Transcript PPT

§３ 乗法と除法
（９時間）
① 乗法（かけ算）
《正の数をかける・・・その枚数分カードを引いてくる》
2 2 2
( +2 )
*
( +3 )
=
+6
=
-6
2 2 2
( -2 )
*
( +3 )
正の数をかけても，符号は変わらない。
《負の数をかける・・・その枚数分カードを引かれる》
2 2 2 6
( +2 )
^ ^0
*
( -3 )
=
-6
=
+6
2 2 2 6
( -2 )
^ ^0
*
( -3 )
負の数をかけると，符号は変わる。
《まとめ》
正の数*正の数 ･････ 絶対値の積に正の符号
負の数*正の数 ･････ 絶対値の積に負の符号
正の数*負の数 ･････ 絶対値の積に負の符号
負の数*負の数 ･････ 絶対値の積に正の符号
２数の積
同符号の積･････ 絶対値の積に正の符号をつける。
異符号の積･････ 絶対値の積に負の符号をつける。
《計算の仕方》
2*3
=6
(-2)*3
2*(-3)
(-2)*(-3)
=-(2*3)
=-(2*3)
=+(2*3)
=-6
=-6
=6
次の計算をしなさい。
(1) (-3)*7
(2) 6*(-8)
(3) (-9)*(-5)
=-(3*7)
=-(6*8)
=+(9*5)
=-21
=-48
=-45
次の計算をしなさい。
(1) 5*(-6)
(2) (-7)*7
(3) 9*(-8)
=-(5*6)
=-(7*7)
=-(9*8)
=-30
=-49
=-72
(4) (-4)*(-9)
(5) (-5)*(-6)
(6) (-8)*(-7)
=+(4*9)
=+(5*6)
=+(8*7)
=36
=30
=56
《小数や分数の乗法》
次の計算をしなさい。
(1) (-4.3)*(-0.2)
=+(4.3*0.2)
=0.86
次の計算をしなさい。
(1) (-0.8)*0.6
=-(0.8*0.6)
=-0.48
^4
^ ^2
(2) (-__)*(+__)
^5
^ ^3
^4
2
=-(__*__)
^5
3
^^8
=-—
15
^7
^3
(2) (-__)*(-__)
^9
^5
^7
3
=+(__*__)
^9
5
^^7
=__
15
(-1)*3=-3 となるので，
-3 は (-1)*3 と同じである。
なので，
-(-5) は (-1)*(-5)=5 と同じである。
また，どんな数に０をかけても，０にどんな数をかけても，積は
０になる。
次の計算をしなさい。
(1) (-1)*(-7)
=+(1*7)
=7
(2) (-37)*0
=0
(3) (-0.3)*(-0.2)
=+(0.3*0.2)
=0.06
《乗法の計算法則》
①面積を求める
（縦*横）
数を入れ替えても，
答は変わらない。
乗法の交換法則
2*3 =6
3*2 =6
②体積を求める
a*b=b*a
（縦*横*高さ）
どこから計算しても，
答は変わらない。
乗法の結合法則
(a*b)*c=a*(b*c)
( 2*3^ ^ ^) *4
=24
2* ( 3*4^ ^ )
=24
《３つ以上の数の乗法，除法》
３つ以上の数の乗法，除法は，ふつう左から計算する。
(-30)/3*(-2)
=(-10)*(-2)
=20
しかし，乗法だけの式では，乗法の交換法則，結合法則から，どこ
から計算してもよい。
(-4)*9*(-25)
=9*(-4)*(-25)
=9*100
=900
《乗法だけの式の計算》
(1)
1*2*3*4
=+(1*2*3*4)
=24
(2)
(-1)*2*3*4
=-(1*2*3*4)
=-24
(3)
(-1)*(-2)*3*4
=+(1*2*3*4)
=24
(4)
(-1)*(-2)*(-3)*4
=-(1*2*3*4)
=-24
(5)
(-1)*(-2)*(-3)*(-4)
=+(1*2*3*4)
=24
積の符号は，負の数の個数が
偶数のとき +
奇数のとき -
積の絶対値は，それぞれの数の絶対値の積
次の計算をしなさい。
(1) 25*7*(-4)
(2) (-2)*12*(-15)
=-(25*7*4)
=+(2*12*15)
=-(7*25*4)
=+(12*2*15)
=-(7*100)
=+(12*30)
=-700
=360
(3) (-12)*(-5)*8
(4) (-2)*27*(-5)
=+(12*5*8)
=+(2*27*5)
=+(12*40)
=+(27*2*5)
=480
=+(27*10)
=270
《累乗（同じ数をいくつかかけあわせたもの）》
5*5
5*5*5
=52
(５の２乗)
２乗のことを平方，
3
(５の３乗)
３乗のことを立方，
=5
ともいう。
3個
指数（かけあわす数の個数）
(-2)4 =(-2)*(-2)*(-2)*(-2)
=+(2*2*2*2)
=+16
4
-2
=-(2*2*2*2)
=-16
3
(-2 )/(-3)
2
=-(2*2*2)/{(-3)*(-3)}
=(-8)/9
^^8
=-__
^^9
次の計算をしなさい。
(1) 42
(2) 25
=4*4
=2*2*2*2*2
=16
=32
(3) (-3)
3
2
(4) -5
=(-3)*(-3)*(-3)
=-(5*5)
=-(3*3*3)
=-25
=-27
2
(5) (-4) *(-7)
=16*(-7)
=-(16*7)
=-112
2
(6) (-6 )/(-2)
3
=(-36)/(-8)
36
=+__
^^8
^^9
=—
^^2
② 除法（わり算）
《正の数でわる・・・分割して１枚カードを引いてくる》
2 22
6
( +6 )
/
( +3 )
= +2
2 22
6
( -6 )
/
( +3 )
= -2
正の数でわっても，符号は変わらない。
《負の数でわる・・・分割して１枚カードを引かれる》
2 22
6
( +6 )
6
^ ^0
/
2 22
6
( -6 )
( -3 )
=
-2
=
+2
6
^ ^0
/
( -3 )
負の数でわると，符号は変わる。
《まとめ》
正の数/正の数 ･････ 絶対値の商に正の符号
負の数/正の数 ･････ 絶対値の商に負の符号
正の数/負の数 ･････ 絶対値の商に負の符号
負の数/負の数 ･････ 絶対値の商に正の符号
２数の商
同符号の商･････ 絶対値の商に正の符号をつける。
異符号の商･････ 絶対値の商に負の符号をつける。
《計算の仕方》
6/3
=2
(-6)/3
6/(-3)
(-6)/(-3)
=-(6/3)
=-(6/3)
=+(6/3)
=-2
=-2
=2
次の計算をしなさい。
(1) (-12)/6
(2) 9/(-3)
(3) (-28)/(-4)
=-(12/6)
=-(9/3)
=+(28/4)
=-2
=-3
=7
次の計算をしなさい。
(1) (-18)/9
(2) 21/(-3)
=-(18/9)
=-(21/3)
=+(20/5)
=-2
=-7
=4
(4) (-56)/(-7)
=+(56/7)
=8
(5) 15/(-21)
=-(15/21)
15
=-__
21
^^5
=-__
^^7
(3) (-20)/(-5)
(6) (-45)/(-60)
=+(45/60)
45
=__
60
^^3
=__
^^4
(7) (-3)/(-0.3)
(8) 3.2/(-4)
(9) 2.4/(-0.6)
=+(3/0.3)
=-(3.2/4)
=-(2.4/0.6)
=10
=-0.8
=-4
-2
___ =(-2)/3
3
=-(2/3)
^^2
=-__
^^3
したがって，
-2
^^2
___=-__
3
^^3
同じように，
2
^^2
___ =-__
-3
^^3
-2
^^2
___ =+__
-3
^^3
０をどんな数でわっても，商は０になる。
また，０でわることは，
a/0=b
とすると，
b*0=a
となる^^ ^a^ ^ の値を求めればよい。
・a が０でないならば，
b がどんな数でも，b*0=0 であるから，
b の値はない。
・a が０ならば，
b がどんな数でも，b*0=0 であるから，
b の値は決まらない。
したがって，どちらの場合にも，a/0 の値が１つに決まらないの
で，a^^ ^を０でわることはできない。
《逆数と乗法，除法》
積が１になる２数の一方を，他方の逆数という。
^^4 ^^5
^^4 ^^1
^3
^4
__* __ =1
__44* __ =1
(-__)* (-__) =1
^^5 ^^4
^^1 ^^4
^4
^3
負の数の逆数は負の数である。
次の数の逆数を求めなさい。
^^8
^^7
^^2
^^5
(1) __^^→ __
(2) -__^^→ -__
^^7
^^8
^^5
^^2
^^1
(3) ^ ^ 6^ → __
^^6
^^1
(4) -__^^→ -3
^^3
除法は次のように乗法にすることができる。
^^3
3
^^3
3
^^3 8
3
3
^^3
8
^^3 8
__/__ =__*1/__ =__*__*__/__ =__*__*1 =__*__
^^4
8
^^4
8
^^4 3
8
8
^^4
3
^^4 3
5/2
=5*1/2
^^1
=5*__*2/2
^^2
^^1
^^1
=5*__*1 =5*__
^^2
^^2
負の数でわる場合
^3
^3
^4
^4
5/(-__) =-(5/__) =-(5*__) =5*(-__)
^4
^4
^3
^3
除法を乗法に
正の数，負の数でわることは，その数の逆数をかけることと同じ
である。
次の計算をしなさい。
^^5
(1) __/(-15)
^^4
^^5
^ ^ ^1
=__*(-__)
^^4
^15
^5
1
=-(__*__)
^4 ^ ^ 15
^^1
=-__
12
^2 ^ ^ ^1
(2) (-__)/__
^3
^ ^ ^6
^2
=(-__)*6
^3
^2
=-(__*6)
^3
=-4
^3
^9
(3) (-__)/(-__)
^8
^ ^ ^ 16
^3
^ ^ ^ 16
=(-__)*(-__)
^8
^9
^3 ^ ^ 16
=+(__*__)
^8
9
^^2
=__
^^3
^2
^4
(4) (-__)/(-__)
^9
^3
^2
^3
=(-__)*(-__)
^9
^4
^2
3
=+(__*__)
^9
4
^^1
=—
^^6
^^4
^ ^ ^2
(5) __/(-__)
15
^5
^^4
^ ^ ^5
=__*(-__)
15
^2
^4
5
=-(__*__)
^ ^ ^15 ^ ^ 2
^^2
=-__
^^3
^ ^ 7 ^ ^ 21
(6) -__/__
^^4
8
^^7 8
=-__*__
^ ^ 4 ^ ^ 21
^7
8
=-(__*__)
^4 ^ ^ 21
^^2
=-__
^^3
《乗法と除法の混じった式の計算》
乗法と除法の混じった式は，乗法だけの式になおして計算する。
次の計算をしなさい。
^5
^ ^ ^5
(1) 6/(-__)*__
^8
^ ^ ^4
^8
^ ^ ^5
=6*(-__)*__
^5
^ ^ ^4
^8 5
=-(6*__*__)
^5
4
=-12
^2
(2) -27*(-__)/(-9)
^3
^2
^ ^1
=-27*(-__)*(-__）
^3
^ ^9
^2 1
=-(27*__*__)
^3
9
=-2
次の計算をしなさい。
(1) 24/(-6)/(-2)
^1
^1
=24*(-__)*(-__)
^6
^2
^1
1
=+(24*__*__)
^6
2
=2
^^5
^ ^ ^4
(3) 3*__/(-__)
^^6
^ ^ ^5
^^5
^ ^ ^5
=3*__*(-__)
^^6
^ ^ ^4
^5
5
=-(3*__*__)
^6
4
25
=-__
^^8
(2) (-6)2/(-3)*5
^1
=36*(-__)*5
^3
^1
=+(36*__*5)
^3
=60
^3
^ ^ ^2
(4) 9/(-__)/__
^4
^ ^ ^5
^4
^ ^ ^5
=9*(-__)*__
^3
^ ^ ^2
^4
^5
=-(9*__*__)
^3
^2
=-30
③ 四則の混じった計算
数の加法，減法，乗法，除法をまとめて四則という。
7-3 *2 =1
(7-3^)^ ^ ^*2 =8
計算の順序
① 加減と乗除が混じった式は，乗除をさきに計算する。
② かっこがある式では，かっこの中をさきに計算する。
次の計算をしなさい。
(1) 3-(-2)*5
(2) (-6)*7+75/(-52)
=3-(-10)
=(-6)*7+75/(-25)
=3+10
=-42+(-3)
=13
=-45
(3) 3*{-4-(19-8)}
=3*{-4-11}
=3*(-15)
=-45
または =3*(-4-11)
次の計算をしなさい。
(1) 3*(-7)-9*(-8)
(2)
-4-6*(-3)
=-21-(-72)
=-4-(-18)
=-21+72
=-4+18
=51
=14
(3) 5*(-12)+14/7
(4)
10/(-5)-(-6)*2
=-60+2
=-2-(-12)
=-58
=-2+12
=10
(5) 4*(-2)+(-32)
(6) (-2)2+23/(-4)
=-8+(-9)
=4+8/(-4)
=-17
=4-2
=2
(7) -5+(13-7)/3
(8) 7-{(-2)2-(9-14)}
=-5+6/3
=7-{4-(-5)}
=-5+2
=7-(4+5)
=-3
=7-9
=-2
《分配法則》
3
面積を求める
2
2
6
4
4
3
(2+4)*3
3
2*3+4*3
=6*3
=6+12
=18
=18
分配法則
(a+b)*c =a*c+b*c
c*(a+b) =c*a+c*b
次の計算をしなさい。
^1
1
(__+__)*(-6)
^3 2
普通に計算すると
^1 1
(__+__)*(-6)
^3 2
^2 3
=(__+__)*(-6)
^6 6
^^5
=__*(-6)
^^6
^5
=-(__*6)
^6
=-5
分配法則を使うと
^1
1
(__+__)*(-6)
^3
2
^^1
^ ^1
=__*(-6)+__*(-6)
^^3
^ ^2
=-2+(-3)
=-5
次の計算をしなさい。
^1
(1) 12*(-__+1.5)
^3
普通に計算すると
^1
12*(-__+1.5)
^3
^1
3
=12*(-__+__)
^3
2
^2
9
=12*(-__+__)
^6
6
^^7
=12*__
^^6
=14
分配法則を使うと
^1
12*(-__+1.5)
^3
^1
=12*(-__)+12*1.5
^3
=-4+18
=14
(2) 23*(-12)+23*112
普通に計算すると
23*(-12)+23*112
分配法則を使うと
23*(-12)+23*112
=-276+2576
=23*(-12+112)
=2300
=23*100
=2300
(3) 103*(-24)
普通に計算すると
103*(-24)
=-2472
分配法則を使うと
103*(-24)
=(100+3)*(-24)
=100*(-24)+3*(-24)
=-2400-72
=-2472
④ 数の範囲と四則
《数の歴史》
ものの数を１,２,３･･･と数えるものとして，自然数が生まれた。
昔は２までしか数えられず，それより多いものは『たくさん』といっ
ていた時代もあったそうだが，やがて，５まで，10まで，100までと
大きな自然数を数えられるようになっていった。
そして，収穫したものや狩りで捕まえた獲物。を集めたり分けたり
交換したりするうちに，計算をしたり，必要に応じて自然数以外の数
が生まれていったと考えられる。
たとえば，取ってきたドングリを数え，みんなの分を合わせたり
（加法），一人分の個数に人数をかけて（乗法）人数分の個数を求め
たりしただろう。そのとき，自然数どうしで計算したとき結果はいつ
でも自然数である。
所持しているドングリの個数から，食べた個数を引いて（減法）
残っている個数求めるような場合は，当然，大きい数から小さい数を
引くことしかなく，数学でも最近まで小さい数から大きい数は引けな
いとされていた。しかし，所持金より高額なものを買う場合，借金を
するようなことから，負の数というものを考え出し，整数まで範囲を
広げることでどんな減法もできるようになった。
ドングリのように小さいものがたくさんあってそれらをみんなで分
ける（除法）とき，余った分を残せば，自然数・整数の範囲で計算す
ることができるが，イノシシなどを分けるときは，１頭のイノシシを
細かく分けることになる。そのため１より小さい数として，分数や
小数を考え出し，それらを含めたすべての数まで範囲を広げることで
どんな除法もできるようになった。
次の数のうち，自然数に○を，整数に□をつけなさい。
^^3
-__,
^^5
-6,
4,
0.8,
+12,
5,
^^1
__,
^^4
-2.6,
0,
-3
自然数，整数のように，ある条件にあてはまるものをひとまとまり
にして考えるとき，それを集合という。
自然数の集合は，整数の集合にふく
まれる。
整数の集合は，分数や小数をふくん
だすべての数の集合にふくまれる。
すべての数
^^3
^^1
-__, 0.8, -2.6, __
^^5
^^4
整数
-6,
0, -3
自然数
4, +12, 5
次の表で，左側にあげた数の集合で四則を考える。計算がそ
の集合でつねにできるものには○を，できるとはかぎらないも
のには△をつけなさい。また，△の場合には計算できない例を
１つ示しなさい。ただし，除法では０でわる場合を除く。
加法
自然数
○
減法
△
3-5
乗法
○
整数
○
○
○
すべての数
○
○
○
除法
△
3/5
△
3/5
○
ＥＮＤ