界
Kolmogorov則：一様等方古典乱流における
統計則
エネルギー保有領域に
おいてスケール l0 のエ
ネルギーが注入される
量子渦および量子乱流の世界
Kolmogorov則：一様等方古典乱流における
統計則
慣性領域ではエネル
ギーが散逸されずに高
波数へと流れてゆきエ
ネルギースペクトル
E(k)がKolmogorov則で
与えられる.
C : Kolmogorov定数
量子渦および量子乱流の世界
Kolmogorov則：一様等方古典乱流における
統計則
エネルギー散逸領域で
はエネルギーが
Komogorov長のスケー
ル lK で散逸される
量子渦および量子乱流の世界
Kolmogorov則：一様等方古典乱流におけ
る統計則
e : エネルギー注入率
e : エネルギー輸送率
P(k) : k 空間における
エネルギー流束
e : エネルギー散逸率
量子渦および量子乱流の世界
量子乱流と古典乱流の類似性
常流体 + 超流体中の量子渦
両者が相互摩擦力 (mutual friction) を介し
て結合し、１つの古典乱流のように振
る舞うという描像で理解されてきた
常流体の存在しない絶対零度
近傍の超流動乱流（量子乱
流）でも古典流体との類似性
はあるのか?
量子渦および量子乱流の世界
古典乱流と量子乱流
地球上の乱流
スモークワイヤ法によるトンボ周りの流
れの可視化（工学院大中村瑞木氏）
自然界のほとんどの流れは乱流であると
ともに流体力学最大の難問である
量子渦および量子乱流の世界
Leonardo da Vinci による乱流研究の幕開け
配水管から流れる水によって
作られる乱流の渦構造のス
ケッチ
Leonardo da Vinci
•乱流は渦によって形成される
•乱流は渦の階層構造を持つ
•同じ階層の渦間に相互作用が働く
量子渦および量子乱流の世界
Leonardo da Vinci による乱流研究の幕開け
Navier-Stokes方程式の数値解析（京大工 木田重雄氏）
一様等方乱流中の低圧力旋回渦の中心軸と芯領域の可視化
乱流において渦は重
要な役割を果たす
量子渦および量子乱流の世界
Kolmogorov則とRichardsonカスケード
エネルギー保有領域：
大きな渦の生成
慣性領域
大きな渦が小さな渦へと分裂
する：Richardson cascade
エネルギー散逸領域：粘性
により渦が消滅する
量子渦および量子乱流の世界
Richardsonカスケード
Navier-Stokes 方程式のシミュレーション
エネルギー注入なしの減衰乱流
↓
大きな渦度領域をランダムに幾つか配置し、
時間発展
↓
確かに渦は小さい渦へと分裂していっている
高渦度の等値面図
量子渦および量子乱流の世界
定常乱流ではこのプロセスが定
常的に起こっている？
Richardsonカスケードと自己相似性
名古屋大学大学院工学研究科・金田研究室による乱
流の大規模シミュレーション
乱流中において
Richardsonカスケード
による渦の自己相似
的な構造が現れてい
る
→Kolmogorov則と密
接な関係がある？
量子渦および量子乱流の世界
古典乱流の渦
•渦度 w = rot v が連続的
•循環 k が任意の経路で任意の値をとる
•渦は粘性によって生成消滅を繰り返す
•渦の定義が困難（どの物理量のどの
値を基準とするべきか）
•Richardsonカスケードは概念的なも
のに過ぎない（誰も見た人がいな
い）
量子渦および量子乱流の世界
量子乱流中の量子渦
• 循環 k = ∳ v ・ds = h / m が量子渦回りに量子化される
• 量子渦は安定な位相欠陥である
• 渦芯は非常に細い（回復長のオーダー）
量子渦および量子乱流の世界
量子渦は古典流体の渦と異なって安定かつ循環がそろってお
り、明確に定義できる
→ぼやけてはっきりしない古典流体の渦にまとわりついてい
るよけいな自由度を取り除いた、渦の本質のみの形
量子渦を構成要素とする量子乱流は構成要素がはっ
きりしない古典乱流の理想系となりうる（乱流の量
子化）。
量子乱流こそがKolmogorov則とRichardsonカスケード
の関係を明らかにするかもしれない。
→量子乱流もKolmogorov則を示す可能性がある
研究目的
• 量子流体のダイナミクスを記述する方程式
であるGross-Pitaevskii方程式を用いて量子乱
流の数値シミュレーションを行う。
• エネルギースペクトルやエネルギー流束な
どの物理量を計算し、古典乱流との類似性
を調べる。
量子渦および量子乱流の世界
量子乱流のエネルギースペクトルと統計：
GP方程式を用いた解析
ボース場のハミルトニアン（4He：ボース粒子）
（デルタ関数型の短距離反発芯相互作用）
量子渦および量子乱流の世界
Gross-Pitaevskii方程式
ボース凝縮している系において揺らぎを無視する
量子渦および量子乱流の世界
Gross-Pitaevskii方程式
ハミルトン方程式からGP方程式（非線形
Schrödinger方程式）を得る
量子渦
量子渦および量子乱流の世界
散逸項の導入
渦の再結合
GP方程式は圧縮性流体の方程式で
あり、渦の再結合時や渦芯の大きさ
まで小さくなった渦輪の消滅時に回
復長より短いスケールの短波長圧縮
性素励起を放出する（系の温度が上
がる）
⇒渦と相互作用し乱流のダイナミク
スに影響を与える
量子渦および量子乱流の世界
散逸項の導入
短波長圧縮性素励起を取り除くため、GP方程
式に散逸項を導入する
GP方程式のフーリエ変換
量子渦および量子乱流の世界
シミュレーションパラメーター
（長さは回復長で規格化： x = 1）
空間：周期境界条件における擬スペクトル法
時間：Runge-Kutta法
量子渦および量子乱流の世界
減衰乱流
初期状態：ランダム位相
初期速度場：ランダム
↓
乱流が形成される
量子渦および量子乱流の世界
減衰乱流
0<t<6
g0=0
減衰無し
g0=1
減衰あり
量子渦および量子乱流の世界
渦
位相
密度
乱流のエネルギーとエネルギースペク
トル
運動エネルギーを渦の部分と圧縮性素励起の部分に分ける
量子渦および量子乱流の世界
乱流のエネルギー
散逸がないと圧縮性素励起のエネルギーが支配的となる。
散逸を導入することで圧縮性素励起のエネルギーが散逸
し、渦のエネルギーが支配的となる。
量子渦および量子乱流の世界
減衰乱流
量子乱流中の量子渦
が古典乱流との類似
性を示した！
量子渦および量子乱流の世界
定常乱流
X0 : ランダムポテンシャルの特徴的
スケール
サイズX0 の渦が生成される
量子渦および量子乱流の世界
定常乱流への成長
エネルギー散逸とエネルギー注入のバランスに
より定常乱流が実現される
渦
密度
ポテンシャル
非圧縮性運動エネルギー Ekini が常に支配的
量子渦および量子乱流の世界
定常乱流への成長
エネルギー散逸とエネルギー注入のバランスに
より定常乱流が実現される
非圧縮性運動エネルギー Ekini が常に支配的
量子渦および量子乱流の世界
乱流におけるエネルギーの流れ
量子渦および量子乱流の世界
エネルギー散逸率
量子渦および量子乱流の世界
エネルギー流束
エネルギー輸送方程式からエネルギー流束を計算する
累積運動エネルギー
累積エネルギー散逸
累積エネルギー注入
エネルギー流束
量子渦および量子乱流の世界
エネルギー流束
量子渦および量子乱流の世界
1.
P(k) は慣性領域においてほぼ一定値
2.
慣性領域におけるP(k)はeとほぼ等しい
値となる
エネルギースペクトル
慣性領域でエネルギースペクトル
がKolmogorov則と一致した！
：量子乱流と古典乱流の類似性は
確かに存在する
量子渦および量子乱流の世界
量子乱流まとめ
• Gross-Pitaevskii方程式の数値シミュレー
ションを用いて量子乱流のダイナミクス
と統計を調べ、量子乱流と古典乱流に類
似性が存在することを明らかにした
• 量子乱流におけるエネルギーの流れの描
像を明らかにした
•Phys. Rev. Lett. 94, 065302 (2005) （減衰乱流）
•J. Phys. Soc. Jpn. 74, 3248 (2005)
量子渦および量子乱流の世界
（減衰、定常乱流）
その他の話題（非可換量子渦）
スカラーBECの渦におけるトポロジカル
不変量は整数で特徴づけられた
n：トポロジカル不変量
内部自由度を持つBECにおいて、渦のトポロジカル不変量が非可
換代数（例えば正四面体回転群）となる場合がある →非可換
量子渦
量子渦および量子乱流の世界
その他の話題（非可換量子渦）
原子のスピン自由度が生きているようなBECを考える
低エネルギー接触相互作用を仮定 (l = 0)
量子渦および量子乱流の世界
平均場ハミルトニアン
（スピン2の場合）
全ての原子が同じ1粒子
状態にいるとする
密度 スピン密度
シングレットペア振幅
量子渦および量子乱流の世界
U(1)G SO(3)S対称性の破れ
ハミルトニアンから
決まる
ゲージ変換：U(1)G
スピン回転：SO(3)S
状態は位相 (U(1)G)とスピンの回転角度a(SO(3)S)を決めると決
まる（ハミルトニアンは不変）：U(1)G SO(3)S対称性の破れ
量子渦および量子乱流の世界
基底状態
Uniaxial Nematic : D
Cyclic : T
Biaxial Nematic : D4
Ferromagnetic : SO(2)
量子渦および量子乱流の世界
¼
¼
非可換量子渦
量子渦のトポロジカル不変量
1成分BEC
スピン2スピノルBECのCyclic相
整数（位相の巻き数）
正四面体回転群
の要素
量子渦および量子乱流の世界
Gross-Pitaevskii方程式
量子渦および量子乱流の世界
非可換量子渦が衝突すると衝突する2本をつなぐ
量子渦の衝突シミュレーション
新たな渦が出現する（ラング渦）
同じ
非可換
再結合
ラング渦
可換
非可換
すり抜け
ラング渦
量子渦および量子乱流の世界
量子渦の衝突シミュレーション
同じ
可換
非可換
合体
すり抜け
ラング渦
ラング渦が形成されるため、非可換量子渦の絡み目
はほどくことができない
量子渦および量子乱流の世界
非可換量子渦の応用：非可換量子
乱流
可換量子渦による量子乱流
↓
量子渦のカスケード
非可換量子渦による非可換量
子乱流
↓
ラング渦による大規模な量子
渦のネットワーク構造が期待で
きる
新しい量子乱流研究
量子渦および量子乱流の世界
非可換量子渦まとめ
1. スピノルBECではU(1)G SO(3)S対称性の破れに対
応して様々な量子渦が出現する
2. スピン2のスピノルBECのCyclic相において非可換
量子渦が可能となる
3. 非可換量子渦の非可換性は衝突ダイナミクスに
おいて顕著となり、特に衝突する2本をつなぐ新
たなラング渦ができることが分かった
量子渦および量子乱流の世界
原子気体BEC
1997年に希薄なアルカリ原子気体の
BECが成功した
レーザーによる原子の冷却
原子のトラップ
87Rb, 23Na, 7Li, 1H, 85Rb,
41K, 4He, 133Cs, 174Yb,
52Cr, 40Ca, 84Sr
量子渦および量子乱流の世界
熱い原子を捨て
る（蒸発冷却）
原子気体BEC
粒子数～100万個
温度 ～100nK
サイズ～10～100mm
87RbのBEC
1£10-7 K
2£10-7 K
4£10-7 K
量子渦および量子乱流の世界
量子渦の観測
原子気体ボース・アインシュタイン凝縮での渦格子
87Rb
BECでの
渦格子
K. W. Madison et al. PRL 86, 4443 (2001)
渦格子形成のシミュレーション
量子渦および量子乱流の世界
-p

p
スピノルBEC
原子のスピン自由度が生きているようなBECを考える
超微細相互作用により核と電子のス
ピンが結合する(F = I + S + L)
87Rb, 23Na,
7Li, 41K
85Rb
133Cs
52Cr
量子渦および量子乱流の世界
F=1, 2
F=2, 3
F=3, 4
S=3, I=0
スピノールBEC
原子のスピン自由度が生きているようなBECを考える
87Rb
(I = 3/2)
mFで特徴づけられる多
成分のBECが実現する
スピン1：3成分の非対角長距離秩序
Y = (Y1, Y0, Y-1)
Stern-Gerlach実験により
成分ごとに観測できる
量子渦および量子乱流の世界
磁場勾配
-1
0
1
BECのスピンダイナミクス
Stern-Gerlach実験
F=1
F=2
J. Stenger et al. Nature 396, 345 (1998)
異なるmF の凝縮体は入れ替わることがで
きる（スピンの回転演算に対応）
量子渦および量子乱流の世界
H. Schmaljohann et al. PRL 92, 040402 (2004)
渦糸近似による量子乱流のシミュレーショ
ン
T. Araki, M. Tsubota and S. K. Nemirovskii, Phys. Rev. Lett. 89, 145301 (2002)
渦糸近似によって量子乱流のダ
イナミクスを計算し、エネル
ギースペクトルを求める（初期
状態：Taylor-Green-flow）。
相互摩擦力を考慮しない
量子渦および量子乱流の世界
渦糸近似による量子乱流のシミュレーショ
ン
低波数側でエネルギース
ペクトルがKolmogorov則
と一致した！ (C ≒ 0.7 )
量子渦および量子乱流の世界
Kolmogorov定数
渦糸近似：C ~ 0.7
減衰乱流：C ~ 0.32
定常乱流：C ~ 0.55
古典乱流：1.4 < C < 1.8 → 明らかに古典乱流より小さな値が
得られている：量子乱流に特有の性質かも知れない（導出
可能？）
量子渦および量子乱流の世界
代数的考察
経路dは渦BをABA-1とみなす(共役類)
量子渦および量子乱流の世界
Y字型構造
B
AB
A
量子渦および量子乱流の世界
量子渦の衝突
B
B
A
A
AB
A
可換なとき
のみ
B
ABA-1
A
A
ABA-1
B
B-1AB
BA-1
A
量子渦および量子乱流の世界
B
A
ABA-1
同じ渦の衝突
A
A
A
A
×
A
エネルギー
的に不利
A
A
×
A
A2
○
A
A
A
A
1
再結合
A
量子渦および量子乱流の世界
A
A
A
可換な渦の衝突
B
B
A
A
×
エネルギー
的に不利
A
ABA-1
○
B
AB
ABA-1
A
A
×
B
B-1AB
BA-1
すり抜け
A
量子渦および量子乱流の世界
B
A
ABA-1
非可換量子渦の衝突
B
B
A
A
AB
○
A
トポロジカ
ルに禁止
×
B
ABA-1
A
A
ABA-1
○
B
B-1AB
BA-1
ラング渦
A
量子渦および量子乱流の世界
B
A
ABA-1
絡み目渦
B
B
A
非可換
A
AB -1A-1B
A
ABA-1
B
ABA-1
ABA-1
AB -1ABA-1
可換
B
量子渦および量子乱流の世界
A
A
AB -1ABA-1
非可換な絡み目は
ほどけない
絡み数に対応した新たなト
ポロジカル不変量の定義
ができるかもしれない
Nematic相 vs. Singlet-pair状態
F = 0の状態(c1>0, c2<0)
Singlet-pair凝縮状態
Nematic状態
量子渦および量子乱流の世界
Polar相の存在可能性（ゼロ磁場下で
SO(3)S対称性は破れるのか？）
F = 0の状態(c1>0)
Singlet-pair凝縮状態
Polar状態
U(1)G対称性のみ破れている
（スピン量子化軸に対して対称）
完全ゼロ磁場下でのみ安定に存
U(1)G SO(3)S対称性が破
在し、ノイズによって容易に
れている
SO(3)S対称性が破れる
1mG程度の磁場で壊れる
スピン2のNematic相もほぼ同様、Cyclic相は完全ゼロ磁場下でtrioとなる
量子渦および量子乱流の世界
Cyclic相 vs. Singlet-trio状態
F = A00 = 0の状態(c1>0, c2>0)
Singlet-trio凝縮状態
Cyclic状態
量子渦および量子乱流の世界
量子乱流の時間相関
時間相関によるエネルギースペクトル
量子渦および量子乱流の世界
量子乱流の時間相関
時間相関におけるKolmogorov則：時間相関と空
間相関の対応が見えている
量子渦および量子乱流の世界