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電磁気学C
Electromagnetics C
6/1講義分
電磁波の反射と透過
山田 博仁
異なる媒質の界面における境界条件
誘電率 e1, e2 の異なる媒質が接している界面
界面には真電荷が面密度 e にて存在
界面での電束密度 D に対して、どのよう
な条件が満たされなければならないか?
電場に関するGaussの法則を、界面に
存在する高さが無限小の円柱に適用
 div D dV
V

 D  n dS   
S
e
5.3 (教科書p.64) の復習
単位法線ベクトル
界面 D n S 界面での
1
真電荷密度
e1
e
+
+
+
+
+
+
e+2
D2
-n
dS
S
Gaussの定理
従って、
( D1  D 2 )  n S   e S
上式は、任意の面 S に対して成り立つことから、 ( D1  D 2 )  n   e
表面電荷 e が存在しなければ、 D 1  n  D 2  n
異なる媒質の界面における境界条件
誘電率 e1, e2 の異なる媒質が接している界面
界面での電場 E に対して、どのような条
件が満たされなければならないか?
Faradayの電磁誘導の法則を、図のように
界面の一部を囲む高さ h が無限小の長
方形 S に適用
 rot E  d S  
S

S
B
t
界面 l t
e1
e2
E1
h
CE t
2
S
t: 単位接線ベクトル
 dS
ここで、B/t は境界面の近くで有限であるから、S→0の極限で右辺の積分は
ゼロになる
従って、Stokesの定理を用いると左辺は、
 rot E  d S   E  d r  ( E
S
1
 t  E 2  t )l
C
従って、 ( E 1  t  E 2  t )  l  0
上式は、任意の l の長方形に対して成り立つことから、 E 1  t  E 2  t
異なる媒質の界面における境界条件
9.4 (教科書p.146) の復習
透磁率 m1, m2 の異なる媒質が接している界面
単位法線ベクトル
界面 B n S
界面での磁束密度 B に対して、どのよう
な条件が満たされなければならないか?
磁場に関するGaussの法則を、界面に
存在する高さが無限小の円柱に適用
 div B dV
V

 B  n dS
m1
m2
0
S
Gaussの定理
従って、 ( B 1  B 2 )  n S  0
上式は、任意の面 S に対して成りたつことから、
( B1  B 2 )  n  0
よって、
B1  n  B 2  n
1
-n
B2
異なる媒質の界面における境界条件
透磁率 m1, m2 の異なる媒質が接している界面
界面には伝導電流が面密度 ie にて存在
界面 l t
界面での磁場 H に対して、どのような
条件が満たされなければならないか?
m1
m2
Ampere-Maxwellの方程式を、図のように
界面の一部を囲む高さ h が無限小の長
方形 S に適用
 rot H  d S 
S

S
D
t
 dS 
i
e
C
H2 t
ie: 界面での
伝導電流密度
H1
ie
h
S
t: 単位接線ベクトル
 dS
S
ここで、界面に表面電流が存在しない限り、ie も D/t も境界面の近くで有限で
あるから、S→0の極限で右辺はゼロになる
従って、Stokesの定理を用いると左辺は、
 rot H  d S   H  d r  ( H
S
従って、
C
H1 t  H 2 t
1
 t  H 2  t )l
異なる媒質の界面における境界条件
電束密度の法線成分は連続
電場の接線成分は連続
E1  t  E 2  t
e1
e2
E1  t
D1  n  D 2  n
E1
E2
e1
e2
D2  n
E2 t
m1
m2
H1 t
D1  n
D2
磁束密度の法線成分は連続
磁場の接線成分は連続
H1 t  H 2 t
D1
表面電荷が
存在しない場合
表面電流が
存在しない場合
H1
H2
H 2 t
B1  n  B 2  n
m1
m2
B1
B2  n
B1  n
B2
界面での反射と透過
2種類の媒質が xy 平面 (z = 0) を
境に接しており、 z>0 を媒質Ⅰが、
z<0 を媒質Ⅱが満たしている。平
面電磁波が媒質Ⅰから媒質Ⅱに
入射角 qi で斜め入射し、その一
部が反射角 qr で反射され、また
その一部が透過角 qt で媒質Ⅱ
内に透過する場合を考える。
入射波、反射波および透過波の波
数ベクトルと角周波数をそれぞれ
(ki, i), (kr, r) および (kt, t) とし、
電場は xy 平面上に、磁場は y 成
分のみとする。
z
Er
Hi
Ei
媒質Ⅰ
媒質Ⅱ
波の位相
入射波
k i  r   i t  k i sin q i x  k i cos q i z   i t
反射波
k r  r   r t  k r sin q r x  k r cos q r z   r t
透過波
k t  r   t t  k t sin q t x  k t cos q t z   t t
qi
qr
ki
kr
Hr
x
y
kt
qt
Et
Ht
界面での反射と透過
境界面 (z = 0) 上の全ての点で、任意の時刻に波の位相が等しくなるので、
i  r  t
この条件が成立しなければならない
k i sin q i  k r sin q r  k t sin q t
k 

v
r  i
の関係より、媒質Ⅰ内で電磁波の速度 v1 は入射波、反射波に共通なので、
ならば、 k r  k i
従って、 q r  q i
sin q i
sin q t
ki
(反射の法則)

kt
ki

v1
v2
v1
(Snellの法則)
v1 と v2 は、それぞれ媒質Ⅰ、Ⅱ
内を進む電磁波の速度
qi
qr
kr
媒質Ⅰ
媒質Ⅱ
v2
qt
kt
界面での反射と透過
E と H の接線成分の連続性より、
入射波
qr  qi
z
E i  ( E ix , 0 , E iz )  (  E i cos q i , 0 ,  E i sin q i )
Hi
 E

H i  ( 0 , H iy , 0 )   0 , i , 0 
 Z1

反射波
E r  ( E rx , 0 , E rz )  (  E r cos q r , 0 , E r sin q r )
Er
Ei
媒質Ⅰ
媒質Ⅱ


E
H r  ( 0 , H ry , 0 )   0 ,  r , 0 
Z1


透過波
E t  ( E tx , 0 , E tz )  (  E t cos q t , 0 ,  E t sin q t )


E
H t  ( 0 , H ty , 0 )   0 , t , 0 
 Z2

Z1, Z2は、それぞれ媒質1, 2の電磁インピーダンス
qi
qr
ki
y
Hr
kr
x
kt
qt
Ht
Et
界面での反射と透過
次に、電磁波の振幅について考えると、界面での電場 E および磁場 H の接線成分
の連続性より、
E ix  E rx  E tx
H iy  H ry  H ty
従って、
 E i cos q i  E r cos q r   E t cos q t
Ei

Z1
Er
Z1

Et
Z2
E i cos q i  E r cos q i  E t cos q t
Z 2 Ei  Z 2 Er  Z1Et
上式から Et を消去すると、
r 
Er

Ei
Z 2 cos q t  Z 1 cos q i
Z 1 cos q i  Z 2 cos q t
(電界反射係数)
上式から Er を消去すると、
t
Et
Ei

2 Z 2 cos q i
Z 1 cos q i  Z 2 cos q t
(電界透過係数)
界面での反射と透過
因みに、磁界に対する反射係数および透過係数を求めてみると、
 Er
Hr
Et
Z1

Ei
Hi

Er
Ht
 r
Ei
Z1

Hi
Z2
Ei
Z1

Z1 Et

Z 2 Ei
Z1
t
Z2
媒質の屈折率 n は、真空中での光の速度 c と媒質中での光の速度 v の比で表され、
n
c

1
v
1
e 0m0
em

em
e 0m0

e re 0 m r m 0
e 0m0

ermr
特に、媒質1と2が非磁性の場合には m1 = m2 = m0 が成り立ち、それぞれの媒質の
屈折率は真空の固有インピーダンス Z0 を用いて、
n1 
c
v1

e r1 
m0 e0
m1 e 1

Z0
Z1
n2 
c
v2

e r2 
m0 e 0
m2 e2
従って、反射係数と透過係数は、
r 
n1 cos q t  n 2 cos q i
n1 cos q t  n 2 cos q i
t
2 n1 cos q i
n1 cos q t  n 2 cos q i

Z0
Z2
と表せる。
界面での反射と透過
垂直入射の場合には、qi = qt = 0 とすることにより反射係数と透過係数は、
r 
n1  n 2
t
n1  n 2
i
2 n1
r
n1  n 2
n1
入射波のエネルギー流に対する反射波と透過波のエネルギー流の
比をそれぞれ反射率 R および透過率 T という。
n2
t
入射波、反射波、透過波のエネルギー流はそれぞれ、
E i H i cos q i  E i
Ei
Z1
E i cos q i
2
cos q i 
Z1
2
 Er 
Er
 cos q r  
E r H r cos q r  E r  
cos q r

Z
Z
1 
1

入射波
Z1
E t H t cos q t  E t
Et
Z2
cos q t 
E
Z2
cos q t
qi
qr
媒質Ⅰ
媒質Ⅱ
Z2
2
t
反射波
qt
透過波
界面での反射と透過
従って、反射率 R と透過率 T は、
R 
T 
E r H r cos q r
E i H i cos q i
E t H t cos q t
E i H i cos q i
 E r cos q r / Z 1
2


E i cos q i / Z 1
2
E cos q t / Z 2
2
t
2
i
E cos q i / Z 1

2
2

Er
2

Ei
Er
 r
 qi  qr
2
Ei
Z 1 cos q t E t
Z 2 cos q i E i
2

Z 1 cos q t
Z 2 cos q i
t
2
T  1 R
屈折率 n1, n2 で表せば、反射率 R と透過率 T は、
R 
 n1 cos q t  n 2 cos q i 2
 n1 cos q t  n 2 cos q i 2
T 
4 n1 n 2 cos q i cos q t
 n1 cos q t
 n 2 cos q i 
2
完全導体による電磁波の反射
導電率  = ∞ の完全導体による電磁波の反射
完全導体の中には変動電磁場は全く浸透できないため、表面における電磁波の
境界条件は、
電場の法線成
E t  0
電場 E
導体表面に
分 Et は必ずし
電荷が現れる
B n  0
もゼロではない
場合がある
En ≠ 0
完全導体
=∞
E=0
界面での電場の
接線成分 Et はゼロ
磁場の接線成
導体表面に
電流が流れる 分 Ht は必ずし
もゼロではない
場合がある
Ht ≠ 0
完全導体
変動磁場
B  0
静磁場
B0  0
完全導体
静磁場に対
しては必ずし
もゼロでない
E=0
磁場の法線成
分 Bn はゼロ
Bn = 0
完全導体
変動磁場 静磁場
B  0
B0  0
完全導体による電磁波の反射
z < 0 の領域を固有インピーダンス Z の媒質が占め、x, y (z = 0) 平面を境にして
z > 0 の領域の完全導体と接しているとする。さらに、電磁波は x 方向に偏光し
た正弦波とし、その角周波数を  とする。媒質中 (z < 0) から導体界面に対して
垂直に入射した場合を考え、電場と磁場を入射波と反射波の和として表せば、
E x  E ix  E rx  E i 0 cos( kz   t )  E r 0 cos( kz   t )
H
y
 H iy  H ry 
k   em
1
Z
E i 0 cos( kz   t )  E r 0 cos( kz   t ) 
x
媒質: Z
Eix
Hiy 入射波
は電磁波の波数
反射波 0
完全導体中への透過波は存在しないため、導体表面で Hry Erx
Ex = 0 であり、
Ei0  Er 0  0
従って、媒質中の電磁場は、
E x  E i 0 cos( kz   t )  E i 0 cos( kz   t )  2 E i 0 sin kz sin  t
H
y

1
Z
 E i 0 cos( kz   t )  E i 0 cos( kz   t )  
完全導体
2
Z
E i 0 cos kz cos  t
z
完全導体による電磁波の反射
反射端(導体表面)
l
入射波
反射波
定在波
定在波の腹の位置
定在波の節の位置
出展: http://www8.plala.or.jp/ap2/chishiki/teizaiha.html
電場の節は、kz = np (n は整数)の関係から求められ、
z
np
l 
 n 
k
2
(n は整数)
となる。同様にして、磁界の節は kz = (n+1/2)p より、
1  l 

z   n   
2  2 

(n は整数)
ベクトル解析の復習
重要なベクトル恒等式
ラプラシアン
 
rot grad     (   )  0
div rot E    (   E )  0
div grad     (   )      
2
(   ) E   E
( スカラー場 )
rot rot E    (   E )   (   E )   E
x
2

V
n
x
2
y


2

2
y
2
1 
2
c t
2

2
 F  d r   (   F )  n dS
C
S
F
dS
2
ストークスの定理
 F  n dS     F dV
S

2

ガウスの定理

2
S
V

2
z
2

2
ダランベルシアン
□
( ベクトル場 )

n
F
S
dS
C
dr
z
2

1 
2
c t
2
2
ベクトル解析の復習
演算子∇(ナブラ)とラプラシアンの意味
    

  
,
,
 x y z 
2
2
 2


       2  2  2
 x  y  z




勾配(gradient)
  ( x )  ( x )  ( x )   ( x )
 ( x )
 ( x )
 
grad  ( x )    ( x )  
,
,
ex 
ey 
ez
y
z 
x
y
z
 x
発散(divergence)
div E ( x )    E ( x ) 
E x ( x )
x

E y ( x )
y

E z ( x )
z
ナブラ∇とE(x)のスカラー積
スカラー積(内積)
A  B  Ax B x  A y B y  Az B z
ベクトル解析の復習
回転(rotation)
rot E ( x )    E ( x ) 
ex
ey
ez



x
Ex(x)
y
E y (x)
z
Ez (x)
 E z ( x ) E y ( x ) 
 E y ( x ) E x ( x ) 
 E x ( x ) E z ( x ) 
e x  

e z
 


e



y


z
x 
 y 
 z
 y

 x
ナブラ∇とE(x)のベクトル積
ベクトル積(外積)
ex
ey
ez
A  B  Ax
Ay
A z   A y B z  A z B y e x   A z B x  A x B z e y   A x B y  A y B x e z
Bx
By
Bz