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標本分布と推定・検定
標本平均を用いた母平均の推定
担当：岩村 英之
1
推測統計のイメージ
母集団
（名商大生全体）
母平均

標本平均
X
ˆ 2
標本標準偏差 ˆ
2
母分散 
母標準偏差
標本
（選ばれた25人）
標本分散

推測（予想）
標本平均（25人の平均点）をヒントに
母平均（名商大生全体の平均）を推定する方法を学ぶ．
2
母平均の推定：２つのケース
母平均
母分散
（母標準偏差）
ケースＡ
わからない
わかっている
正規分布
ケースＢ
わからない
わからない
ｔ 分布
3
標本平均は確率変数
この25人が選ばれた
ときの平均
＝55点
この25人が選ばれた
ときの平均
＝48点
この25人が選ばれた
ときの平均
＝61点
母集団
（名商大生全体）
どの25人が選ばれるかによって，
出てくる平均点の値も様々な可能性を持つ
標本平均は確率変数
4
標本平均が確率変数ということは，
どの数値が出やすく，どの数値が出にくいか，
つまり確率分布を持つ．
確率
このあたりの値は
出やすい
このあたりの値は
出にくい
標本平均
出やすい値は？（＝標本平均の母平均は？）
どのあたりの値まで可能か？（＝標本平均の母標準偏差は？）
5
標本平均の確率分布
名商大生の母平均が52点であるとすると…
確率
確率
52
名商大生の得点
（＝選ばれた1人の得点）
の確率分布
X
52
選ばれた25人の得点の平均
（＝標本平均）の確率分布
X
どちらも最も出やすいのは52点（母平均）だが，
標本平均のほうが52点に近い値が出やすくなっている．
6
定理１（資料p20）
母集団
平均
分散

2
標準偏差 
正規分布
ｎ人（個）選んだときの
標本平均
平均

2

分散
標準偏差

n
n
正規分布
もっとも出やすい値は同じ（＝母平均）
母平均により近い値が出やすくなる
このことが意味するのは. . . .
標本平均は母平均  から
σ
 1.96 
n
の範囲内の値が95%の確率で出てくる
確率
95%
標本平均

σ
1.96
n
σ
1.96
n
8
例題Ａ
今，名商大生の得点の母分散が252である
（＝母標準偏差は25点）とわかっているとする．
95%

1.96
25
25
標本平均
1.96
25
25
母平均を推測する目的で，25人の名商大生を無作為に
選んで試験を受けてもらったところ，平均は58点であった．
標本平均58点をヒントに，
母平均の値を推測することができる．
9
母平均の区間推定の考え方
確率密度
95%
48
53
95%
58
95%
63
予想 A 母平均は63点
否定できない
予想 B 母平均は68点
否定できる
予想 C 母平均は53点
否定できない
予想 D 母平均は48点
否定できる
68
95%
標本平均
母平均の予想として
否定できない「区間」が残る
母平均の推定区間
母平均の区間推定：ケースＡ
“ぎりぎり”の予想を見つける
確率密度
B
58
A
標本平均
この区間の予想ならば，58点によって
否定されることはない．
母平均の推定区間
11
L  9.8  58
L
標本平均
58
58  9.8  U
1.96 5  9.8 1.96 5  9.8
58
U
1.96 5  9.8 1.96 5  9.8
標本平均
12
L  9.8  58
L  58  9.8  45.1
58  9.8  U
U  58  9.8  67.8
母平均の95パーセント信頼区間は45.1点から67.8点である．
13
例題Ｂ
母平均を推測する目的で，25人の名商大生を無作為に
選んで試験を受けてもらったところ，平均は58点であった．
今，名商大生の得点の母分散もわかっていない
（＝母標準偏差もわかっていない）とする．
σ
 1.96 
n
がわからない
95%

?
標本平均
?
14
母平均の区間推定：ケースＢ
母標準偏差の予想値として，25人の得点から不偏標準偏差
（s）を計算し，これを代わりに使う．
s
Aさんの得点 582   Nさんの得点 582
25 1
 1.96

σ
n
 22
代わりに s を入れる
もはや正規分布が使えない
＝1.96が使えない
15
標本平均の
標準正規分布
の95%点
ケースＡ
ケースＢ
1.96
2.064
標準偏差


自由度24のｔ分布の
95%点
25
25
?
22
25
代わりに不偏標準偏差（s）を
入れると
標本平均の
標準偏差の推定値
自由度＝標本数－１
16
L  2.064
L
2.064
22
25
標本平均
58
2.064
22
25
58  2.064
U
58
2.064
22
 58
25
22
25
2.064
22
 U
25
標本平均
22
25
17
22
L  2.064
 58
25
22
L  58  2.064
 48.9184
25
22
58  2.064
 U
25
22
U  58  2.064
 67.0816
25
母平均の95パーセント信頼区間は48.9184点から67.0816点である．
18
母平均の区間推定：要点
標本平均は母平均から
 1.96 
σ
n
の範囲内の値が95%の確率で出てくる
標本平均は母平均から
 t0.95n 1 
s
n
の範囲内の値が95%の確率で出てくる
自由度n-1のｔ分布の95%点
19
定期試験に向けて
１
標本平均・標本分散・標本標準偏差の計算を確認しよう．
２
母平均の区間推定の方法（2通り）を確認しよう．
３
中間試験の問題を解けるようにしておこう．
＊問題はウェブから入手可
４
計算ミスをした場合でも部分点がもらえるように，
途中のプロセスを書こう．
＊自分が後で見て分かるように，
しかし解答欄に収まるように．
５
再試験になってしまったら，定期試験の問題を
解けるようにしておこう．
＊問題は定期試験終了後にアップします．
20