Transcript カーナビ

GPSと相対論
金野 幸吉
GPS (Global Positioning System)
使用例：カーナビ
GPS 衛星 (1)
軌道：
高度 約2万km
赤道面から
55度の角度
周期12時間
1つの軌道に
4個の衛星が
上がっている。
GPS 衛星 (2)
同様な軌道が
6つあり、
計24個の衛星が
上がっている。
地球上のどこに
いても、最低で
4個以上の衛星から、
信号が受け取れる。
GPS 衛星 (3)
各衛星には正確な
原子時計が搭載
されている。
常に自分の位置と
時刻の情報を
四方八方に
放射している。
NASAのWebページから引用
衛星からの位置決定 (1)
各衛星が信号を発した
時刻と位置をそれぞれ
( ti , xi )
ここで、i = 1, 2, 3, 4 と
する。また、受信側の
時刻と位置を
( t0 , x0 )
とする。
衛星からの位置決定 (2)
解くべき方程式：
c (t0  ti )  x0  xi
t0 を消去
c (ti  t j )  x0  x j  x 0  xi
３つの式から、x0 の３成分が最終的に求まる。
原子時計の精度
N. Ashby, Living Review in Relativity, Vol. 6, 2003-1
１日＝86400秒 放置したセシウム原子時計に対して、
誤差は、約4ナノ秒しかない。
光速： c = 3×108 m/s
例えば、DL = 10 m の精度を出すためには、
DL
Dt 
30 ns
c
の精度が必要！
原子時計は、これに十分な精度を持っている。
相対論的補正
点Ａ、点Ｂでの時刻の関係
tA
2
2

 A   B v A  vB

1 
2
2
c
2
c


 tB

補正項の大きさ ～ 1010
1日＝86400秒もすると、8.64マイクロ秒もずれる。
長さに換算すると、DL = c Dt ~ 2.6 km もずれてしまう。
要するに、
我々は、相対論、つまり、アインシュタインの
お陰で安心して目的地に着くことはできる。
工学部に居る限り、
「相対論は関係ない」
とは言えない。