Transcript A08: 動的な構造をもつネットワーク上の資源割当て問題の研究

A08: 動的な構造をもつネットワーク上
の資源割当て問題の研究
藤田 聡
中野浩嗣
（広島大学）
森本康彦
研究組織
• 藤田 聡（広島大）
– ネットワーク上のサーバ配置問題
– オンラインアルゴリズム
• 中野浩嗣（広島大）
– 無線ネットワーク上のアルゴリズム
– 無線ネットワーク上の省電力ルーティング
• 森本康彦（広島大）
– センサーネットワーク上のデータマイニング
成果の概要
 支配集合に基づく資源割当て問題
 サービスの安定性を保証するための要件
 安定性をパラメータ化して必要なコストを評価
 連結支配集合分割問題（→センサーネット）
 ルーティングにおける資源割当て
 無線ネットワークにおけるチャネル割り当て
 ルーティング性能をいかにして保つか（ホップ数, QoS, 低
電力）
 輻輳制御（AIMD, Active Queue管理)
 マルチパスルーティング
支配集合に基づく資源割当て問題
 すべての頂点に対して均一なサービスを提供
– 支配集合がサーバ集合に対応
 さまざまなバリエーションが存在
 連結支配集合：センサーネットワークのバックボーン
 支配集合分割：負荷分散、省電力化
 r-configuration：ファイル配置問題
 最大極小支配集合：用意すべきサーバ数の上限
【動的な構造をもつネットワークへの適用】
 支配集合間の遷移可能性 （PDCAT’04, ISAAC’05)
 欠陥を許した支配集合分割
支配集合間の遷移
a
d
a
b
d
a
b
d
b
c
c
c
(a)
(b)
(c)
 支配集合の集合D’⊆D(G)は、D’中の任意の集合間で
互いに遷移可能なとき、相互遷移可能であるという
• ただし遷移の途中でD’中に含まれない様相を経由してもよい
主要な結果 (ISAAC’05)
 n頂点のグラフのクラスCnを考える
 Cnに含まれる任意のグラフ上で相互遷移可能性を保
証するような支配集合サイズの上界をg(n)とし、
 相互遷移可能ではないグラフがCn中に存在するような
支配集合サイズの下界をf(n)とする
木(tree)のクラスに対して
g(n) = f(n)+1 = ceil((n-1)/2)
ハミルトングラフのクラスに対して
g(n) = f(n)+1 = ceil((n+1)/3)-1
木に関する証明の概要
十分性は、根の方向に向けて
支配頂点を繰り返し遷移させて
いくことで証明できる
任意のグラフの支配数は
葉に隣接している頂点数
以上である
支配数がceil((n-1)/2)になるグラフの例
ハミルトングラフG
ring edge
 ハミルトングラフG=(V,E)のハミ
ルトン閉路Rを固定する
 グラフGのサイズceil((n+1)/3)
の支配集合S⊆V を考える
 Gからchord edgeを繰り返し除
去しながら、SをRの支配集合
に遷移させていく
Gがサイクルのとき、サイズ
ceil((n+1)/3)の支配集合は相互遷
移可能
chord edge
9
10
8
11
7
0
6
1
5
2
4
3
Graph G
Step 1: 冗長な辺の除去
規則1: もし除去によって支配
集合であることが崩れなけれ
ば、そのchord edgeを除去
 規則１をそれ以上適用できなく
なるまで繰り返し適用
⇒Gと同一の支配集合Sをもつ部分
グラフG’ が得られる
 G’の任意のchord edgeでは、
いっぽうの端点がSに属し、もう
いっぽうの端点はちょうどひとつ
のchord edgeと接続している
9
10
8
11
7
0
6
1
5
2
4
3
Graph G’
Step 2: 森への分割
• Chord edgeで支配される頂点
に接続するすべてのring edge
9
10
8
を除去
T中の支配頂点をうまく遷移させて、Tに接続
– 得られるグラフをG”
とする
11
するchord edgeが取り除けるようにできる
• G”は森である
0
↓
– すべての葉はV-Sの要素であり、
同様の処理をすべてのchord
edgeが
次数3以上の頂点はすべてSの要
1
素である 除去されるまで繰り返せばOK
2
4
• |S| ≧ ceil((n+1)/3)より、森の中
3
には少なくともひとつの木Tが存
在し、その木の中の支配集合数
Graph G”
が頂点数の1/3を上回っている
7
6
5
欠陥のある支配集合分割
• 支配集合分割C ={C1,C2,…,Ck}
– 各Ciは支配集合
– 各頂点は、すべてのCiによって支配されている
• 各頂点を支配する集合数をkからk-dに減らす
– 点彩色で類似の概念はすでにある
• 動的な環境下で支配する集合数が一時的に減る状
況をモデル化（⇒ディペンダビリティの尺度）
• パラメータdの値によって計算複雑度はどのように
変化するか
• 動的な変化が起こった際にdを低く抑える方法は？
キュービックグラフの場合
d (許される欠陥の数)
0
ｋ
（
分
割
の
サ
イ
ズ
）
1
1
P
2
P
3
NP
P
4
NP
P
5
6
7
2
3
4
5
P
P
P
8
P
9
P
ルーティングにおける資源割当て
• アドホックネットワーク
– ランキングアルゴリズム、チャネル割り当て
• QoSルーティング
– パス選択問題 （ICIS’05)
– 輻輳制御問題 (ICON’06, PDPTA’07)
• マルチパスルーティング
– 耐故障性、通信帯域の確保 （PDCS’06)
• 無線LANにおける通信機会割当て
– ビン詰め問題の一種 （PDCAT’06）
無線ネットワーク上でのランキング
n個の無線端末がキーを１個ずつもつ
３２
４１
８５
５７
２９
各キーのランク（何番目に小さい値か）を求める
２
３
５
４
１
ソーティングと本質的に同じ
通信チャネルが１つのときの
自明な時間最適アルゴリズム
３２
各無線端末がキーを順に
ブロードキャスト
３２
４１
８５
５７
２９
 各端末は受信したキーと自分のキーを比較し，自分より小さい
キーの個数をカウント
 自分より小さいキーの個数＋１がランクと一致
アルゴリズムは時間最適：自明な下界Ω(n)時間と一致
（各キーは少なくとも１回は送信される必要があるので）
欠点： 各端末はO(n)回の受信動作を行うので受信による消費電力が大きい
通信チャネルが１つのときの自明な
消費電力最適アルゴリズム
アイデア：並列ソーティングネットワークを無線ネットワークでシミュレート
３２ ４１
８５ ５７ ２９
比較交換器
並列ソーティングネットワークの既知の結果を用いる
O(n log n)個の比較交換器でソーティングが行える
比較交換を通信チャネル上で行うと
O(n log n)時間でソーティングが行える．
利点： 比較交換に関係ない無線端末は送受信を
行わなくてよいので，各無線端末が行う送受信
動作はO(log n)回
２９
３２ ４１ ５７
８５
欠点： 時間最適でない．（下界はΩ(n))
問題： O(n)時間，O(log n)送受信動作の時間最適，消費電力最適
ランキングアルゴリズムは作れるか？
マルチチャネルの場合
マルチチャネル無線ネットワークでの時間最適，消費電力最適なランキングを考える．
３２
５７
マルチチャネル：複数の通信チャ
ネルを使って同時に通信が行える
３２
４１
８５
５７
２９
k個の通信チャネルを用いる場合
計算時間の自明な下界： Ω(n/k) （各キーは少なくとも１回送信する必要があるので）
各送受信回数の下界： 通信チャネル数に関係なくΩ(log n)
問題： O(n/k)時間，O(log n)送受信動作のランキン
グアルゴリズムは存在するか？
決定的手法ではむずかしそう → 確率的手法を用いる
確率的ランキングアルゴリズム
アイデア：ランダムサンプリング
1. 約n/log n個の無線端末をランダムに選ぶ
2. 選んだ無線端末だけでランキングし，ランキング結果から，約n/(log n)2個のキー
を選ぶ．選んだキーをピボットとして用い，全ての無線端末をグループに分割．
＜
＜
＜ ＜
＜ ＜
各グループはほぼ等しく平均(log n)2個の端末をもつ．
３．グループ内でランキングし，全体のランキングを求める
結果
1≦k≦n/log nのとき，少なくとも1-n-1の確率で，O(n/k)時間，
O(log n)送受信回数で，ランキングを行うことができる．
転置グラフ上の点素なパス
 転置(transposition)グラフ：Cayleyグラフの一種
– 次元ｎのとき、次数がd=n(n-1)/2
– star graphやpancake graphに比べて、選ぶべきパスの
数が大きい（つまり難しい）
 最大フローによる求解：
– 頂点数に関して多項式時間
– 次数に関して多項式時間のアルゴリズムを求めたい
 提案手法の実行時間は、次数dに対してO(d2.5)
– マッチングに要する時間が支配的(Hopcroft-Karp)
 得られるパスの長さは、 n≧7のとき、同じ目的頂点
までの最短パスの長さよりも高々14長い
4-TG
1234
4132
2134
1432
2314
1342
3214
3142
3124
3412
1324
4312
4231
4123
長さ2のsuffixが同一である頂点をまとめる→vertical
cluster
2431
Vertical cluster全体の集合をTとする（|T|
= 2|D|） 1423
2341
1243
3241
2143
3421
2413
4321
4213
基本アイデア
• D中の頂点をT 中の
vertical clusterに単射
• TはDの2倍の要素をもつ
– 異なるsuffixの数はn(n-1)
• 各パスに別々のvertical
clusterを通過させることで
互いに素なパスを実現
First Part
(Length 1 or 2)
Second Part
Third Part
– 問題は、前後の部分をどう
うまく実現するか
– Horizontal clusterという考 異なるvertical clusterは異なる長さ2の
え方を用いる(class)
suffixをもつため、頂点を共有しない
目的頂点のクラス替え
• すべての目的頂点が異なるクラス
に属していれば、うまく接続できる
• そうでない場合は、適切な中間頂
そのような頂点集合Iを構成できるか、
点を入れて、クラスの変換を行う
• D中の多くの頂点が特定のクラスに集中しているか
中間頂点の集合をI (⊂ Vn)とする:
のいずれかが成立していることが証明できる
1) 集合Iの頂点は異なるクラスに属
している （頂点集合の構成にマッチングを使う）
2) DとIはマッチング辺たちによって
結ばれている(single hop)
3) DはソースからI中の各頂点を結
Set I
ぶパス集合と互いに素
検討課題
• 支配頂点の“自律分散的な”遷移
• 欠陥を許した支配集合間の遷移可能性
– ランダムウォーク（交換）の解析
• 許される欠陥数のどのあたりでP→NPになる
のか（Pの範囲が広がればうれしい）
• オンラインアルゴリズムとしての輻輳制御問題