Transcript 『中国剰余定理』（発表スライド）

中国剰余定理
～2000年の歴史～
大阪大学
s.t.fake
(@st_fake)
孫子算経
3～5世紀頃、中国の算術書「孫子算経」には
次の問題が描かれていた。
今有物、不知其数。
三・三数之、剰二。
五・五数之、剰三。
七・七数之、剰二。
問物幾何？
意訳：
今ここに、個数がわかっていない
ものがあります。
３で割ると余りが２
５で割ると余りが３
７で割ると余りが２
さて、これは全部でいくつ？
まぁ皆さん考えてみましょう。
あと10秒くらい。
あと30秒くらい。
1分くらい。
知ってるZE! という方は類題を…
７ で割ると余り６
９ で割ると余り１
１１ で割ると余り１
答えは。
23です。（類題：496）
…気になるのは答えじゃなくて
求め方ですよねー？
孫子算経の解法
• 3で割ると2余る→
• 5で割ると3余る→
• 7で割ると2余る→
これらを全部足す。
210を引いて…
140
63
30
93
210
23
233
孫子算経の解法
• 一般に
3で割った時のあまり × 70
5で割った時のあまり × 21
7で割った時のあまり × 15
これらをすべて足しあわせて 105 を
可能な限り引けば良い。
ポイントは、105を引くところ！
昔の人はなんとなく…でやっていたのかもしれ
ませんが、これはとても重要なことなのれす！
どういうこと？
105で余りの組み合わせが1周する！
ちょこっと数学的に。
このことを数学的に記述しますとこうなります。
Z/ 105 Z  (Z/ 3 Z)  (Z/ 5 Z)  (Z/ 7 Z)
23 mod 105  ( 2 mod 3 ,3 mod 5 , 2 mod 7 )
より一般に、次のようなことも成り立ちます。
m1
Z / nZ  ( Z / p1 Z )    ( Z / p r
ただし　で、
n  p1
m1
  pr
p 1 ,  , p rは互いに素
mr
mr
Z)
ここで注意！
とりあえず素因数分解しても、
互いに素でなければこれは使えません。
例えば有名な例だと
Z / 4 Z !  (Z / 2Z )  (Z / 2Z )
でしょうか。
更に発展。
これだけだと数学的なありがたみが殆ど
無いわけです。まぁ暗号とかにはこのまま
使われるらしいのですが。
数学（主に代数）で使われるときには、イデアル
の概念を用いて先の定理が描かれます。
中国剰余定理（イデアル版）
R：単位元を持つ可換環
I,J：Rのイデアル、互いに素（ I + J = R）
a∈R とする。この時次の環準同型写像φ
φ : R  ( R / I )  ( R / J)
a  ( a  I , a  J)
は、次の同型を誘導する。
R / IJ  ( R / I )  ( R / J )
証明
先に補題として、
I  J  IJ
を示しておこう。ここでもイデアルが互いに素
であることが生きてくる。
I  J  IJ
は自明なので皆さんの練習問ｄ（ｒｙ
証明
証明
I  J  IJ
である証明。
 x  I ,  y  J s .t .　x  y  1
従って　a  a ( x  y )  ax  ay
また、　ax  IJ , ay  IJ より
a  ax  ay  IJ
証明
証明
②　Ker φ  I  J
③　Im φ  ( R / I )  ( R / J )
証明
①　φ : R  ( R / I )  ( R / J )
a  ( a  I , a  J ) が準同型
証明
φ(1)  (1  I ,1  J )
①　φ : R  ( R / I )  ( R / J )
φ( a  b )  ( a  b  I , a  b  J )

I ,( baI ,J
a
( a　 I , a( a
 J) 
b )　が準同型
J )  φ( a ) φ( b )
φ( a  b )  ( a  b  I , a  b  J )
 ( a  I , a  J )  ( b  I , b  J )  φ( a ) φ( b )
証明
証明
①　φ : R  ( R / I )  ( R / J )
a  ( a  I , a  J ) が準同型
証明
②　Ker φ  I  J
証明
x  Ker φとしよう。φ
( x )  ( I , J )である。
従って　xI I,xJ  J
ゆえに　xI ,xJ
一方　x  I  J とすると、
②　J)  ( I , J )
φ( x )Ker
 ( xφ
 I ,Ix 
J
ゆえに　x  Ker φ
証明
証明
②　Ker φ  I  J
証明
③　Im φ  ( R / I )  ( R / J )
証明
 y  ( a  I , b  J ) に対して、
i  j  1　なる
I  J  R より
i  I , j  J が存在する。
x  aj  bi とすれば、（中略）
φ ( x )  y が成立する。
③　Im φ  ( R / I )  ( R / J )
証明
証明
③　Im φ  ( R / I )  ( R / J )
証明
応用例
m , n : 互いに素な整数　とす
る。この時
Z / mnZ  ( Z / mZ )  ( Z / nZ )
K : 体、 K [ X ：] K 係数 1変数多項式環とする。
K [ X ] /( X
2
 1)  K [ X ] /( X  1)  K [ X ] /( X  1)
 RR
今日のまとめ。
3で割って◯余る
5で割って◯余る ←このタイプは105で一週する。
7で割って◯余る…
中国剰余定理でいう
Z/ 105 Z  (Z/ 3 Z)  (Z/ 5 Z)  (Z/ 7 Z)
の形となる。
ご清聴、ありがとうございました。
計算用紙。いわゆる余白。