Transcript 需要の価格弾力性

需要の価格弾力性
弾力性の推定
準備1
二項定理
2
順列
• n個の異なった文字
a1 , a2 , a3, ・・・, an
から r 個とってきて並べるとき、異なった並べ
方の個数を調べる。
• 最初の１つは何でもいいので選び方は n 個
• 2番目は残りの(n-1)のうちのどれかなので、
最初のn個に対してそれぞれ(n-1)個ある。
• したがって最初と2つ目の文字を選ぶ選び方
はn (n-1)通り
3
n 個から r 個とってきて並べる並べ方の総数
• r 個まで繰り返すと、最初から r 番目までの
並べ方の総数は
n(n-1)(n-2)・・・(n-r+1)
である。
• いくつかのものを1列に並べた配列を順列と
呼ぶ。
• n個の異なった文字の中からr個を選んで並
べるとき、異なる並べ方の総数を
nPr
という記号で表す。
4
nPn=n!
•
•
•
•
nPn=
n(n-1)(n-2)・・・×(3)×(2)×(1)
この値をnの階乗といい n! で表す。
特に n = 0の場合、0! = 1 と定義する。
この記号を使いnPrを表すと以下のようにな
る。
n!
n Pr 
n  r !
5
問題 以下の値を求めなさい。
3!
 3  2 1  6
3 P3 
0!
3! 3  2 1

6
3 P2 
1!
1
3! 3  2  1

3
3 P1 
2!
2 1
3!
1
3 P0 
3!
6
組み合わせの数
• n 個から r 個を選び出す選び方を組み合わせ
と呼び、nCrで表す。
• n 個の異なるものの中から r 個を選んで並べ
る並べ方の個数は nPr である。
• n 個から r 個を選ぶ選び方は、 nCrである。
• これにはそれぞれr個の成分がありこれを並
べ替えると並べ方は r!個ある。
• したがって nPr = nCr×r! と表すことができる。
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n
Pr n Cr  r!　を整理する。
n!
ここでn Pr 
なので
n  r !
n!
n Cr 
r!n  r !
※ r = 0のとき、「何も並べない」という一通りがある
と考える。
8
問題 以下の値を求めなさい。
3!
3  2 1

1
3 C3 
0!3! 3  2 1
3!
3  2 1

3
3 C2 
1!2! 1 2  1
3!
3  2 1

3
3 C1 
2!1! 2 1 1
3!
3  2 1

1
3 C0 
3!0! 3  2 1
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展開後の式
二項定理
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(a + b)n の値
( a + b )n = ( a + b ) ( a + b ) ・・・( a + b )
なので、これを求めるには右辺を展開すれ
ばよい。
すると n 個ある ( a + b ) から a または b を
選んで掛け合わせた
an-r br
(r = 0,1,2,・・・,n)
という形の和が得られる。
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an-r br の個数を数える
それぞれの an-r br は n 個の ( a + b ) のう
ち、 r 個は b をとり n-r 個は a をとって掛け
合わせたものである。
したがって、そのような積は n 個の因子か
ら b の方を r 個を選ぶ選び方の総数だけ
あり、その数は
nCr
である。
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2項定理
n-r br を r = 0,1,2,・・・,n について加えたもの
C
a
n r
が(a + b)n となる。
従って
(a + b)n= nC0 an b0 + nC1 an-1 b1 + nC2 an-2 b2 +・・・
+ nCn-1 an-(n-1) b(n-1) + nCn an-(n) b(n)
となる。
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問題 以下の式を展開しなさい
a  b 3 C0a b
3
3 0
3 C1a b 3 C2 a b 3 C3a b
2 1
 a  3a b  3ab  b
3
a  b
4
2
2
1 2
3
 a  4a b  6a b  4ab  b
4
3
2 2
0 3
3
4
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微分の復習
f (x) = xn の微分
f (x) = xn の微分

df
x  h  x n
 lim
dx h0
h
n
 lim
Cx
n
h 0
0
n

 n C1 x n 1h   n Cn1 xhn1  n Cn h n  x n
h
 lim
x n  nxn1h   n Cn1 xhn1  n Cn h n  x n
h
 lim
h nxn 1   n Cn 1 xhn2  n Cn h n1
h
h0
h 0




 lim nxn1   n Cn1 xhn2  n Cn h n1  nxn1
h0
16
問題
以下の式を x で微分しなさい。
f x   x
f x   3x
2
f x   ax
b
(a , b は定数)
df
0
 x 1
dx
df
 6x
dx
df
b 1
 abx
dx
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準備２
指数関数
指数関数
a > 0 と任意の有理数x,yに対して
axay=ax+y
ax/ay=ax-y
(ax)y=axy
が成立する。このように定義され
た ax を指数関数と呼ぶ
指数関数の性質
y=
x
a において
1 < a ならば増加関数
0 < a < 1 ならば減少関数
a > 1 のグラフ （a = 2.0）
4.5
4.0
3.5
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
-2.0
-1.0
0.0
1.0
2.0
0 < a < 1 のグラフ（a = 0.5）
4.5
4.0
3.5
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
-2.0
-1.0
0.0
1.0
2.0
対数の意味
a > 0 かつ a ≠ 1 ならば y > 0 の値を
指定すれば y = ax を満たす x の値は
ただ一つ決まる。そこで y = a x を x に
ついて解いた式を
x = loga y
という記号で表す。
対数における各部の名称
x = loga y
において
a を 底 （てい）
y を 真数 （しんすう）
と呼ぶ。
対数関数
x,y を入れ替えて表記した関数
y = log a x
を対数関数と呼ぶ。
対数関数の定義域は (0, ∞) であ
り、値域は (－∞, ＋∞) である。
特に a = e のときは自然対数と呼
び log x と表す
自然対数 y = log x のグラフ
2.0
1.0
0.0
-1.0
-2.0
-3.0
-4.0
-5.0
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
指数関数と対数関数の関係
y = log x は x = の逆関数で
あるから
y = log x と x = ey は x と y の関
係式としては同じものである。
y
e
問題
x=
とする。
対数関数で表しなさい。
m
e
m  log x
問題
y = とする。
対数関数で表しなさい。
n
e
n  log y
準備
対数の話
問題
対数関数で表しなさい
1 a
0
loga 1  0
問題
対数関数で表しなさい
aa
1
loga a  1
問題
対数関数で表しなさい
xa
loga x  m
m
ya
loga y  n
n
xy  a a  a
m
n
m n
loga xy  m  n
 loga x  loga y
問題
対数関数で表しなさい
xa
m
x a
y
my
loga x  m
loga x  my
y
 y loga x
対数の公式
（まとめ）
loga 1  0
loga a  1
loga xy  loga x  loga y
loga x  y loga x
y
対数変換
y = f (x) とする。
ここで両辺の値を真数とする対
数をとると、以下の式が成り立つ。
log y=log f (x)
この変換を対数変換という。
指数モデルと回帰分析
需要の価格弾力性
弾力性とは
二つの変数 x, y において
x の変化率に対するy の変化率
yの変化率
E
xの変化率
需要の価格弾力性とは
価格の変化率に対する需要の変化率
需要の変化率
E
価格の変化率
注) 通常、需要関数は右下がりなので、Eは負の値となる。
x の変化と y の変化
y は x の関数とする
y  f x 
x がDx 変化したときの y の値は以下の式で
あらわされる
f x  Dx 
x と y の変化率
x がDx 変化したときの x の変化率は以下
の式であらわされる
Dx
x
x がDx 変化したときの y の変化率は以下
の式であらわされる
f x  Dx   f x 
f x 
弧弾力性
弧弾力性は以下の式で定義される。
f x  Dx   f x 
f x 
E
Dx
x
微少な変化の変化率
D を需要とし、 P を価格とする。∂D を需要の
微小な変化量とし、∂Pを価格の微小な変化量
とする。それぞれの変化率は以下の式で示さ
れる。
D
需要の変化率 
D
P
価格の変化率 
P
点弾力性
点弾力性は以下の式で定義される。
D
D
E
P
P
点弾力性の定義式
D
D P
P D
D
E


P
D P
D P
P
価格弾力性が一定の需要関数
特別な需要関数
需要量と価格の関係
• 普通の財では、価格が上昇すると市場にお
ける需要量が減ると考えられている
• 需要量と価格の間には負の相関関係が想定
されている
• そのため需要曲線は右下がりで描かれ、単
調減少関数として定式化される
• 需要の価格弾力性はいつも負となるため絶
対値を用いて表されることが多い
需要
普通の財の需要曲線
価格
指数モデルにより需要関数を仮定
D  P

指数モデルのグラフ
140
120
100
80
D
60
40
20
0
0
0.01
0.02
0.03
P
0.04
0.05
0.06
需要関数をPで微分
（準備）
D  P

D
 1
  P
P
指数モデルにおける価格弾力性
P D
E
D P
以下の値を代入
D
 1
  P
P
D  P

指数モデルにおける価格弾力性

P
 1
E

P

P

問題
以下の式を整理しなさい

P
 1

P

P
PP


P
 1


P




P
問題
以下の式を対数変換しなさい
D  P


log D  log P


log D  log   log P
回帰式への適用
log D  log   log P
y    x
指数モデルは直接、需要の価格弾力性
係数を求めることができるモデル
需要の価格弾力性の意味
• 価格が１％変化したときの需要の変化率
• 価格弾力性の絶対値が１を超えたときは弾
力的需要
– 指数モデルを仮定したとき、値下げにより売上総
額が増える
• 価格弾力性の絶対値が１未満の場合は非弾
力的需要
– 指数モデルを仮定したとき、値上げにより売上総
額が増える
弾力性が好まれる理由
• 変化率と変化率の比をとるため、すべての変
数に適用可能
• 単位に依存しない
• 指数モデルを仮定することにより、対象ごとに
一つの値を持つため、製品間・地域間・期間
別に比較が容易
• 指数モデルを仮定することにより弾力的・非
弾力関の解釈が容易
グラフによる理解
指数モデルの形
需要
指数モデルにおける価格と需要の関係
価格
E  0.5
E  1.0
E  2.0
売上
指数モデルの価格と売上
価格
E = -0.5
E = -1.0
E = -2.0
対数変換時の注意事項
• 「0」は対数をとることができない
• 対処法
–小さな値を代用
–欠損値として扱う
–すべての値に１を加える
–その他のアイデア
問題
1. 線形モデルにおける需要の価格弾力性をもとめな
さい。
2. 線形モデルにおいて価格と需要の価格弾力性の
関係を説明しなさい。
3. 線形モデルに従い価格と売上高の関係を表しなさ
い
• ただし、 y は需要、 x は価格とし、線形モデルは以
下のものとする。
y    x
線形モデルにおける
価格弾力性係数別の価格と売上
120%
100%
80%
60%
40%
20%
0%
-150%
-100%
-50%
E = -0.5
0%
50%
100%
E = -1.0
150%
200%
E = -2.0
250%
売上
線形モデルの価格と売上の関係
価格