Transcript ロジットモデルの効用
ロジットモデルの効用
効用の確率的部分
確定的部分と確率的部分の和
ロジットモデルの効用
ロジットモデルとは
• ロジットモデルの想定している状況
– 選択肢の数は決まっている
– 消費者は必ず選択肢から1つだけ、そして必ず1
つ選ぶ
• このときの選択肢jを選ぶ選択確率を従属変
数とし、マーケティング変数などを独立変数と
する
• 選択肢が2つの場合2項ロジットとよび3つ以
上の場合多項ロジットとよぶ
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2項ロジットモデルの定義式
• 選択肢1を選ぶ確率をp1とする。
• 選択肢1の効用をU1 とし、選択肢2の効用を
U2 とする。
• 2項ロジットモデルではp1を以下の式で定義
する。
expU1
p1
expU1 expU 2
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ロジットモデルの効用
ロジットモデルでは効用を「確定的な部分」と
「確率的な部分」から構成されると考えている。
確定的な部分を Uj
確率的な部分を εj
効用全体を
Vj
であらわす。
Vj U j j
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ノーベル賞の理由
効用の確率的部分
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効用の「確率的な部分」
○ 観測されない属性
○ 測定誤差
○ 関数の同定ミス
などによって誤差は発生
確率的な部分は完全に確率的に決まるとし
その値は第一種極値分布に従うと仮定する。
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第一種極値分布
分布関数
F exp exp
密度関数
f exp exp exp
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第一種極値分布の分布関数
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
F(ε)
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
-5.0
-4.0
-3.0
-2.0
-1.0
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
ε
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第一種極値分布の密度関数
0.4
0.4
0.3
0.3
f(ε)
0.2
0.2
0.1
0.1
0.0
-5.0
-4.0
-3.0
-2.0
-1.0
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
ε
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分布関数と密度関数の関係
F exp exp
積
分
微
分
f exp exp exp
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選択肢が選ばれるわけ
選択肢1と選択肢2から選択肢1が選ばれたのは
選択肢1の効用が選択肢2の効用を上回ったから
2つの選択肢から選択肢1を選ぶ確率は、
選択肢1の効用が選択肢2の効用を上回る確率
p1 PrV1 V2
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選択確率はロジットモデル
p1 PrV1 V2
Vj U j j
なので
PrU1 1 U 2 2
Pr 2 1 U1 U 2
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確率的部分は第1種極値分布
2 1 U1 U 2
exp 2 exp exp 2 d 2 exp 1 exp exp 1 d 1
exp 1 exp exp 1 exp exp 1 U1 U 2 d1
exp 1 exp1 exp U1 U 2 exp 1 d1
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置換積分
exp 1 exp1 exp U1 U 2 exp 1 d1
ここで
exp 1
d
d1
exp 1
d exp 1 d1
とおくと
すなわち
なので
exp1 exp U1 expU 2 d
0
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結論
1
1 exp U1 expU 2
expU1
expU1 expU 2
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効用の確率的部分の仮定がもたらすもの
expU1
p1 PrV1 V2
expU1 expU 2
確率的部分に第一種極値分布を仮定すると
2つから1つを選ぶ確率はロジットモデルになる
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