Transcript スポーツの最適化
スポーツの最適化
• 優勝決定可能性問題
• スポーツスケジュール問題
優勝決定可能性問題
•毎年、プロスポーツのシーズン終了間際になると、「○○
チームは5位確定」とか、「××チームは自力優勝の可能性
が消えた」とか言われます
•マジックとか、○位確定とか、自力優勝とか、降格ラインとか、
いろいろな言葉があります。
順位に関する用語
自力優勝：自分が残り試合全部勝てば、他のチームがどれ
だけがんばっても優勝できる ⇔ 自力優勝できる
マジック：自分以外の任意のチームに対して、そのチームが
残り試合全部勝っても、自分が t 試合勝てば優勝できる
⇔ マジックが t
確定：今後、残りの全ての試合の勝敗がどのようになっても
自分の順位が1通りに決まること
なんでいろいろ調べるの？
• 今のチームの有利不利を正確に知りたい。いろいろな角度
から知りたい
（完全に分かるとつまらないんだけど）
• 主観的な直感による評価では水掛け論になるので、数理的
な指標が欲しい
優勝（びり）の可能性
• 「○○位確定」「自力優勝が消えた」は良く言われるけど、ほ
んとに優勝（あるいはびり）の可能性がなくなったかどうかを
知りたい
• 組合せの問題なので、数理的に解が存在する
• 組合せ最適化問題として定式化してみる
問題
• リーグ戦の途中の段階（いくつかの試合は結果がでた）で、
あるチーム x が優勝（あるいはビリ）する可能性は残されて
いるか （残りの試合結果の組合せを加えて、チーム x がトッ
プになるものはあるか）
• x が残りの試合を全部勝つ（全部で最高の結果を出した場
合）のみを考えれば良い
• 順位の評価はいろいろあるが、まずは勝った数としよう
問題を整理
• 整理すると
入力：
－ チーム x が関わらない、未消化の試合の組合せ
－ チーム x の最大の勝ち数 z
出力：
－ x 以外のチームの勝ち数がすべて z 以下になるような、
未消化試合の星取りはあるか
最小費用流問題で解く
• 各試合（カード）は、どちらかのチームが勝つ
各試合を、各チームに分配すると見なせる
• 各カードをチームに運ぶ、輸送問題として定式化する
制約を考えると：
• 各カードから荷物が１つ出る。行き先はそのカードの対戦
チームどちらか
• 各チームが受け取る荷物は z を超えてはいけない
ネットワーク
1
1
1
1
1
1
1
1
残り
カード
Aチーム
z － (現在の
勝ち数)以下
Bチーム
z － (現在の
勝ち数)以下
Cチーム
Dチーム
・・・・・
輸送問題の実行可能解があるかどうか判定する問題
（輸送問題なので、解は整数） 線形計画で解ける
ビリ可能性判定問題
• あるチームが、ビリになる可能性は残っているか？
• 優勝可能性問題を逆さまにして解けばよい
（全ての負けと勝ちを反転させる）
ビリから2番目の可能性判定問題
• あるチーム x が、ビリ、あるいはビリから2番目になる可能性は
残っているか？
（リーグの降格可能性を調べる）
－ まず、 x がビリになれるか調べる
－ （なれないとして）、次に他の各チーム y について、 y がビリで、
x がビリから2番目になる可能性があるかどうか調べる
• y はx に残り全て勝つとしてよい （x はビリにはなれないから）
• x, y 以外のチームはx, y に全て勝つとしてよい
⇒ x, y 以外のチームの勝ち数が全て x より大きくできるか
⇒ 同じ方法で解ける
順位が他の基準の場合
• 同様にして解ける場合
+ 勝ち点制度で、勝ちが2、引き分けが1、負けが0のとき
+ 勝ち負け以外の場合の勝ち点が、普通の勝ちより点数が
悪くなるものしかないとき
（Vゴール勝ちなど：その場合だけ考えればよい、
あるいは、両チームの勝ち点の合計が常に一定かつ全て
の場合がありうる）
順位が他の基準の場合
• 同様にして解けない場合
+ 勝率で評価し、引き分けがある場合（輸送問題にならない）
+ 一試合での両チームの勝ち点の合計が一定でない場合
+ 一試合での両チームの勝ち点の配分に存在しないパターン
がある場合
(5-0、0-5、4-1、1-4 はあるが 2-3、3-2がない、など)
うまく解けない場合
• 勝率で評価する場合 輸送問題にならなくなる
• チーム y の勝率 ＝ y の勝数 ／ （y の勝数＋負数）
• チーム y の勝率が z 以下
⇒ （y の勝数＋負数） z ≧ y の勝数
• 引き分けがあるので、（y の勝数＋負数）が定数でない
制約は線形だが、小数解が出るかも
⇒ 整数計画で解くしかない
うまく解けない場合 (2)
• １試合の両チームの勝ち点のパターンがいくつかある場合
（k通りあるとする）
なんとか整数計画にしてみよう
• 試合 i の勝ち点パターンが j のときの
チーム y の勝ち点をsijy とする
• 試合 i の勝ち点パターンが j のとき１、そうでないとき0とな
る01変数を pij とする
うまく解けない場合２
• チーム y の勝ち点が z 以下 Σ sijypij ≦ z
• 試合 i の勝ち点パターンはどれかひとつだけ1になる
Σ pij ＝ 1 for each i
まとめると、以下の条件を満たす実行可能解があるかどうか
を判定する問題になる
Σ sijypij ≦ z
Σ pij ＝ 1
pij ∈ {0,1}
実際使えるの？
メリット：
• 降格なし、の情報を早く算定できる
• 優勝に関してあらたな尺度ができる
デメリット：
• 優勝の望みのないチームは、雰囲気が盛り下がる？
• 計算がめんどくさい
（データをそろえて、プログラムに入力しなければならない）
マジックや自力優勝は、手計算でできる
優勝判定問題
• 優勝、ビリなど、上位・下位の順位になる可能性があるかど
うかを判定する問題を、線形計画（輸送問題）で解ける
• 線形計画なので、試合数が多くても計算できる
• 引分ありの勝率、均一でない勝ち点制度などでは線形計画
では計算できない
• 実際の計算は、他の指標に比べて面倒
試合のスケジュール問題
• スポーツの試合スケジュールを決めるのは意外と大変
← いろいろな条件があるから
• 決める事柄（変数）
－ 各日の試合の組合せ（カード）
－ どちらのホームで試合をするか
• 制約
－ 全ての試合を行う
－ チームは同時に異なる試合はできない（割当問題）
－ ホームとアウェーは同数であること
－ アウェーの試合は連続しないこと
－ 試合日に球場が使えること
数理計画としてとらえる
• 制約を満たす（なるべく良い）解（変数の組合せ）を見つける
最適化問題
• しかし、普通に定式化すると変数の数が多すぎて、ソルバー
では解けない。
• さてどうしましょう
• オリジナルな解法を作った
ホームアウェーのパターン
• 決めるのは、ホーム・アウェーと組合せ
+ 組合せは候補数が多い
+ ホーム･アウェーのほうが制約が厳しい
• まず、可能なホーム／アウェーのパターンを列挙して、
各々に対して解が存在するかどうか調べる
ホームアウェーのパターン数
• 各チームが各試合日でホーム・アウェーどちらを行うか決める
• 制約、及びよく考えられる条件は
+ ホーム・アウェーの３連続は禁止
+ シーズン開始直後／終了直前のホーム･アウェーの２連続も
+ 同時刻に試合を行うチーム数は偶数、かつ半分がホーム
+ 前半戦と後半戦は同じスケジュールで、ホームとアウェーだけ
入れ替える
ホームアウェーのパターン数 (2)
+ ホーム・アウェーの３連続は禁止
+ シーズン開始直後／終了直前のホーム･アウェーの２連続も
+ 同時刻に試合を行うチーム数は偶数、かつ半分がホーム
+ 前半戦と後半戦は同じスケジュールで、ホームとアウェーだけ
入れ替える
• 例えば、２連続するホーム・アウェーの数を最小にする
（どうしてもどこかには２連続が発生）
ここまで絞り込むと、通常、解はとても少ない
（16チームなら1通り？） ⇒ 列挙する
ホームアウェーのパターン例
• 例えば6チームの場合
１
ａ
ａ
ａ
ｈ
ｈ
ｈ
２
ｈ
ｈ
ｈ
ａ
ａ
ａ
３
ｈ
ａ
ａ
ａ
ｈ
ｈ
４
ａ
ａ
ａ
ｈ
ｈ
ｈ
５
ｈ
ｈ
ｈ
ａ
ａ
ａ
こういうものを列挙して、これに割り当てられる
カードを調べる
組合せを割り当てる
• 各カードをある日に割り当てる
• 条件は、
１． 同一チームが2つのカードに割り当てないこと
２． 各カードにホームのチームとアウェーのチームをちょうど１つ
ずつ割り当てること
２．の条件から、カードを割り当てられる日が自動的に決まる
あとは１．の条件を制約にして割り当て問題を解く
（整数条件が必要）
実際には
• 好カードはなるべく後にする、という条件が必要
• 視聴率があがるような組合せ（人間系？）
• もっと政治的な思惑が多いかも
• 夏の高校野球で阪神が甲子園球場を使えなくなるような、
そのチーム以外の要因も入る
まとめ
• スポーツスケジューリングの紹介
• ホーム・アウェーのパターン列挙
• カードの割り当て