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電気回路学
Electric Circuits
情報コース4セメ開講
分布定数回路
山田 博仁
波の反射
1. 半無限長線路 (x→∞)
送電端
Vs
Is
Ix
Zin
Z0
xs=x+l
Zx
l
無限長
Vx
x
無反射 V0 e 0
x
Vx Vs e l Vs e ( j ) l
Vx
V0 e x V0 e x
Vs V0 e ( x l ) V0 e ( x l )
I x (Vs / Z 0 )e
l
I se
Zx
l
Vx
Z0
Ix
2. 特性インピーダンスZ0で終端した場合
送電端
Vs
Is
Zin
Ix
Z0
xs
V
Z in s Z 0
Is
l
Zx
Vx
x
I0 受電端
V0 Z0
V0
Z0
I0
x=0
Vx V0 e x Vs e l
無反射
I x (V0 / Z 0 )e x (Vs / Z 0 )e l I s e l
インピーダンス整合
波の反射
3. 受電端を短絡した場合
送電端 Is
Vs
Zin
Z0
xs
I0 受電端
Ix
Zx
V0=0
Vx
x=0
全反射
x
l
短絡
1
Z 0 I 0 (e x e x ) Z 0 I 0 sinh x 受電端では、入射波と反射波の振幅が等しい
2
1
任意の点より受電端の Z Vx Z tanh x
x
x
I x I 0 (e e ) I 0 cosh x
x
0
I
方を見たインピーダンス
2
x
Vx
定在波
3
3
t
0
5
2
2
3
2
2
x=0
44
2
電圧
電流
短絡
xs
x=0
波の反射
4. 受電端を開放した場合
送電端 Is
Vs
Zin
Z0
xs
Zx
3
3
t
0
5
2
2
V0
Vx
開放
x=0
全反射
x
l
1
Vx V0 (e x e x ) V0 cosh x
2
V
1 V0 x x
Ix
(e e ) 0 sinh x
2 Z0
Z0
定在波
I0=0 受電端
Ix
受電端では、入射波と反射波の振幅が等しい
任意の点より受電端の Z Vx Z coth x
x
0
Ix
方を見たインピーダンス
3
2
2
x=0
44
2
電圧
電流
開放
xs
x=0
波の反射と定在波
+x方向に進行する波
t = 0
4
2
3
4
l
反射波
反射端
定在波=進行波+反射波
x
定在波
l
反射端(全反射)
進行波
反射波
定在波
定在波の腹の位置
定在波の節の位置
反射端(r=0.5)
進行波
反射波
定在波
反射端(r=0.1)
進行波
反射波
定在波
出展: http://www8.plala.or.jp/ap2/chishiki/teizaiha.html
反射係数
V
Zx
Zx
Vx
1 Γx
Z0
Ix
1 Γx
x
Vx
Γx
Vx
Vx
x
V0
V0
Z0,
x
x
0
x
x
0
V V e , V V e
電圧反射係数
反射(電圧)波 Vx Vx Z 0 I x Z x Z 0
Γx
Γ 0 e 2 x
入射(電圧)波 Vx Vx Z 0 I x Z x Z 0
Zx 1 Γx
Z0 1 Γ x
V0
Γ0
V0
Z
x=0
Z Z0
Γ0
Z Z0
Z 1 Γ0
Z0 1 Γ0
電流反射係数
V0 e x
反射(電流)波 I x I 0 e x
x x Γ 0 e 2 x Γ x
入射(電流)波 I x
I0 e
V0 e
電流反射係数 = -電圧反射係数
電力反射率
Vx I x
Vx I x
V0 e x I 0 e x
V0 e x I 0 e x
Γ x2
電力反射率=(電流反射係数)2 = (電圧反射係数)2
反射係数
1. 半無限長線路または、受電端を特性インピーダンスZ0で終端した場合
V
0
V x Gx=0
G0=0 無反射
Z x Z0
Vx 0
Z0,
x
j
V0 0 Z0 Z=Z0
G0
-1
1
x=0
-j
2. 受電端を短絡した場合
V x
1 e 2 x
Z x Z0
1 e 2 x
Γ x e
Vx
2 x
Z0,
x
3. 受電端を開放した場合
V x
1 e 2 x
Z x Z0
1 e 2 x
V
x
x
V0 G =-1 全反射
0
0
V
短絡
G
(Z=0) -1 0
x=0
Γx e
2 x
Z0,
V0
0
V
x=0
j
1
-j
G0=1
全反射
開放
(Z=∞) -1
j
G0
-j
1
反射係数
4. 受電端をインピーダンスZで終端した場合
V x Γ x Γ 0 e 2 x
1 Γ 0e 2 x
Z x Z0
1 Γ 0 e 2 x
Vx
Z0,
x
x
Vx
x
G0
V0
Z
0
Z0,
jG
0
q 1
-1
x=0
5.受電端をリアクタンスXで終端した場合
V x Γ Γ e 2 x
1 Γ 0e 2 x
Z x Z0
1 Γ 0 e 2 x
V0
-j
V0 |G |=1 全反射
0
0
V
x=0
j G0
q 1
X
-1
Z jX
q 2 tan 1
X
Z0
-j
演習問題
8.17
特性インピーダンス Z0, 伝搬定数 , 長さ l の線路に対応するF行列は、
l
Z0
cosh l
A B
1
C D Z sinh l
0
Z 0 sinh l
cosh l
AD BC cosh 2 l sinh 2 l 1
B
Z 02 Z 0
C
A
B
C
D
(8.26)式 p.170
従って、線路は相反(可逆)
BC
sinh 2 l
tanh l
AD
cosh 2 l
受電端を開放(I0 = 0)した線路で、受電端からの距離 x の点から受電端の方を見た
入力インピーダンス Zf は、
I0=0
l
Z 0 sinh x
cosh x
Vx
V0
1
I sinh x cosh x 0
Zf
Z0
V0
x Z
0
x
x =0
演習問題
よって、 Z f Vx
Ix
I 0 0
cosh x
Z 0 coth x
1
sinh x
Z0
受電端を短絡(V0 = 0)した線路で、受電端からの距離 x の点から受電端の方を見た
入力インピーダンス ZS は、
I0
l
Z 0 sinh x
cosh x
Vx
0
1
I
ZS
Z0
V0=0
sinh
x
cosh
x
I
0
x Z
0
x
x =0
よって、 Z S
Vx
Ix
V0 0
Z S Z f Z Z0
2
0
Z 0 sinh x
Z 0 tanh x
cosh x
ZS
tanh 2 x tanh x
Zf
演習問題
受電端に負荷 ZL を接続したときの、受電端からの距離 x の点から負荷の方を見た
入力インピーダンス Zin は、
I0
l
Zin
Z0
x
V0
ZL
V0 Z L I 0
x =0
Z 0 sinh x
cosh x
Vx
V0
1
sinh
x
cosh
x
I 0
Ix Z
0
よって、
Z0
( Z cosh x Z 0 sinh x)
Vx
Z L cosh x Z 0 sinh x sinh x L
Z in
Z
I x V Z I
Z L Z 0 coth x
L
sinh x cosh x
0
L 0
Z0
Z0
cosh x
sinh x
(Z L Z 0
)
Z coth x( Z 0 tanh x Z L ) Z f ( Z S Z L )
sinh x
cosh x
0
Z L Z 0 coth x
Z 0 coth x Z L
Z f ZL