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富山大学知能情報工学科
「統計学」第８回
ホーエル『初等統計学』
第６章 標本抽出
高 尚策 （コウ ショウサク） 准教授
Email: [email protected]
1
前回の復習
• 代表的な２つの確率分布の導入
 ２項分布（離散型）
 （実践）エクセルを利用した
２項分布の確率計算
 正規分布（連続型）
 （実践）エクセルで正規分布のグ
ラフの書き方
• ２項分布の正規近似
2
前回の演習問題の答え
• 課題：
正規分布の分散（標準偏差）でなく，平均を変えると，確率
密度関数のグラフはどのように変化するだろうか？ エクセルで
実験してみよう．
N(0,1)
N(-1,1)
N(-1.5,1)
変化： 平行移動
N(1,1)
N(1.5,1)
3
１．序説
• 第２章：データの整理
– 標本の話
• 第４章と第５章：確率分布
– 母集団の話
• 第６章から第９章：標本と母集団の関係
– 統計量（statistic）に基づいた，母集団に関する統
計的推論．
– 統計量：標本から計算される値のこと．平均，分
散，割合，t 統計量など
4
標本抽出
• 確率分布（母集団）が未知のとき，データをい
くらでも集めることができるのならば，確率分
布はわかるかもしれない．
– 例：ヒストグラムの極限としての正規分布
• しかし，実際には，比較的少数のデータから
確率分布について推論するしかない．すなわ
ち，標本抽出（sampling）を行って，母集団に
関する推測を行う．
– 母集団の特性値（平均や分散）を知ることが目的
5
• 「標本抽出がスープの味見である」という比喩
は，ちょっと不適切なところがある．標本抽出
では，「スープをかき混ぜて味を均一にする」
ことはできない．
– 得られる測定値は個人ごとに異なる．
• 均一でない全体から，どうやって適切な標本
を抽出するか？
6
２．無作為抽出
• 標本（sample）：母集団に関する推測を行うた
めの，母集団の一部
• 無作為抽出（random sampling）：大きさ r の
標本において，母集団を構成する個体のど
の r 個の組み合わせも，標本に選ばれる確
率が同じになる標本抽出法（テキストp.122）
どの個体が標本に選ばれるか（どのような測定
値が出現するか）は，純粋に運のみで決まる
→ 確率的な議論が可能になる
7
• 標本は母集団の一部だから，母集団に関す
る推測には誤差（標本誤差）が入り込む．
– 例えば，表の出る確率が本当は ½ であるコイン
を100回投げて，表が60回出たとする．
– このことから，「このコインの表の出る確率は0.6
である」と推測したならば，ここには 0.1 の誤差が
生じたことになる．
– しかし，こうした完全に偶然によって生じる誤差は，
その大きさを評価できる．
8
• 無作為抽出の利点は，標本誤差を評価でき
ることである．
– 母集団に関する推測を行うとき，その精度を示す
ことができる．
• 無作為抽出を適切に実行すれば，精度の高
い推定を行うことができる．
– 母集団の特性値に関して，標本からの推定値が
真値と大きく異なる確率を，十分過ぎるほどに小
さくできる．
9
単純無作為抽出
• 単純無作為抽出（simple random sampling）：
母集団を構成する個体すべてが掲載された
台帳から，乱数を用いて標本を抽出する．
– 個体すべてに番号をつける．
– 十分な桁数の乱数（例：母集団が８万人台なら５
桁：0～99,999）を用意する．
– 必要な標本の大きさに達するまで，乱数と一致し
た番号の個体を標本に含める．
10
その他の無作為抽出法
• 単純無作為抽出は，母集団が大きい場合には実施
が難しい．実際の調査では他の方法が用いられる．
– 系統抽出法（systematic sampling）：個体を１列に
並べ，最初の個体を決めた後，等間隔に個体を
選ぶ（章末問題２）．
– ２段抽出法（two-stage sampling）：標本抽出を２
段階に分ける．例えば，中学生が母集団であると
き，最初に中学校を選び，選ばれた中学校の中
から生徒を選ぶ（章末問題７）．
参考：豊田秀樹『調査法講義』（朝倉書店）
11
現実的な問題
• 現実的には，無作為に選んだ個体すべてか
らデータが得られるとは限らない．（章末問題
５）
– すべての人が調査に協力することはない． （例：
政治に関する調査で，政治に興味のない人は協
力しない可能性が高い）
– 結果として残った人は，すでに無作為標本ではな
く，なんらかの偏りがあるかもしれない（例：特定
の団体が行う調査では，その団体に対して一定
以上の好意がある人だけが残る）
12
有意抽出法
• 無作為抽出法でない標本抽出法を，有意抽
出法（purposive selection）と呼ぶ．
• 有意抽出法は，標本誤差の大きさを評価でき
ない．
– 評価はできないが，無作為抽出よりも誤差は大き
いと考えてよい．
• 有意抽出の利点は，無作為抽出よりも少ない
手間と費用で実施できること．
13
• 有意抽出法の例：
– 紹介法：知人，同僚，友人など，調査に協力してく
れそうな人を標本とする．
– 応募法：愛読者カードや募集に応じたモニターな
ど，自発的に応募してきた人を標本とする．（章
末問題４）
– 出口調査：選挙当日に投票所から出てきた有権
者に，どの政党（あるいは候補者）に投票したか
をたずねる．
14
母数の推定
• 母数（parameter）：母集団の確率分布を特徴づける
特性値．
– 正規分布における平均μと分散σ２
– ２項分布における試行数ｎと成功確率ｐ
• 母数を推定する方法は？
– 点推定（point estimate）：標本から計算される統計量を推
定値とする（標本平均は母集団平均の推定値）
統計値(統計量)：
標本の特徴を表わす数値（データから算出可能）
 ｘ （標本平均）や s2 (標本分散)など
– 区間推定（interval estimate）
→ 推定方法は第７章で詳しく論じる
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３．不偏推定値
• 点推定を行うときの，「よい」推定値とは？
– この基準はいくつかある（『よくわかる統計学 I 基礎編』pp.95-99 参照）．
統計入門では不偏性（unbiasedness）のみとりあげる．
• 不偏推定値（unbiased estimate）：大きさ n の標本をとってきて統
計量（例：標本平均）を計算することを何度も繰り返したとき，そ
の期待値（例：平均値の期待値）が母数（例：母集団平均）に一
致する推定値．
標本（経験分布）
母集団平均：μ
母集団分散：σ２
無作為
抽出
標本平均：ｘ
標本分散：s2
母集団（確率分布）
16
母数と不偏統計値の関係
• 標本平均ｘ は、母集団平均μの不偏推定値である．
• 標本分散ｓ２ （偏差平方和を n – 1 で割る）は，母集団分散σ２
の不偏推定値である．
μ と ｘ の関係
σ２ と ｓ２ の関係
を調べてみよう。
定理１：
定理２：
定理３：
定理４：
E(ｘ)=μ
V(ｘ) = σ2/n
E(s2)=σ2
E(s) ≠ σ
17
• 定理１： 標本平均ｘは母集団平均μの不偏推
定値である．
つまり、E(ｘ)=μ
E[x ]=μ について
i
証明： E[ X ]  E[
1
1
X i ]  E[ X i ]

n
n
テキストp.79 式(1)
テキストp.82 式(4)
1
 E[( X 1  X 2    X n )]
n
和の期待値は
期待値の和
1
 ( E[ X 1 ]  E[ X 2 ]    E[ X n ])
n
1
 (       )
母集団分布に
n
よらない

18
• 定理２： 標本平均ｘの分散は，母集団分散σ２
の１/nである．
つまり、V(ｘ) = σ2/n
証明：
1
1
V [ X ]  V [  X i ]  2 V [ X i ]
n
n
無作為抽出な
1
 2 V [( X 1  X 2    X n )]
ので
n
各 Xi は独立
1
 2 (V [ X 1 ]  V [ X 2 ]    V [ X n ])
n
1
 2 ( 2   2     2 )
n
母集団分布に
1 2
 
よらない
19
n
定理３： 標本分散ｓ２ は，母集団分散σ２の不偏推
定値である．
つまり、E(s2)=σ2
証明：
標本分散の期待値の証明
白旗慎吾（2008）統計学 ミネルヴァ書房．p.141より
任意の確率変数Y に関して ,
V [Y ]  E[Y ]  {E[Y ]}
2
2
 E[Y ]  V [Y ]  {E[Y ]}
2
2
X i および X は確率変数なので，
E[ X i ]  V [ X i ]  {E[ X i ]}2   2   2
2
E[ X ]  V [ X ]  {E[ X ]} 
2
2

2
n

2
20
平均からの偏差平方和を測定の数 n で割った
分散を U2，不偏分散を S2 とすると
1
2
E[U ]  E[  X i  X 2 ]
n
1
2
2
 E[ X 1    X n ]  E[ X 2 ]
n
2
1

  n  ( 2   2 )  (   2 )
n
n
n 1 2


n
n
2
 E[ S ]  E[
U 2]   2
n 1
2
21
点推定の精度（安定性）
• 推定値（例えば，標本平均）の期待値が母数
（例えば，母集団平均）に一致するとしても，
推定値の分散（注意：標本分散ではない）が
あまり大きいのは困る．
– 通常は，標本を１回だけとって推定値を計算する
ので，それが真の値から大きく外れては困る．
– 何度も標本をとって推定値の計算を繰り返したと
き，母数のまわりの狭い範囲で変動してほしい．
• 標本の大きさを大きくすると精度が上がる．
22
４．正規母集団での標本平均ｘの分布
定理５（テキストp.128）： 確率変数 X が平均 μ，
分散 σ２ の正規分布に従うならば，大きさ n
の無作為標本に基づく標本平均は，
平均 ：
分散：

1 2

n
の正規分布に従う．
この平均と分散に関してのみ
証明した．正規分布になる
ことの証明は省略（「積率母関数」
というものを使って，正規分布の
「再生性」を証明するので，入門
レベルを超える）
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標本平均ｘの分布の応用
• 定理５より，母集団分布が正規分布なら，標本平均の分布も
正規分布なので，標準正規分布を利用して様々な問題を解
くことができる．
標本（経験分布）
無作為
抽出
母集団平均：μ
母集団分散：σ２
標本平均：ｘ
標本分散：s2
母集団（確率分布）
σ2
 定理５：𝑥 ~ N（μ, ）
問題解決

𝑥−μ
標準化：
𝜎/ 𝑛
𝑛
~ N（0,1）
24
• 例：ｘを成人男子の母集団から無作為に選んだ１人の身長と
する．ｘは平均μ=68インチ,標準偏差σ＝３インチの正規分布
に従うと仮定する．この分布のグラフは下の図に示してある．
過去の経験データから,これらの仮定は全く無理のないもの
であることがわかっている．その上で問題, この母集団から大き
さ n=25 の無作為標本がとられるとき,標本平均ｘが母集団平
均μと高々１インチしか違わない確率はいくらか．
答え：
μ＝６８、 σ＝３、ｎ＝２５
σ２
定理５：𝑥 ~ N（μ, ）
𝑛
つまり、 ｘは平均68,標準偏差
𝜎
𝑛
= 0.6の正規分布に従う．
25
答え：
そして、ｘが区間（67,69）内に落ちる確率を求めるために、標準化公
式およびテキストP.295の表IVを利用する．
𝑥−μ
標準化：𝑧 =
~ N（0,1）
𝜎/ 𝑛
𝑃 67 ≤ 𝑥 ≤ 69
表IV：標準正規分布の面積
67 − 𝜇 𝑥 − 𝜇 69 − 𝜇
=𝑃
𝜎 ≤ 𝜎 ≤ 𝜎
𝑛
𝑛
𝑛
5
5
=𝑃 − ≤𝑧≤
3
3
= 2 × 𝑃 0 ≤ 𝑧 ≤ 1.67
= 2 × 𝑃 0 ≤ 𝑧 ≤ 1.67
= 2 × 𝑃 0 ≤ 𝑧 ≤ 1.67 = 2 × 0.4525 ≈ 0.9
26
５．非正規母集団での標本平均の分布
• 母集団分布が正規分布でなかったら？
– n が大きければ，定理１と同様の定理が成立する．
中心極限定理（central limit theorem）： 確率
変数 X が平均 μ，分散 σ２ のある分布に従う
ならば，大きさ n の無作為標本に基づく標本
平均は，n が無限に大きくなるとき，
平均 ：
分散：

1 2

n
の正規分布に従う．
母集団分布は
なんでもよい！
27
中心極限定理
• 中心極限定理の証明は非常に難しい．
• 証明の代わりにシミュレーションをしてみる．
章末問題21を使う(prob6_21.xlsx)．
– 母集団分布は０から９までが等確率で現れる，離
散型の一様分布（uniform distribution）
– VBAを利用したprob6_21.xlsmを利用すると，任意
の標本の大きさ，任意の標本抽出回数でシミュ
レーションできる．
（授業のホームページからprob6_21.xlsx と VBA prob6_21.xlsmをダウンロードで
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きる, 各自で確認してください）
• 章末問題21
1桁の乱数を10個とり,その標本平均を計算することを10回繰り
返す．これら10個の標本平均を分類してヒストグラムをつくり,その
平均と標準偏差を求めよ．次に、これらの値を理論値と比較せよ．
（補足）母集団分布は０から９までが等確率で現れる，離散型
の一様分布の平均と標準偏差はμ＝4.5、 σ＝2.87である．
𝜇 = 𝐸(𝑋) =
𝑥𝑃 𝑋 = 𝑥 = 0 × 0.1 + ⋯ + 9 × 0.1 = 4.5
𝜎2 = 𝑉 𝑋 = 𝐸 𝑋2 − 𝐸 𝑋
=
2
𝑥 2 𝑃 𝑋 = 𝑥 − 4.52
= 02 × 0.1 + ⋯ + 92 × 0.1 − 4.52 = 8.25
∴
σ＝2.87
29
標本数n=10, 標本抽出回数t=10のとき
Excel prob6_21.xlsxによる実験
30
標本数n=20, 標本抽出回数t=50のとき
Excel prob6_21.xlsxによる実験
31
標本数n=1000, 標本抽出回数t=100のとき
Excel VBA prob6_21.xlsmによる実験
考察： 標本数を多くすると、得られたヒストグラムは正規分布に近づく
32
注意点
• 実は、標本の大きさは「無限」でなくても，数十
でたいていうまくいく．
例（テキストp.133例題２）：
ある大学の受験生の母集団から無作為に選んだ1人の
受験生の評定平均をXとし,Xの分布は平均2.5,標準偏差
0.4であるとする．この母集団から36人の受験生の標本を
とり𝑥の値を求めるとき, 𝑥が区間（2.4,2.7）に落ちる確率を
求めよ．
33
例：ある大学の受験生の母集団から無作為に選んだ1人の受験生
の評定平均をXとし,Xの分布は平均2.5,標準偏差0.4であるとする．
この母集団から36人の受験生の標本をとり𝑥の値を求めるとき, 𝑥
が区間（2.4,2.7）に落ちる確率を求めよ．
答え：
よって、
評定平均Xは正規分布をしなくても,大きさ36の標本は十分
大きいから,中心極限定理が使える．
𝑥は平均μ＝2.5,標準偏差𝜎 =
標準化𝒁 =
0.4
36
= 0.067の正規分布に従う
𝑿−𝝁
𝝈
従って、P｛2.4＜𝑥＜2.7｝=P{-1.5<z<3.0}=P{0<z<1.5} + P{0<z<3.0}
=0.4332+0.4987 = 0.93
34
補足：ド・モアブルーラプラスの定理
• 第５章で学習した２項分布の正規近似は，中
心極限定理の特別な場合．
 n 回のベルヌーイ試行での成功回数 X は，n
が大きいとき，平均 np，分散 npq の正規分布に
従う．
• 歴史的には，２項分布の場合に発見されたこ
の性質が，中心極限定理の起源．ド・モアブ
ル―ラプラスの定理（De Moivre-Laplace’s
theorem）と呼ばれる．（18世紀）
35
ド・モアブルーラプラスの定理
• １回目のベルヌーイ試行（成功確率 p）での，
「成功」回数を表す確率変数 X1
• 母集団の確率分布：P{X1=1} = p, P{X1=0} = q
• この確率分布の平均（期待値）
E[ X1 ]  1 p  0  q  p
• 分散
V [ X 1 ]  E[ X 1 ]  {E[ X 1 ]}
2
2
 1  p  0  q  p  p(1  P)  pq
2
2
2
36
ド・モアブルーラプラスの定理
• 大きさ n の無作為標本は， n 回のベルヌーイ
試行を意味する．このときの成功回数 X
X  X1  X 2   X n
• 大きさ n の無作為標本における標本平均は，
成功割合 X /n である．
• n が大きいとき， X /n は，平均 p，分散 pq/n
の正規分布に従う．（中心極限定理）
– 成功回数（成功割合の n 倍）は，平均 np，分散
npq の正規分布に従う．
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まとめ
単純無作為抽出
無作為抽出
標本抽出
系統抽出法
2段抽出法
有意抽出法
紹介法、応募法、出口調査など
• 不偏推定値
– 標本平均ｘ は、母集団平均μの不偏推定値である．
– 標本分散ｓ２ （偏差平方和を n – 1 で割る）は，母集団分散σ２
の不偏推定値である．
– 性質： E(ｘ)=μ
V(ｘ) = σ2/n
E(s2)=σ2 E(s) ≠ σ
• 中心極限定理
確率変数 X： E[X]=𝜇, V[X]=σ2
大きさ n の無作為標本に基づく標本平均
𝜎2
𝑥~𝑁(𝜇, )
𝑛
38
演習問題
• 問題１（章末問題9）：
ｘは平均20,標準偏差4の正規分布に従うと仮定して,大きさ
64の標本に基づく標本平均ｘが次の条件を満たす確率を求
めよ．（a）21を超える,（b）19.5を超える,（c）19と21の間にあ
る,（d）22を超える．
• 問題２ （章末問題11、12） ：
一つの図に,平均10,標準偏差2の正規曲線のグラフと,この
分布からの大きさ9の標本に基づく標本平均ｘの分布曲線
のグラフを重ねて描いてみよ．次に、標本の大きさが36にす
れば, ｘの曲線のグラフはどのようになるか．
39
演習問題
• 問題３（章末問題１３）：
小学生1年生の体重の標準偏差が7ポンドであるとき,このよ
うな生徒100人の無作為標本の平均体重が1年生全体の平
均体重と1ポンド以上異なる確率はいくらか．
• 問題４ （章末問題１４） ：
体重の増加をもたらす新しい餌をある種の鶏の母集団から
無作為にとった25羽の鶏に与えることにした．1ヶ月後の体
重増の標準偏差は約2オンスが期待されるとして,これらの
鶏を新しい餌で飼育するとき,1ヶ月後の25羽の体重の平均
と全母集団の平均の差が1/2オンス以上になる確率を求め
よ．
40
演習問題
• 問題５（章末問題１５）：
ある大学での過去5年間の男子新入生の体重の平均は154
ポンドで,標準偏差は20ポンドである．今年の新入生登録名
簿の中から選んだ100人の学生の体重の平均が159ポンド
であったとすれば,今年の新入生の体重は例年の新入生の
体重より重いといってよいか．理由をつけて答えよ．
注意点：
１．詳細な答えをレポート用紙に書いてください。結果だけは不可。
２．レポートに表紙を付けてください
名前と学籍番号をご記入のうえ、レポート用紙（A4）を提出する。
提出先：工学部大学院棟７階
締め切り時間：
NO.７７０８室のドアのポストに入れてください
来週月曜日（６月２２日） 午後５時まで
41