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曲がった時空上の場の理論の熱的な性質と二次元CFT Takeshi Morita YITP → Tata Ref) hep-th/0705.3494 hep-th/0710.0453 based on collaboration with Satoshi Iso (KEK) and Hiroshi Umetsu (OIQP) Introduction and Motivation ○ 梅津さんの発表の簡単なまとめ BH時空における熱的な Flux (Hawking輻射) holomorphic currentの conformal変換に対する anomalousな変換性 conformal変換： シュワルツ微分 anomalusな変換 Introduction and Motivation ○ 梅津さんの発表の簡単なまとめ ◆ いろいろな時空への応用 • 加速度系 • 様々なBH • Black Ring Horizonがあればおそらく Universal • ･･･ ◆ fermion → bc 系への応用 一般のシュワルツ微分から分布関数を読み取る conformal weight Fermi-Dirac分布 Fermion bc 系 分配関数 b c Fermi-Dirac分布 - Planck 分布 Introduction and Motivation ○ 梅津さんの発表の簡単なまとめ BH時空における熱的な Flux (Hawking輻射) holomorphic currentの conformal変換に対する anomalousな変換性 conformal変換： シュワルツ微分 anomalusな変換 Introduction and Motivation ○ 今回の研究 currentの保存則 + trace anomaly holomorphic currentの conformal変換に対する anomalousな変換性 conformal変換： シュワルツ微分 anomalusな変換 Introduction and Motivation ○ 今回の研究 currentの保存則 + trace anomaly holomorphic currentの conformal変換に対する anomalousな変換性 conformal変換： シュワルツ微分 anomalusな変換 Introduction and Motivation ○ Motivation currentの保存則 + trace anomaly ◇ BHの研究としての Motivation • 曲がった時空における熱的な性質のより根源が理解できる。 ◇ 場の理論の研究としての Motivation • 高階スピンカレントの量子異常 高階スピン場の性質の理解。 • W代数や W gravityの covariantな形式での記述 cf. と今回の話は関連 代数 cf. 高田さんの話 2. Covariant current vs. Holomorphic current Set up 2次元で 重力 + U(1) gauge 場中の massless fermion理論を考える。 • 重力とgauge場は背景場として扱う。 • gauge場が無ければスカラー場でもできる。 この理論における currentの振る舞いを調べる。 CFTが非常に有効 2. Covariant current vs. Holomorphic current energy-momentum tensor の復習 2次元 conformalな理論では一般に次の二つの式が成り立つ。 Trace anomaly Diffeo inv. conformal guage holomorphicな量 2次元では二種類の currentがある。 : covariant energy-momentum tensor : holomorphic energy-momentum tensor 2. Covariant current vs. Holomorphic current : covariant current : holomorphic current Conformal transformaion 2つの currentは異なる変換性を持つ。 covariantな変換性 anomalousな 変換性 Schwarzian derivative 2. Covariant current vs. Holomorphic current ○ Energy-Momentum tensorのまとめ この式を conformal gaugeのもとで解き、 holomorphic currentを得た。 2つの Current ◆ holomorphic current • を満たす。 • conformal変換に対して anomalous ◆ covariant current • 一般に 0でない。 • conformal変換に対して covariant これらの関係を higher-spin currentについても理解したい。 2. Covariant current vs. Holomorphic current Notation 以後、次の記号を用いる。 rank n covariant current rank n holomorphic current ○ 今回の研究でやったこと ◆ と の関係を一般に求めた の一般化 ◆ の満たす保存則と trace anomalyを上の関係から求めた。 の一般化 原理的には任意の rankの higher-spin currentでできるが、 具体的には rank 3と rank 4 currentについて導出した。 3. General Relation between the Currents 目標 の一般化を求める。 求めたい部分 方針 conformal 変換に対して covariant conformal 変換に対して anomalous (どう変換するかは知っている。) 右辺がconformal 変換に対して全体として covariant になるように変換する量 この変換性から求めたい部分が決まる。 3. General Relation between the Currents 目標 の一般化を求める。 方針 カレントの生成関数を作りそれに対して今の方針で求めた。 結果 fermionの場合 a, bについて両辺を展開し比較することで、カレントに対する関係式が得られる。 上の energy-momentum tensorに関する式は、 a,bの1次の係数から読み取ることができる。 3. General Relation between the Currents 3階のカレント covariant current : holomorphic current : 先程の式を展開し a, bの2次の係数を比較すると得られる。 energy-momentum tensorにおける の一般化を得ることができた。 3. General Relation between the Currents 4階のカレント 3階と同様に生成関数を展開し、4次の係数を比較する。 これらの関係式は currentの trace anomalyの情報を含んでいる。 高階のカレント 手計算ではかなり煩雑だが、計算機で計算可能 4. Trace Anomalies for the Higher-spin Currents 目標 の一般化 方針 先程求めたカレントの関係式から計算する。 ただし、不定性があるので covariant currentに次のような条件を課す。 • は classicalに traceless symmetric • 保存則は anomalyを持たない。 • anomalyは trace partにのみ現れる。 4. Trace Anomalies for the Higher-spin Currents 目標 の一般化 + U(1) gauge場 結果 注意 ◇ の右辺は anomalyではない。 が生成する変換に対する保存則 : 変換パラメタ 4. Trace Anomalies for the Higher-spin Currents 重力場やゲージ場がどのように変換すれば作用が不変になるか読み取れる。 3階の高階スピン変換に対するテンソル場の変換性 注意 ◇ の右辺は anomalyではない。 が生成する変換に対する保存則 : 変換パラメタ 4. Trace Anomalies for the Higher-spin Currents 4階のカレント 4. Trace Anomalies for the Higher-spin Currents 4階の高階スピン変換に対するテンソル場の変換性 : 変換パラメタ 5. Conclusion • covariant currentと holomorphic currentの関係を求めた。 • 3階と4階における currentの保存則と trace anomalyを求めた。 • 高階スピン変換に対するテンソル場の変換則を保存則から求めた。 • chiralな理論での higher-spinの anomalyの理解もできた。 今後の展望 • 高階の保存則や trace anomalyを楽に求める方法の開発 • 高階スピン場の導入 • chiralな理論での higher-spinの anomalyの理解