Transcript x n の微分と対数変換

n
x の微分
順列と組合せ
二項定理
1
(a+b)nの展開
二項定理
2
順列
• n個の異なった文字
a1 , a2 , a3, ・・・, an
から r 個とってきて並べるとき、異なった並べ
方の個数を調べる。
• 最初の１つは何でもいいので選び方は n 個
• 2番目は残りの(n-1)のうちのどれかなので、
最初のn個に対してそれぞれ(n-1)個ある。
• したがって最初と2つ目の文字を選ぶ選び方
はn (n-1)通り
3
n 個から r 個とってきて並べる並べ方の総数
• r 個まで繰り返すと、最初から r 番目までの
並べ方の総数は
n(n-1)(n-2)・・・(n-r+1)
である。
• いくつかのものを1列に並べた配列を順列と
呼ぶ。
• n個の異なった文字の中からr個を選んで並
べるとき、異なる並べ方の総数を
nPr
という記号で表す。
4
nPn=n!
•
•
•
•
nPn=
n(n-1)(n-2)・・・×(3)×(2)×(1)
この値をnの階乗といい n! で表す。
特に n = 0の場合、0! = 1 と定義する。
この記号を使いnPrを表すと以下のようにな
る。
n!
n Pr 
n  r !
5
問題 以下の値を求めなさい。
3!
 3  2 1  6
3 P3 
0!
3! 3  2 1

6
3 P2 
1!
1
3! 3  2  1

3
3 P1 
2!
2 1
3!
1
3 P0 
3!
6
組み合わせの数
• n 個から r 個を選び出す選び方を組み合わせ
と呼び、nCrで表す。
• n 個の異なるものの中から r 個を選んで並べ
る並べ方の個数は nPr である。
• n 個から r 個を選ぶ選び方は、 nCrである。
• これにはそれぞれr個の成分がありこれを並
べ替えると並べ方は r!個ある。
• したがって nPr = nCr×r! と表すことができる。
7
n
Pr n Cr  r!　を整理する。
n!
ここでn Pr 
なので
n  r !
n!
n Cr 
r!n  r !
※ r = 0のとき、「何も並べない」という一通りがある
と考える。
8
問題 以下の値を求めなさい。
3!
3  2 1

1
3 C3 
0!3! 3  2 1
3!
3  2 1

3
3 C2 
1!2! 1 2  1
3!
3  2 1

3
3 C1 
2!1! 2 1 1
3!
3  2 1

1
3 C0 
3!0! 3  2 1
9
展開後の式
二項定理
10
(a + b)n の値
( a + b )n = ( a + b ) ( a + b ) ・・・( a + b )
なので、これを求めるには右辺を展開すれ
ばよい。
すると n 個ある ( a + b ) から a または b を
選んで掛け合わせた
an-r br
(r = 0,1,2,・・・,n)
という形の和が得られる。
11
an-r br の個数を数える
それぞれの an-r br は n 個の ( a + b ) のう
ち、 r 個は b をとり n-r 個は a をとって掛け
合わせたものである。
したがって、そのような積は n 個の因子か
ら b の方を r 個を選ぶ選び方の総数だけ
あり、その数は
nCr
である。
12
2項定理
n-r br を r = 0,1,2,・・・,n について加えたもの
C
a
n r
が(a + b)n となる。
従って
(a + b)n= nC0 an b0 + nC1 an-1 b1 + nC2 an-2 b2 +・・・
+ nCn-1 an-(n-1) b(n-1) + nCn an-(n) b(n)
となる。
13
問題 以下の式を展開しなさい
a  b 3 C0a b
3
3 0
3 C1a b 3 C2 a b 3 C3a b
2 1
 a  3a b  3ab  b
3
2
2
1 2
0 3
3
14
微分の復習
f (x) = xn の微分
15
f (x) = xn の微分

df
x  h  x n
 lim
dx h0
h
n
 lim
Cx
n
h 0
0
n

 n C1 x n 1h   n Cn1 xhn1  n Cn h n  x n
h
 lim
x n  nxn1h   n Cn1 xhn1  n Cn h n  x n
h
 lim
h nxn 1   n Cn 1 xhn2  n Cn h n1
h
h0
h 0




 lim nxn1   n Cn1 xhn2  n Cn h n1  nxn1
h0
16
問題 以下の式を x で微分しなさい。
f x   x
f x   3x
2
f x   ax
b
(a , b は定数)
df
0
 x 1
dx
df
 6x
dx
df
b 1
 abx
dx
17
指数と対数
指数法則
指数関数と対数関数
対数変換
18
累乗の指数と指数法則
指数
19
累乗の指数
a をn 回かけることを累乗といい、
このときの n を累乗の指数という。
a  a  a  a
n
n個
20
指数法則１
n,mはともに自然数とする
a  a  a  a  a  a  a  a 
n
m
n個
m個
 a  a  a  a  a
a
nm
n+m個
21
指数法則2
n,mはともに自然数 n > m とする
m個
n個
n-m個
a  a  a   a  a   a
m
a  a   a
a
n
m個
a
nm
22
指数法則2-1
n = m とすると指数法則２により
a
n－m
ここで a
n
a
m 
a
nm
a
0
の値を求める
a  a   a
1
a  a   a
a 1
0
23
指数法則2-2
n = 0 , m は自然数とすると指数法則２により
a
0 m
a
m
0
1
a

m
m
a
a
a
m
1
 m
a
24
指数法則3
n,mはともに自然数とする
a   a  a  a 
n m
n
n
n
(an)がm個
 a  a  a  a  a  a 
aがn個
 a  a  a  a
n×m個
mn
25
指数法則４
nは自然数とする
a   a
1
n
n
1 n
n
a a
1
a1/n は n 乗したら a になる値である。
つまり a の n 乗根
1
n
a  a
n
26
指数法則
a a  a
n
a 
n m
m
a
n m
a
n
nm
1
n
a 1
0
1
 n
a
a  a
n
27
対数変換
指数関数と対数関数
28
指数関数
a > 0 と任意の有理数x,yに対して
axay=ax+y
ax/ay=ax-y
(ax)y=axy
が成立する。このように定義され
た ax を指数関数と呼ぶ
29
指数関数の性質
y=
x
a において
1 < a ならば増加関数
0 < a < 1 ならば減少関数
30
a > 1 のグラフ （a = 2.0）
4.5
4.0
3.5
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
-2.0
-1.0
0.0
1.0
2.0
31
0 < a < 1 のグラフ（a = 0.5）
4.5
4.0
3.5
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
-2.0
-1.0
0.0
1.0
2.0
32
対数の意味
a > 0 かつ a ≠ 1 ならば y > 0 の値を
指定すれば y = ax を満たす x の値は
ただ一つ決まる。そこで y = a x を x に
ついて解いた式を
x = loga y
という記号で表す。
33
対数における各部の名称
x = loga y
において
a を 底 （てい）
y を 真数 （しんすう）
と呼ぶ。
34
対数関数
x,y を入れ替えて表記した関数
y = log a x
を対数関数と呼ぶ。
対数関数の定義域は (0, ∞) であ
り、値域は (－∞, ＋∞) である。
特に a = e のときは自然対数と呼
び log x と表す
35
自然対数 y = log x のグラフ
2.0
1.0
0.0
-1.0
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
-2.0
-3.0
-4.0
-5.0
36
指数関数と対数関数の関係
y = log x は x = の逆関数で
あるから
y = log x と x = ey は x と y の関
係式としては同じものである。
y
e
37
問題
x=
とする。
対数関数で表しなさい。
m
e
m  log x
38
問題
y = とする。
対数関数で表しなさい。
n
e
n  log y
39
対数における指数法則
対数の話
40
問題
対数関数で表しなさい
1 a
0
loga 1  0
41
問題
対数関数で表しなさい
aa
1
loga a  1
42
問題
対数関数で表しなさい
xa
loga x  m
m
ya
loga y  n
n
xy  a a  a
m
n
m n
loga xy  m  n
 loga x  loga y
43
問題
対数関数で表しなさい
xa
m
x a
y
my
loga x  m
loga x  my
y
 y loga x
44
対数の公式
（まとめ）
loga 1  0
loga a  1
loga xy  loga x  loga y
loga x  y loga x
y
45
対数変換
y = f (x) とする。
ここで両辺の値を真数とする対
数をとると、以下の式が成り立つ。
log y=log f (x)
この変換を対数変換という。
46