卒研発表

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3次元Nクイーン問題の
解の存在の検証
07-1-037-0106
前波 大貴
情報論理工学研究室
目次







研究背景
3次元Nクイーン問題の定義
問題提起
研究内容
実行結果
結論
今後の課題
研究背景

Nクイーン問題:
サイズN×Nのチェス盤にN個のクイーンを互いの
移動範囲を妨げないように配置する問題である。
(N≧4)

N=26まで解が判明している。
Nクイーン問題
N=8のクイーンの
移動範囲
8方向


×
×
×
×
y
×
×
×
×
Q
×
×
×
×
×
×
Q
Q
×
×
×
x
(0,0)
×
×
×
×

x
(0,0)
N=8の問題の解
クイーン8個

Q
×
×
Q
×
Q
Q
×
Q
×
×
(7,7)
y
Q
(7,7)
Nクイーン問題の解

Nクイーン問題の解:N個(N≧4)
3次元Nクイーン問題の解

クイーンの最大配置可能数m(m≦N2)
理論上N≧11の場合、m=N2
解が不明

実際に解の検証を行う


3次元Nクイーン問題




Nクイーン問題を3次元に拡張した問題
立体のチェス盤上に、26方向に直進できるクイーンを用
いる
お互いの移動範囲を侵略しないように配置
解は存在する最大個数のクイーンを配置した配置パ
ターンとその配置個数
3次元クイーンの移動範囲

N=5のチェス盤の中心
(2,2,2)のクイーンの移動
範囲座標
(0,0,0)
×

クイーンの移動範囲のベ
クトルのイメージ図
x
×
×
×
×
×
y ×
×
z=0
×
×
× × ×
× × ×
× × ×
z=1
× × ×
× × ×
× × ×
×
×
×
×
×
(0,0,0)
×
× × ×
× × Q × ×
× × ×
×
×
×
z=2
×
(4,0,0)
(0,4,0)
Q
(4,0,4)
(0,4,4)
×
z=3
×
×
z=4
×
(4,4,4)
(4,4,4)
使用するアルゴリズム

バックトラック法:
一つの探索手順を辿 (0,0,0)
り、解が求められない
Q
と判明した時点で一つ
前の状態に戻って別
の手順を試す方法

(0,0,0)からx方向、y
方向、z方向に探索

設置可能なマスにク
イーンを配置

最大個数を記録

最後に置いた駒を除く

探索順による次のマ
スから探索開始
x
Q
Q
Q
Q
Q
y
Q
Q
z=0
z=1
z=2
Q
Q
Q
Q Q
Q
z=3
z=4
(4,4,4)
実行結果

N=5までしか探索が行えず、十分な解の検証が行えな
かった。
N
4
5

m
7
13
原因:
膨大な探索時間
予期せぬ実行中の中断
探索時間
2秒
3300秒
問題提起


発生した問題:
膨大な探索時間
予期せぬ実行中の中断
問題の対策:
探索時間の短縮
探索途中のデータの記録と再生
研究内容

発生した問題の対策

探索途中のデータの記録と再生:
プログラムに機能として組み込む

探索時間の短縮:
枝切り:
設置個数から判定した探索手順の省略
クイーンの初期配置の限定
探索手順の省略



現在のクイーンの
最大配置可能個
数t
13
探索中に配置され
ているクイーンの
個数q
11
探索予定の空きマ
スの数e
1
t-q≦e


現在の探索手順
に過去のクイーン
配置最大数を超え
ない
現在の探索を省
略、次の探索へ
(0,0,0)
Q
x
Q
Q
Q
Q
Q
y
Q
Q
z=0
z=1
z=2
Q
Q
Q
Q
Q
z=3
z=4
(4,4,4)
クイーンの初期配置の限定



クイーンの初期配置を少なくする
初期配置からの長い探索手順が大幅に短縮される
探索時間の短縮
クイーンの初期配置の限定


チェス盤の中心から
対称となる位置を省
略
N=5のチェス盤の中
心の座標(2,2,2)から
の対称となる位置
x
(0,0,0)
0 1 2 1 0 1 3 4 3 1
2 4 5 4 2
1
2
1
y 0
4
5
4
2
3
4
3
1
4
5
4
2
z=0
3
4
3
1
1
2
1
0
3
4
3
1
6
7
6
3
7
8
7
4
z=1
6
7
6
3
3
4
3
1
7
8
7
4
8 7
9 8
8 7
5 4
z=2
1 3 4 3 1
0 1 2 1 0
3
4
3
1
1
2
1
0
6
7
6
3
7 6
8 7
7 6
4 3
z=3
3
4
3
1
3
4
3
1
4 3
5 4
4 3
2 1
z=4
1
2
1
0
4
5
4
2
(4,4,4)
クイーンの初期配置の限定

(0,0,0)からの探索手順で十分に探索できる初期配置を
決める
125
(0,0,0)
Q Q Q
10
x
Q Q
Q
Q Q
Q
z=0
z=1
Q
y
z=3
z=2
z=4
(4,4,4)
対策後の実行結果

結果:
N=6の探索完了
N=5の探索時間の短縮
前回のNのサイズからの指数的な探索時間の増加量
N
4
5
6
m
7
13
21
探索時間
1秒
224秒
300時間以上
結論


N=5の探索時間の短縮が成功したが、十分な解の検証
が行えなかった
新たな問題:
前回のサイズからの指数的に増える探索時間の莫大な
増加量
今後の課題



N≧7の探索
新たな問題:
指数的な探索時間の増加量の十分な改善が必要
今後の課題:
新たな探索方法での探索
高速計算に適した実行環境
参考文献






柴田望洋:明解Javaによるアルゴリズムとデータ構造,
pp.168—179, (2007).
吉瀬謙二,「N-queens Homepage in Japanese 」: 電気通信大学,
2004,
http://www.arch.cs.titech.ac.jp/~kise/nq/index.htm
岡田章三:m次元nクイーン問題, 岐阜高専紀要 第37号,
pp.13—16, (2002).
岡田章三:m次元nクイーン問題に関する計算例と予測,岐阜
高専紀要 第38号,pp11-14, (2003).
岡田章三:m次元nクイーン問題に関する研究,岐阜高専紀要
第39号,pp7-9, (2004).
岡田章三:m次元nクイーン問題に関する報告,岐阜高専紀要
第40号,pp1-3, (2005).
終わりに
 御静聴頂き
ありがとうございます。

本研究を完成するにあたって、御指導下さった石水
隆先生と支援を受けた情報論理工学研究室の皆様
に対して深く感謝を申し上げます。