Transcript 第9回（6月11日）

論理回路
第９回
http://www.fit.ac.jp/~matsuki/LCB.html
今日の内容
• 前回の復習
• 論理関数の簡単化（クワイン・マクラスキー法）
論理関数の簡単化
A
B
C
D
f
A
B
C
D
f
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
0
1
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
0
0
1
1
1
1
1
0
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
f = ABCD + ABCD + ABCD + ABCD
f = AD
簡単化の手法
• 公式を利用する方法
• カルノー図による方法
• クワイン・マクラスキーの方法
カルノー図による簡単化
• 簡単化とは，
できるだけ大きなループに対応し，しかも論理関数
全体を表すのに必要にして最小数の主項を求める
こと．
簡単化１
f =ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD
+ ABCD + ABCD + ABCD + ABCD
C D
A B
0 0
0 1
0 0
1
0 1
1
1 1
1
1
1 0
1
1
1 1
1 0
1
1＊
1
主項
必須項
＊必須項に
含まれない１
BC
簡単化１
C D
A B
0 0
0 1
0 0
1
0 1
1
1 1
1
1
1 0
1
1
1 1
1 0
1
1＊
1
f =AC + CD + ACD + ABD
f =AC + CD + ACD + ABC
主項
必須項
＊必須項に
含まれない１
クワイン・マクラスキーの方法
（Quine-McClaskey）
• カルノー図 ⇒ 図を使って主項を求めた
• クワイン・マクラスキーの方法
⇒ 表を使用して隣接する最小項を求める
X + X = 1の関係によって変数を消去
クワイン・マクラスキー法
• カルノー図では，変数が増えると簡単化する
ことが極端に難しくなる
• クワイン・マクラスキー法では，変数が増えて
も簡単な繰り返し操作で簡単化できる．
クワイン・マクラスキー法１
f = ABCDEF + ABCDEF + ABCDEF + ABCDEF
+ ABCDEF + ABCDEF + ABCDEF + ABCDEF
+ ABCDEF + ABCDEF
２進数ABCDEFとして表す
f = 000000 + 000010 + 000110 + 000111
+ 001110 + 001000 + 101001 + 001100
+ 001111 + 001010 （注意）「＋」は論理和の意味
クワイン・マクラスキー法２
１の
個数
0
1
2
3
4
２進数
ABCDEF
000000
000010
001000
000110
001100
001010
000111
001110
101001
001111
１０進
表記
0
2
各最小項に含まれる１の数
8
ごとにグループ分けする
6
12
10
7
14
41
15
クワイン・マクラスキー法２
１の
個数
0
1
2
3
4
２進数
ABCDEF
000000
000010
001000
000110
001100
001010
000111
001110
101001
001111
１０数
表記
0
2
8
6
12
10
7
14
41
15
隣接するグループ
内の各項を比較
クワイン・マクラスキー法２
１の
個数
２進数
ABCDEF
１０数
表記
0
1
000000
000010
001000
0
2
8
第１回の比較
0, 2 (2)
0, 8 (8)
E
C
（）内の数字は，差
隣接するグループ内の各項を比較し，数字間の大きさ
が２のべき乗だけ異なる組を取り出す
ポイント１：
各項で１つだけ０，１の違いがある項の組み合わせを探す
クワイン・マクラスキー法２
１の
個数
0
1
2
3
4
２進数
ABCDEF
000000
000010
001000
000110
001100
001010
000111
001110
101001
001111
１０数
表記
0
2
8
6
12
10
7
14
41
15
隣接するグループ
内の各項を比較
クワイン・マクラスキー法２
１の
個数
1
2
１０数
表記
２進数
ABCDEF
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
0
0
0
0
2
8
6
12
10
第１回の比較
2, 6 (4)
2, 10 (8)
8,12 (4)
8,10 (2)
D
C
D
E
ポイント２：
８と６の比較はしなくてよい
（1か所の1しか違わない組み合わせを探すため）
クワイン・マクラスキー法２
１の
個数
0
1
2
3
4
２進数
ABCDEF
000000
000010
001000
000110
001100
001010
000111
001110
101001
001111
１０数
表記
0
2
8
6
12
10
7
14
41
15
隣接するグループ
内の各項を比較
クワイン・マクラスキー法２
１の
個数
2
3
２進数
ABCDEF
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
0
1
0
1
1
1
0
10進
表記
0
0
0
1
0
1
6
12
10
7
14
＊
41
第１回の比較
6, 7(1)
6, 14 (8)
12,14 (2)
10,14 (4)
F
C
E
D
４１は，組みになる項
がなかった
ポイント３：
組み合わせがない項には「＊」をつけておく
クワイン・マクラスキー法２
１の
個数
0
1
2
3
4
２進数
ABCDEF
000000
000010
001000
000110
001100
001010
000111
001110
101001
001111
１０数
表記
0
2
8
6
12
10
7
14
41
15
隣接するグループ
内の各項を比較
クワイン・マクラスキー法２
１の
個数
3
4
２進数
10進
ABCDEF 表記
000111
7
0 0 1 1 1 0 14
1 0 1 0 0 1 41
0 0 1 1 1 1 15
第１回の比較
7, 15 (8)
14, 15 (1)
C
F
クワイン・マクラスキー法２
１の
個数
0
1
2
3
4
２進数
ABCDEF
000000
000010
001000
000110
001100
001010
000111
001110
101001
001111
１０数
表記
0
2
8
6
12
10
7
14
41*
15
第１回の比較
0, 2 (2)
0, 8 (8)
2, 6 (4)
2, 10 (8)
8, 12 (4)
8, 10 (2)
6, 7 (1)
6, 14 (8)
10, 14 (4)
12, 14 (2)
7, 15 (8)
14, 15 (1)
クワイン・マクラスキー法３
第１回の比較
0, 2 (2)
0, 8 (8)
2, 6 (4)
2, 10 (8)
8, 12 (4)
8, 10 (2)
6, 7 (1)
6, 14 (8)
10, 14 (4)
12, 14 (2)
7, 15 (8)
14, 15 (1)
隣接するグループ
内の各項を比較
クワイン・マクラスキー法３
第１回の比較
0, 2 (2)
0, 8 (8)
2, 6 (4)
2, 10 (8)
8, 12 (4)
8, 10 (2)
第２回の比較
0, 2, 8, 10 (2, 8)
0, 8, 2, 10 (8, 2)
8, 10
-) 0, 2
8, 8
同じもの
= 23
ポイント４：
隣接するグループ間で，（）内が同じ組みを選び，
２のべき乗の差があるものを選定する
クワイン・マクラスキー法２
第１回の比較
0, 2 (2)
0, 8 (8)
2, 6 (4)
2, 10 (8)
8, 12 (4)
8, 10 (2)
6, 7 (1)
6, 14 (8)
10, 14 (4)
12, 14 (2)
7, 15 (8)
14, 15 (1)
隣接するグループ
内の各項を比較
クワイン・マクラスキー法２
第１回の比較
2, 6 (4)
2, 10 (8)
8, 12 (4)
8, 10 (2)
6, 7 (1)
6, 14 (8)
10, 14 (4)
12, 14 (2)
第２回の比較
2, 6, 10, 14 (4, 8)
8, 12, 10, 14 (4, 2)
10, 14
-) 2, 6
8, 8
= 23
クワイン・マクラスキー法２
第１回の比較
0, 2 (2)
0, 8 (8)
2, 6 (4)
2, 10 (8)
8, 12 (4)
8, 10 (2)
6, 7 (1)
6, 14 (8)
10, 14 (4)
12, 14 (2)
7, 15 (8)
14, 15 (1)
隣接するグループ
内の各項を比較
クワイン・マクラスキー法２
第１回の比較
6, 7 (1)
6, 14 (8)
10, 14 (4)
12, 14 (2)
7, 15 (8)
14, 15 (1)
第２回の比較
6, 7, 14, 15 (1, 8)
14, 15
-) 6, 7
8, 8
= 23
クワイン・マクラスキー法２
第１回の比較
0, 2 (2)
0, 8 (8)
2, 6 (4)
2, 10 (8)
8, 12 (4)
8, 10 (2)
6, 7 (1)
6, 14 (8)
第２回の比較
0, 2, 8, 10 (2, 8)＊
2, 6, 10, 14 (4, 8) ＊
8, 12, 10, 14 (4, 2) ＊
6, 7, 14, 15 (1, 8) ＊
10, 14 (4)
12, 14 (2)
7, 15 (8)
14, 15 (1)
ポイント５：
（）内が同じ組がない⇒終了
主項の選択表
0
2
6
7
8
10 12 14 15 41
41
0, 2, 8, 10
2, 6, 10, 14
8, 12, 10, 14
6, 7, 14, 15
ポイント６：
横軸：すべての最小項
縦軸：＊印をつけた主項
主項の選択表
0
41
0, 2, 8, 10
2, 6, 10, 14
8, 12, 10, 14
6, 7, 14, 15
2
6
× ×
7
8
10 12 14 15 41
×
× ×
× ×
×
×
× × × ×
× ×
× ×
ポイント７：縦軸の各組み合わせに対して，そ
の組み合わせを含む欄に×を付ける
主項の選択表
0
41
0, 2, 8, 10
2, 6, 10, 14
8, 12, 10, 14
6, 7, 14, 15
2
6
× ×
7
8
10 12 14 15 41
×
× ×
× ×
×
×
× × × ×
× ×
× ×
ポイント８：必須項を見つける
最小項に対応する列に×を１つしか含まない場合
（赤○），それに対応する主項は必須項（赤□）となる
主項の選択表
0
41
0, 2, 8, 10
2, 6, 10, 14
8, 12, 10, 14
6, 7, 14, 15
2
6
× ×
7
8
10 12 14 15 41
×
× ×
× ×
×
×
× × × ×
× ×
× ×
ポイント９：すべての最小項を含むようなもっとも簡単
な主項の組み合わせを求める
今回の例では，４つの必須項だけで
すべての最小項を含んでいた
主項の変換
• 41 ⇒ 1 0 1 0 0 1 ⇒ A B C D E F
ABCDEF
E
• 0, 2, 8, 10 (2, 8) ⇒
C
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
⇒ ABDF
CとEの変数は消去したという意味
ポイント１０：｛｝の中は，どの数字で消去しても同じ
主項
ABCDEF
• 8, 12, 10, 14 (4, 2)⇒
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
0
1
0
1
00
00
10
10
⇒ ABCF
ABCDEF
• 6, 7, 14, 15 (1, 8)⇒
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
10
11
10
11
⇒ ABDE
簡単化した論理関数
f=ABCDEF+ABDF+ABCF+ABDE
注意事項
• 講義に関する質問・課題提出など：
[email protected]
• メールについて
件名は，学籍番号＋半角スペース＋氏名
（例）S09F2099 松木裕二
本文にも短いカバーレター（説明）をつける
課題はWordなどで作り，添付ファイルとして送る