Transcript ロジットモデルの効用

ロジットモデルの効用
効用の確率的部分
確定的部分と確率的部分の和
ロジットモデルの効用
ロジットモデルとは
• ロジットモデルの想定している状況
– 選択肢の数は決まっている
– 消費者は必ず選択肢から１つだけ、そして必ず１
つ選ぶ
• このときの選択肢jを選ぶ選択確率を従属変
数とし、マーケティング変数などを独立変数と
する
• 選択肢が２つの場合２項ロジットとよび３つ以
上の場合多項ロジットとよぶ
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２項ロジットモデルの定義式
• 選択肢１を選ぶ確率をp1とする。
• 選択肢１の効用をU1 とし、選択肢２の効用を
U2 とする。
• ２項ロジットモデルではp1を以下の式で定義
する。
expU1 
p1 
expU1   expU 2 
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ロジットモデルの効用
ロジットモデルでは効用を「確定的な部分」と
「確率的な部分」から構成されると考えている。
確定的な部分を Uj
確率的な部分を εj
効用全体を
Vj
であらわす。
Vj  U j   j
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ノーベル賞の理由
効用の確率的部分
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効用の「確率的な部分」
○ 観測されない属性
○ 測定誤差
○ 関数の同定ミス
などによって誤差は発生
確率的な部分は完全に確率的に決まるとし
その値は第一種極値分布に従うと仮定する。
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第一種極値分布
分布関数
F    exp exp  
密度関数
f    exp   exp exp  
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第一種極値分布の分布関数
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
F(ε)
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
-5.0
-4.0
-3.0
-2.0
-1.0
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
ε
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第一種極値分布の密度関数
0.4
0.4
0.3
0.3
f(ε)
0.2
0.2
0.1
0.1
0.0
-5.0
-4.0
-3.0
-2.0
-1.0
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
ε
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分布関数と密度関数の関係
F    exp exp  
積
分
微
分
f    exp   exp exp  
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選択肢が選ばれるわけ
選択肢１と選択肢２から選択肢１が選ばれたのは
選択肢１の効用が選択肢２の効用を上回ったから
２つの選択肢から選択肢１を選ぶ確率は、
選択肢１の効用が選択肢２の効用を上回る確率
p1  PrV1  V2 
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選択確率はロジットモデル
p1  PrV1  V2 
Vj  U j   j
なので
 PrU1   1  U 2   2 
 Pr 2   1  U1  U 2 
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確率的部分は第1種極値分布
 2  1 U1 U 2

  
exp   2  exp  exp   2 d 2  exp   1  exp  exp   1 d 1
  



  exp 1  exp exp 1  exp exp 1  U1  U 2 d1


  exp 1 exp1  exp U1  U 2  exp 1 d1

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置換積分

  exp 1 exp1  exp U1  U 2  exp 1 d1

ここで
   exp 1 
d
d1
 exp 1 
d  exp 1 d1
とおくと
すなわち
なので
  exp1  exp U1  expU 2  d
0

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結論
1

1  exp U1  expU 2 
expU1 

expU1   expU 2 
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効用の確率的部分の仮定がもたらすもの
expU1 
p1  PrV1  V2  
expU1   expU 2 
確率的部分に第一種極値分布を仮定すると
２つから１つを選ぶ確率はロジットモデルになる
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