Transcript 説明資料1 (Powerpoint) - 堀山研究室

情報工学総合演習
D-I : 近似アルゴリズム
埼玉大学 理工学研究科
山田 敏規、 橋口 博樹、
堀山 貴史
1
この課題で学ぶこと

問題のモデル化
 重み付き集合被覆問題
(最適解を求めるのは、NP困難な問題)

集合被覆問題の近似解法
 グリーディ法による近似
 LP 緩和による近似

近似解法の評価
2
問題のモデル化
3
軌道探査の問題例




探査対象は、
13個の
惑星/小惑星
探査軌道は
軌道 1
～ 軌道 47
各軌道には、
探査費用が
かかる
探査対象
すべてを、
費用最小で
探査したい
惑星の写真: Courtesy NASA/JPL-Caltech
http://photojournal.jpl.nasa.gov/jpegMod/PIA06890_modest.jpg より
4
重み付き集合被覆問題
軌道 1 : S1 = { e3, e4, e5, e6 }
探査コスト : c(S1) = 90
S1 90
e1
e2
e9
e8
e3
e4
e5
e7
e6
入力 : 探査対象の集合 U = { e1, e2, …, e9 }
探査軌道の集合 S = { S1, S2, …, S8 }
コスト関数
c: S → Q+ (正の有理数)
5
重み付き集合被覆問題
S7 100
S1 90
23
S3
e1
軌道 1 : S1 = { e3, e4, e5, e6 }
探査コスト : c(S1) = 90
e2
S4 30
e3
e4
e5
e7
S2 34
e9
S8
e8
2
S5
20
e6
S6 98
入力 : 探査対象の集合 U = { e1, e2, …, e9 }
探査軌道の集合 S = { S1, S2, …, S8 }
コスト関数
c: S → Q+ (正の有理数)
6
重み付き集合被覆問題
S7 100
S3
e1
S1 90
23
e2
S4 30
e3
e4
e5
e7
S2 34
e9
S8
e8
2
S5
20
e6
S6 98
出力 : カバー C で、総コスト ΣS ∊ C c(Si) が最小となるもの
i
∪S ∊ C Si = U となるもの
i
7
課題

課題 1


遊園地の問題例を、重み付き集合被覆問題として
モデル化する。重み付き集合被覆問題の
U や S, S1, S2, … および c がそれぞれ
何に対応するか説明しなさい。
課題 2


食玩集めの問題例を、辺被覆問題としてモデル化する。
辺被覆問題の頂点 v (∊ V) および e (∊ E) がそれぞれ
何に対応するか説明しなさい。
例 1 にならって、辺被覆問題の問題例を 1 つ作りなさい。
8
グリーディー法による近似
9
グリーディー法による近似
S7 100
S3
e1
S1 90
23
e2
S4 30
e3
e4
e5
e7
S2 34
e9
S8
e8
2
S5
20
e6
S6 98
アイデア: 探査対象 1 つあたりのコストが
最小の軌道から、 C に加えていく
10
作業

作業 1




グリーディー法による近似アルゴリズムを実装しなさい。
問題例のフォーマットは自分で考え、その仕様を
レポートに記載すること。
プログラムは、出力として、
解 (カバー C として選択したすべての Si の添字 i ) と
その時のコストを表示すること。
作業 2


資料 p. 117, 118 の問題例を、作業 1 で実装した
プログラムの入力フォーマットに従って
ファイルに記述しなさい。
また、作業 1 で実装したプログラムでのそれぞれの
実行結果を示しなさい。
11
実装のヒント


実装に用いるプログラミング言語は、問わない
C 言語で文字列を数値に変換するには…
 # include <stdlib.h>
 関数 atoi ( ) や strtol ( ) が使える
12
L P 緩和による近似
13

0-1 整数計画問題
1 … 採用する
目的関数
0 … 採用しない


m
minimize Σ i = 1 c(Si) ・ xi
採用した軌道の
コストの総和
制約条件


Σe を要素に持つS xi ≧ 1 (j = 1, 2, …, n)
j
i
xi ∊ { 0, 1 }
( i = 1, 2, …, m)
ej を通る軌道を
少なくとも 1 つ採用
14
LP : Linear Programming

線形計画問題への緩和
1 … 採用する
目的関数
0 … 採用しない


m
minimize Σ i = 1 c(Si) ・ xi
採用した軌道の
コストの総和
制約条件

Σe を要素に持つS xi ≧ 1 ( j = 1, 2, …, n)
j
i

xi ∊ { 0, 1 }

0 ≦ xi ≦ 1
( i = 1, 2, …, m)
ej を通る軌道を
少なくとも 1 つ採用
LP ソルバーで、この問題を解く
* は 実数解
→ 最適解 x*1, x*2, …, xm
15
LP 緩和による近似



LP 緩和した線形計画問題を解き、
* , …, x * を得る
実数最適解 x*1, x2
m
fj … ej を要素に持つ集合 Si の個数
f … その最大値
x *i ≧ 1/f なら 1 に丸め、
そうでないなら 0 に丸める ( i = 1, 2, …, m)
16
作業・課題

作業 3



作業 4


LP 緩和による近似アルゴリズムを実装しなさい。
また、作業 2 の問題例について、それぞれの
実行結果を示しなさい。
作業 2 の問題例それぞれに対して、グリーディー法
および LP 緩和による近似アルゴリズムの
近似率と計算時間を比較し、考察を述べなさい。
発展課題 1

重み付き集合被覆問題の問題例を、
ランダムに生成したり、自分で設計するなどして作成し、
n や m の増加にしたがって近似率や計算時間が
どのように変化するか考察しなさい。
17
実装のヒント
1.
LP 緩和による近似アルゴリズムの動作を把握する。
2.
資料 p. 121 ～ 123 をもとに、GLPK パッケージの
サンプル プログラムをコンパイルして動作させる。
3.
問題例 1 つを対象に、LP 緩和した問題を手で書く。
4.
2 をもとに、3 の問題を解くプログラムを作る。
(実数最適解を得たら、f を計算し、1, 0 に丸める。)
5.
問題例をファイルから読んで、
LP 緩和した問題を作るようにプログラムを改良する。
18
19
この教材のご利用について




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
配布場所

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
このファイルの著作者

堀山 貴史 2009-2011 [email protected]

改変等を加えられた場合は、お名前等を追加してください
図の著作者

p. 4 惑星の写真
 NASA Jet Propulsion Laboratory
California Institute of Technology

その他
 堀山 貴史

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