Transcript Robust Cost Colorings

Robust Cost Colorings
福永 拓郎 （京都大学）
Magnús M. Halldórsson (Reykjavik University)
永持 仁 （京都大学）
特定領域研究「新世代の計算限界 −その解明と打破−」
平成１９年度 第２回 全体会議
２００７年１２月１５日 東北大学
グラフの節点彩色
V の独立集合分割 ｛C1, …, Ck }
つまり，V = C1 ∪ …∪Ck
Ci ∩ Cj =  (i ≠ j )
E [Ci ] = 
応用例：機械スケジューリング
時刻
応用例：機械スケジューリング
時刻
色の数 = 機械の数 → 最小化
今日の話
コスト関数付き彩色問題 に対する
ロバストなアルゴリズム
コスト関数：色数最小化以外にもたくさんの目的関数がある
– Threshold Coloring [Bodlaendar, Jansen,95]
– Probabilistic Coloring [Murat, Paschos, 06]
– Entropy Coloring [Cardinal, Fiorini, Joret, 05]
…
ロバスト： どんな目的関数に対しても，そこそこいい解をくれる
– 前もって目的関数が分らなくてもいい（オンライン問題）
– 途中で目的関数が変わってもいい
コスト関数付き彩色問題
問題
入力: 無向グラフ G = (V, E), コスト関数 g: 2V → Q
制約：
{C1, C2 ,…, Ck }： Vの彩色
目的関数： g(C1) + g(C2) + …+ g(Ck) →最小化
コスト関数 g: 重み依存
ある w: V → Q, f : Q → Q に対して
g(C) = f ( w(C) )
ただし， w(C) = vC w(v)
応用例：機械スケジューリング
w: 仕事を外注した時の料金
4
2
機械1台の値段
f (w(C)) := min{w(C), 7 }
6
1
2
2
5
3
2
5
9
6
応用例：機械スケジューリング
機械1台の値段
w: 仕事を外注した時の料金 f (w(C)) := min{w(C), 7 }
コスト= 7
4
5
2
コスト= 4
コスト= 7
2
6
5
コスト= 7
コスト= 4
2
3
2
1
6
9
合計：29 = 3台の機械を買って，残りの仕事は外注したときの値段
彩色問題の色々なコスト関数
色数最小化
Rent or Buy
g(C) = f (w(C)):=1
g(C) = f (w(C))
= min { w(C), T }
f
多段階
f
f
T
w(C)
エントロピー
g(C) = f (w(C))
= －w(C) ln(w(C))
w(C)
w(C)
重み依存
重み非依存
e/(e-1)‐近似
確率的
g(C):= 1－vC (1-w(v))
f
Lpノルム
1
w(C)
g(C):= (vC w(v)p )1/p
結果
f : 単調非減少・凸は
|V |色で塗るのがコスト最小
ｆ ：単調非減少・凹
ｆ ：単調非減少
G:インターバル
など
４‐近似
８‐近似
G:パーフェクト
w(v) = 1, v V
６‐近似
１２‐近似
彩色問題の色々なコスト関数
色数最小化
Rent or Buy
g(C) = f (w(C)):=1
g(C) = f (w(C))
= min { w(C), T }
f
多段階
f
f
T
w(C)
エントロピー
g(C) = f (w(C))
= －w(C) ln(w(C))
w(C)
w(C)
重み依存
重み非依存
e/(e-1)‐近似
確率的
g(C):= 1－vC (1-w(v))
f
Lpノルム
1
w(C)
g(C):= (vC w(v)p )1/p
集合関数によるアプローチ
g : polymatroid
• U  W, v  W ⇒ g(U + v) + g(W)  g(U) + g(W +v)
• U  W ⇒ g(U)  g(W)
• 0  g(U)  |U |
定理 [Gijswijt, Jost, Queyranne, 06]
G: 補インターバルグラフ，コスト関数 g: polymatroid
のとき，コスト最小化彩色問題はNP-困難．
集合関数によるアプローチ
g: value-polymatroid
• g(U)  g(W), v  U ⋃ W ⇒ g(U + v) + g(W)  g(U) + g(W +v)
• U  W ⇒ g(U)  g(W)
• 0  g(U)  |U|
定理 [Gijswijt, Jost, Queyranne, 06]
G: 補インターバルグラフ，コスト関数 g: value-polymatroid
のとき，コスト最小化彩色問題は多項式時間計算可能．
f : 単調凹関数のとき
ポイント： k 色部分グラフ問題のアルゴリズムを
繰り返し適用
k色部分グラフ問題
問題
入力: グラフ G = (V, E), 重み w: V → Q
制約： G[U] が k-彩色可能
目的関数： w(U) → 最大化
次のグラフクラスに対して，多項式時間アルゴリズム
–
–
–
–
インターバルグラフ [Yannakakis, Gavril, 87]
置換グラフ [Saha, Pal, 03]
比較可能グラフ [Cameron, 85]
補比較可能グラフ [Frank, 80]
アルゴリズム：凹関数
1. L := lg χ(G)
A1
A0
AL
A2
AL-1
for i := 0 to L－1
2. 最大重み2i色部分グラフ
Ai  V を求め，2i色で塗る
3. G := G － Ai
end for
4. 残った節点をALとし，χ(G)
色で塗る
アルゴリズム解と最適解の比較
2i色
アルゴリズムの解：
・・・
A0 A1 A2
 χ(G)色
・・・
AL-1 AL ・・・ AL*
Ai
最適解：
2i-1色
L* = log χOPT
L*  L
・・・
B0 B1 B2 B3
・・・
Bi
BL*-1 BL*
アルゴリズム解と最適解の比較
1+20+21+・・・
+2i-1 = 2i色
B0 ⋃ B1 ⋃
A0 ⋃ A1 ⋃ ・・・
⋃ Ai-1 ・・・ ⋃ Bi
 w(Ai)
w(A0)+w(A1)+ ・・・ +w(Ai)  w(B0)+w(B1)+ ・・・ +w(Bi) for i
近似比
w(A0)+w(A1)+ ・・・ +w(Ai)  w(B0)+w(B1)+ ・・・ +w(Bi) for i
w(Ai)+w(Ai+1)+ ・・・ +w(AL*)  w(Bi)+w(Bi+1)+ ・・・ +w(BL*) for i
アルゴリズムのコスト
i f ( w(A ) / 2i )
 L*
2
i=0
i
凹性より
i f ( w(B ) / 2i ) 単調・凹性と
 L*
2
i=0
i
上の関係より
1
2
1
Bi
最適解のコスト
Bi+1
2

2i-1
最適解のコスト
の重み
…
…
の重み

w(Bi+1)/2i
2i
L*-1 i-1
 f (w(B0)) + i=1
2 f ( w(Bi+1) / 2i )
よって，
アルゴリズムのコスト
最適解のコスト

L*
i=0
f (w(B0)) +
2i f ( w(Bi) / 2i )
L*
i=2
2i-2
f ( w(Bi) /
2i-1)
4
k 色部分グラフ問題の(α, β)-近似
問題
最大化： w(U)
制約：
G[U] が k-彩色可能
U  V が次の条件を満たすとき， (α, β)-近似解であるという．
(ただし， α, β  1).
• G[U] が αk色で彩色可能
• 最適解 U* に対して，w(U*)  βw(U)
•
最適解 U* に対して，βw(V－U*)  w(V－U)
定理
G: パーフェクトグラフのとき，t に対し α = t, β = t /(t -1).
特に，t = 1.5 とすれば，α = 1.5, β = 3.
近似比
w(A0)+w(A1)+ ・・・ +w(Ai)  w(B0)+w(B1)+ ・・・ +w(Bi) for i
w(Ai)+w(Ai+1)+ ・・・ +w(AL*) (w(Bi)+w(Bi+1)+ ・・・ +w(BL*)) for i
×β
アルゴリズムのコスト
i f( w(A ) / 2i )
 L*
2
i=0
i
凹性より
L*
i=0
 2i f ( w(Ai) /  2i )
L* i
 i=0
2 f( w(Bi) / 2i ) 単調・凹性と
L*
i=0

2i
f(  w(Bi) / 
2i
上の関係より
)
近似比
=
L*
i=0
3・2i-1 f ( w(Bi) / 2i-1 )
L*
i=0
2i f ( w(Bi) / 2i )
アルゴリズムのコスト
最適解のコスト

L*
i=0
2i f( w(Bi) / 2i )
L*
f(w(B0)) + i=2
2i-2 f( w(Bi) / 2i-1 )
6
4
ロバスト性（単調凹コスト関数）
アルゴリズムはf を見ずに解を計算している!!
⇒ アルゴリズムが計算する解は任意のコスト関数の
最適解を同時に近似 !!!
定理：
k色部分グラフ問題が解けるグラフクラスに対しては，
ロバストな4-近似解，パーフェクトグラフに対しては，
ロバストな6-近似解が多項式時間計算可能．
定理：
グラフクラスに関わらず，ロバストな4-近似解となる
彩色が存在する．
f : 単調関数，w(v)=1 (vV)
のとき
ポイント： f から単調凹関数を作って，ア
ルゴリズムを適用する
単調コスト関数 f → f*
|C|=x
f(x)
C*1 C*2 ・・・
C*x/y
|C*i |  y
f *(x):=min1yx f(y)・x/y
Cの コスト  Cの コスト  C*の コスト
x
f* →f**
f **:=最小凹関数 s.t. f **  f*
f *(x):=min1yx f(y)・x/y
2×Cの コスト  Cの コスト  Cの コスト
x
2近似
Cの コスト  Cの コスト  C*の コスト
2×Cの コスト  Cの コスト  C の コスト
2×OPTの コスト 
2×OPTの コスト 
 ×OPTの コスト  ALGの コスト
 ALGの コスト  ALG*の コスト
定理
f : 単調関数，w(v)=1 (v  V) のとき， 多項式時間で
2-近似可能．ただし， は単調凹関数に対する近似比．
ロバスト性（単調コスト関数）
アルゴリズム
1. 凹関数 f ** に対する-近似解を求める．
⇐ 関数は見ない
2. 近似解の各色 C に対し，y*:= arg min1 y  |C| f(y) ・ |C| / y
を計算し，Cをサイズy*以下の色に分割する．
⇐ f を見る
定理
分割によって，任意の単調コスト関数，w(v)=1 (v  V)に
対する8-近似解が得られるような彩色が存在する．
まとめ
彩色問題と色々なコスト関数
k色部分グラフ問題と(α, β)-近似
単調凹コスト関数，重みつきの場合とロバスト性
単調コスト関数，重み一定の場合とロバスト性