Transcript 演習Ⅲ課題紹介 交通流解析

情報科学演習Ⅲ
今井研究室 研究室紹介
2004年４月９日
今井研究室について
研究テーマ
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情報科学の基本的な理論となる
アルゴリズム論
アルゴリズムの設計による問題の解析



離散数学等の手法
計算量の解析
理論から応用、実用へ
→アルゴリズムが適用できる場面を
自分で見つけていく。
現在の研究
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量子計算/量子情報理論
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交通流解析（ITS:高度交通システムの検討）
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多項式の因数分解
ネットワーク
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多面体/マトロイド
計算代数
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
速度分布図による交差点・バス停留所の識別
計算幾何/計算位相


ERATO（今井量子計算機構プロジェクト）との連携
量子計算量、量子通信、量子暗号
TCP/IPの振る舞いの解析
組合せゲーム理論

計算量解析/パズル問題の自動作成
研究テーマ間の関連
量子計算
量子情報理論
文字列処理
マッチング
車両の
同定
車両軌跡
の比較
交通流解析
古典理論
群論
多面体
の解析
計算幾何
計算代数
組合せ論
ゲーム理論
グラフ理論
ネットワーク
演習Ⅲ研究テーマ
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交通流解析
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計算代数とその応用
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

グレブナー基底
量子計算/量子情報

COMPUTATIONAL GROUP THEORY --- Towards Quantum Computing

量子情報における加法性問題
有向マトロイド計画


交通の円滑化に役立つアルゴリズムの発案
超平面にトポロジカルな変形を施した擬超平面を用いた，線形計画の一般化
対称性のある凸多面体に関する計算
--- 量子情報への展開
その他、取り組みたい題目を挙げていただければ応援･協力します。
演習Ⅲ：研究と発表

毎週水曜日13：00から102号室にて行います。
（他の授業等がある場合には別の日程を設定します）

１週目 テーマ設定
（各期開始頃にメールで連絡します。）


２週目以降 研究の進行状況を発表
質問等は演習Ⅲ担当者の柴田（[email protected]）に
メールで連絡をお願いします。
研究室（311・314）へお越しいただいても構いません。
研究室ホームページ：http://www-imai.is.s.u-tokyo.ac.jp/index-j.html
ERATOホームページ：http://www.qci.jst.go.jp/
情報科学演習Ⅲ
---交通流解析--中山 裕貴（博士１年）
山田 崇（修士２年）
柴田 輝之（修士１年）
ITS（Intelligent Transport
System)

最先端の情報通信技術を用いた新しい交
通システム
ナビゲーションシステムの高度化
 自動料金収受システム （ETC）
 交通管理の最適化→旅行時間の推定
 道路管理の効率化→道路状況の把握
 緊急車両の運行支援
など９つの開発分野（国土交通省）

住友電工と共同研究を行っています
研究の目標

GPSやカーナビゲーションシステムによっ
て得られた車両の軌跡データを基に、輸送
効率や安全性等を改善するアルゴリズム
の検討を行う。
新しいシステムを
発案していく
車両の軌跡データは、毎秒における車両の
緯度・経度（及び地図上の点）、速度、進行方位等で構成されている。
具体的なテーマ

渋滞の始点や終点を判定する。または、渋
滞中であるかどうかの基準を作成する。
（軌跡データに対応するビデオによって、正解を確認する
ことができます。）


同一経路を走行している多数の軌跡デー
タを比較する。
交差点や停留所、料金所といった地点に
おける軌跡データの特徴を読み取る。
ＧＰＳによる車両軌跡データ
毎秒の軌跡が地図上に
プロットされる
速度と方位
（0と65536が北、
32768が南）から
左折しているとわかる
渋滞中の速度変化
５分間の平均だったら？
直前１ｋｍの平均だったら？
基準値（閾値）は？
最高速度が低い
走行時間が短い
停止位置分布の比較
例：同一経路を走るバスの軌跡データ（90回分）について、速度０のものに注目
信号（交差点）と停留所では分布の特徴に違いがあるだろうか？
情報科学演習III
--- 計算代数とその応用 --中山 裕貴（博士１年）
ベック 和穂エリック（修士２年）
計算代数とは
多項式の因数分解
 連立方程式の求解
 多項式のGCDの計算
等を、高速・正確に計算する手法を考える

応用 ･･･ 符号理論、整数計画問題、
イデアルの準素分解 etc…
多項式の因数分解


（特に多変数の場合）難しい
従来のアルゴリズム



Berlekampの方法（有限体上での分解）
Lattice Reductionによる方法
上２つを組み合わせた、Hoeijによる
新しいアルゴリズムの提案
（これについての論文を講読してもらう予定）
グレブナー基底



多項式イデアルの良い生成元
連立方程式の解を逐次的に計算
f ( x, y, z )  0
応用分野：
f ( x, y, z )  0
1
2



g1 ( x, y , z )  0
g 2 ( y, z)  0
g3(z)
0
f ( x, y, z )  0
イデアルの準素分解
Ideal membership問題
（多項式 g を、多項式 f 1 ,  , f n を用いて
g  h1 f 1    h n f n と表せるか？）
グレブナー基底が有用
3
演習３の内容（例）

計算代数に関するテキスト・論文の購読



因数分解アルゴリズム[Hoeij 2000]
Comprehensive グレブナー基底
[Suzuki et al. 2003]
アルゴリズムの実装・評価
（余裕があれば）


予備知識はあまり必要としません
他に何かやりたいことがあれば、
それをやるのも歓迎します
情報科学演習III：量子計算
Francois Le Gall（博士２年）
長谷川淳（修士２年）
量子計算

一回の演算で複数の古典の結果が得られる
f
 x     y   f ( x)     f ( y)
指数の
記号列の重ね合わせ

観測
得られる情報は一つだけ（ｆ（ｗ））
そこで欲しい情報を得る工夫をする
観測
 f ( x)     f ( y)
工夫
最終状態
量子計算の力

Shorの因数分解アルゴリズム
多項式時間で整数の因数分解が可能

RSA暗号を破れる可能性あり
量子計算が注目されている
今井研での量子計算

研究分野

量子アルゴリズム
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


構築
シミュレーション
量子暗号
量子情報
演習IIIの課題

論文を読んで、知見を深める
演習３の研究課題の例：量子計算と群論
隠れ部分群問題（HSP)
入力：群G、Gの部分群Hへのオラクルアクセス
問題：Hを多項式時間で求める
• Shorの素因数分解アルゴリズムはHSPのSpecial case ( G  Z n )
• 正２面体群上のHSPが解けるなら格子問題を解くことができる。
• 正２面体群上のHSPの場合、テクニックや結果が多いが効率の
いいアルゴリズムが知られていない。
課題：計算群論
ー量子アルゴリズムに向けて一
正２面体群 D n について
定義：正ｎ角形を自分自身に移す運動全体のつくる群
位数：２ｎ （ ｎ 回転 ＋ ｎ 対称変換 ）
例： n=4
s1
s2
r
s3
r 3 / 2
s4
i
r / 2
Id
４対称変換
s1 ( r / 2 )
r  r / 2 r / 2  ( r / 2 )
2
r3  / 2  r / 2 r / 2 r / 2  ( r / 2 )
Id  ( r / 2 )
0
４回転（Idを含む）
0i3
( r / 2 )
i
0i3
(0, i ) 0  i  3
(1, i ) 0  i  3
D4
Z 2  Z 4  (a , b ) a  Z 2 , b  Z 4 
3
一 般 的 に 、 Dn  Z 2  Z n  (a , b ) a  Z 2 , b  Z n 
その群上の和は？
半直和
( a , i )  ( a , j )  ( a  a  m od 2,  i  j m od n )
( a , i )  ( a , j )  ( a  a  m od 2, i  j m od n )
if a   1
if a   0
( Z 2  Z n ,  )  ( Dn , )
演習３課題の例:
• ( Z 3  Z n ,  ) ， ( Z 4  Z n ,  ) , ．．．の構造？
• ( Z 2  Z n ,  ) のように、幾何的な意味がある？
計算群論のソフト
（GAP, …)の使用
• （課題の理由：大事な問題がそんな群上のHSPに帰着する可能性あり
量子コンピュータで解ける可能性あり）
有向マトロイド計画
森山 園子
2004年度 情報科学演習Ⅲ
April 9, 2004
線形計画 (Linear Programming)
x3
1
線形計画の許容領域
＝半空間の共通部分として
与えられる凸多面体
O
min x1 + 2x2 + 3x3
s.t. x1 + 2x3 ≦3
x2 + 2x3 ≦2
x1, x2, x3 ≧0
2
x2
(1,0,1)
3
目的関数を減少させる方向で
凸多面体の頂点を辿り
x1
目的関数を最小化する頂点を探索
(3,2,0)
超平面  擬超平面
超平面
hyperplane
擬超平面
pseudohyperplane
目的関数の振る舞い
線形計画
常に Acyclic
有向マトロイド計画
Cyclic になる場合有り
課題内容
• 有向マトロイド計画の基礎を学ぶ
• 関連論文を読む
• 既存プログラムを拡張する
– OMLIB [Finschi & Fukuda (2001)]
– Oma-win [Bokowski (1999)]
Encyclopedia of Mathematics
and Its Applications 46
“Oriented matroids (Second Edition)”
情報科学演習III
対称な多面体の凸包計算と
量子情報処理への展開
伊藤剛志（今井研 博士1年）
対称性とアルゴリズム
対称性が高速化の役に立つ例
右のグラフで、ある頂点から
出発して全部の頂点を
ちょうど1度ずつ通る道
（ハミルトン道）を求める
 どこから出発しても同じ
なので、すべての出発点を
試すのは無駄
凸包問題
凸多面体の表現を変換する問題
連立不等式
頂点集合
凸包問題の困難さ
次元
頂点数
次元
時間
が高くなると指数的に時間がかかる
入力が対称な場合で重要なケースがよくある
• カット多面体
• 線形順序多面体
 対称性を利用して高速化できないか?
量子情報処理への展開
• 量子計算: 量子状態特有の性質を使った計
算
• エンタングルメント
• 超並列性
• Bell 不等式
– 量子状態がエンタングルメントを持つかどうかを
検査するための式
– ある対称性の高い高次元の凸多面体の不等式
表現を求めると見つかる
他の研究分野との関連
計算幾何
凸包問題
量子情報処理
Bell 不等式
計算群論
対称性を取り扱う道具
演習IIIの内容
• 関連文献の講読
– 対称性を見つけるアルゴリズム
（グラフ自己同型問題など）
– 対称性を利用した探索
– 凸包問題のアルゴリズム
– 群論
など