Transcript I x

分布定数回路(伝送線路)とは
電圧(電界)、電流(磁界)は回路
内の位置に依存
TE, TM波
v(x, y, z, t), i(x, y, z, t)
E(x, y, z, t), H(x, y, z, t)
立体回路
x, y, z ≥ λ
x
λ
y
z
分布定数回路
λ
d
d≪λ
l≥λ
l
Maxwell方程式を解かなければ
ならない (電磁気学の範疇)
本章で扱う分布定数回路(伝送線路)
電圧、電流は線路上の位置に
依存 v(z, t), i(z, t)
TEM波
集中定数回路
d
x
l
y z
λ
これまでの章で扱ってきた回路
電圧、電流は回路部品内での
位置には依存しない v(t), i(t)
x, y, z, d, l≪λ
波長λ = c/f c: 光速度、f: 周波数
c = 約3×108 m/sなので、
f = 50Hzでは λ = 6,000 km
f = 3GHzでは λ = 10 cm
伝送線路(分布定数回路)
R
L
送電端
受電端
i+Δi
v+Δv
E
i
v
Δx
R: 線路単位長当りの抵抗 (W/m)
L: 線路単位長当りのインダクタンス (H/m)
C: 線路単位長当りの容量 (F/m)
G: 線路単位長当りのコンダクタンス (S/m)
i+Δi R Δx
v+Δv
ZL
x
L Δx
C Δx
Δx
微小区間の等価回路
x=0
C
G
i
G Δx v
線路の伝送方程式
伝送路微小区間 Δx の等価回路に対してキルヒホッフの法則を用いると、
 v  R  x ( i   i )  L  x{  ( i   i ) /  t }
 i  G  x  v  C  x (v / t )
従って、  v  R ( i   i )  L  ( i   i )
x
i
x
t
 Gv  C
v
lim
x  0
v
lim
t
x
i
x  0
x


v
x
i
x
 Ri  L
 Gv  C
i
t
v
伝送の
基礎方程式
t
v, i は x と t の関数、即ち v(x, t), i(x, t)
基礎方程式第1式の両辺を x について微分し、第2式と以下の関係式より、
 (i t )
x
 lim
 (i   i ) /  t   i  t
x  0
 lim
x
x  0
 ( i) / t
x
電圧或いは電流のみで表現した以下の線路方程式が得られる。
 v
2
x
2
 i
 RGv  ( RC  GL )
2
x
2
 RGi  ( RC  GL )
v
t
i
t
 v
2
 LC
t
 i
2
 LC
t
2
2
電信方程式あるいは伝送方程式
電圧(電流)が波動として伝送線路を伝搬
していく様子を表す波動方程式の一種
伝送方程式の定常解
v(t, x), i(t, x)正弦波交流(高周波)の場合を考えると、
v (t , x )  V x e
i (t , x )  I x e
j t
ここで、: 角周波数
と表せる
j t
Vx, Ixは位置 x の関数であるが時刻 t には依存しない(つまり、変数分離できる)とする
この仮定は今後様々な問題を扱う場合によく出てくるが、特に一般性は失われない
伝送の基礎方程式に当てはめると、
dV x
dx
dI x
dx
 ( R  j  L ) I x  zI x
式(8.8)
ただし、R + jL = z, G + jC = y と置いた
 ( G  j  C )V x yV x
上式より、
2
d Vx
dx
2
 zyV
x
波動方程式を得る
2
d Ix
dx
2
 zyI
x
(電信方程式からも直接導出できる)
波動方程式の解
波動方程式の一般解

V x  V0 e

0
Ix  I e
zy x
zy x

 V0 e

0
I e

zy x





V0 , V0 , I 0 , I 0
zy x
は積分定数
この一般解を式(8.8)の第2式に代入すると、


I 0  V0 /


I 0  V 0 /
z y,
z y
従って、

V x  V0 e
 x

 V0 e

Ix 
V0
Z0
 x

e
 x

V0
e
 x
Z0
 , Z0は、伝送線路を特徴づける
ここで、
    j 
yz ,
Z0 
z y
 : 伝搬定数
 : 減衰定数 単位: ネーパ(Np)
 : 位相定数 単位: ラジアン(rad)
ことから、線路の二次定数という
Z0: 特性インピーダンス 単位: オーム(W)
これに対して R, G, L, Cは、線路
の一次定数という
波長 λ = 2π /
周期 T =1/f = 2π /
線路の一次定数と二次定数
伝送線路を特徴付けるパラメータには、線路の一次定数と二次定数とがある
一
次
定
数
(実数)
R (W/m)
一次定数と二次定数との関係式
L (H/m)
C (F/m)
    j 
G (S/m)
二
伝搬定数 γ = α + jβ
次
定
減衰定数 (Np) 位相定数 (rad)
数
(複素数) 特性インピーダンス Z0 (W)
Z0 
( R  j  L )( G  j  C )
R  j L
G  j C
波の伝搬
時間依存因子ejt を含む伝送式
Vxe
j t

 x
 V0 e e
j t

 V0 e

I xe
j t

V0
Z0
 x
e
j t

 V0 e

 x
e e
j t

V0
Z0
x
e
j ( t   x )

 V0 e

e
 x
e
j t

V0
 x
e
j ( t   x )

e
x
e
j ( t   x )
Z0

V0
e
 x
e
j ( t   x )
Z0
ej(t±x) は、∓x方向に進む角周波数 , 位相定数  の正弦波を表す
何故なら、ej(t±x) =cos(t±x)+j sin(t±x)
ここで、
x

V0 e
x


( v p )
vp: 位相速度
は波の振幅を表し、 >0 ( <0)なら、xが増大する方向に振幅が増大(減少)する
因みに、波の包絡線の
形状が伝わる速度を群
速度: vgという
x
vg 
d
d
波の伝搬
Vxe
j t

 V0 e
x
e
j ( t   x )

 V0 e
 x
e
j ( t   x )
−x方向(つまり、送電端から受電端の方向)に位相速度ω/で進む波(進行波)で、
α >0なら、波の伝搬に伴い振幅が指数関数的に減衰していく電圧波
+x方向(つまり、受電端から送電端の方向)に位相速度ω/で進む波(進行波)で、
α >0なら、波の伝搬に伴い振幅が指数関数的に減衰していく電圧波
送電端
受電端
x
入射波
E

反射波
ZL

V x  V x  V x  ( 入射電圧波 )  ( 反射電圧波 )


I x  I x  I x  ( 入射電流波 )  ( 反射電流波 )

1
Z0


(V x  V x ) 
1
{( 入射電圧波 )  ( 反射電圧波 )}
Z0

  x

  x
ただし、 V x  V 0 e , V x  V 0 e

I

x

0
 I e
 x

V0 e
Z0
 x

,
I

x

0
 I e
 x

V0 e
 x
Z0


Z 0I x  Vx  Vx
線路上での電圧と電流
送電端
受電端
l
Ix
E
I0
Vx
V0 ZL
x
x=0
線路上の任意の点 x での電圧 Vx、電流 Ixは、前頁の式より


Vx  Vx  Vx


Z 0I x  Vx  Vx
であった。
従って、受電端 x = 0 での電圧 V0、電流 I0は、
V0  V

0
V


0
V 0  Z 0 I 0  2V

V0 

0
従って、


V 0  Z 0 I 0  2V 0
Z 0 I 0  V0  V0

V0 
1
2
1
2
V 0  Z 0 I 0 
V 0  Z 0 I 0 
線路上の任意の点 x での電圧と電流を、受電端電圧と電流 V0および I0で表すと、
Vx 
Ix 
1
2
(V 0  Z 0 I 0 ) e
1
2Z0
x

(V 0  Z 0 I 0 ) e
1
2
x

(V 0  Z 0 I 0 ) e
1
2Z 0
 x
(V 0  Z 0 I 0 ) e
 x
左式で、右辺の第1項は入射波を
第2項は反射波を表わす
線路の縦続行列
送電端
受電端
l
Ix
E
I0
Vx
x
V0 ZL
Ix 
1
2
(V 0  Z 0 I 0 ) e
1
2Z0
x

(V 0  Z 0 I 0 ) e
1
2
x
V0
Z0
A
B
C
D

(V 0  Z 0 I 0 ) e
1
2Z 0
 x
(V 0  Z 0 I 0 ) e
sinh  x  I 0 cosh  x
1
cosh  x 
(e
 x
e
 x
)
2
 x
が得られる
sinh  x 
1
を適用すると、
(e
 x
e
 x
)
2
 cosh  x
Vx  
    1
sinh  x
 Ix   Z
 0
Z 0 sinh  x 
 V 0 
 
cosh  x   I 
 0

従って、特性インピーダンス Z0, 長さ l の線路に対するF行列は、
A

C
ZL
左式に双曲線関数の公式
V x  V 0 cosh  x  Z 0 I 0 sinh  x
Ix 
E
x=0
線路上の任意の点 x での電圧と電流
Vx 
受電端
送電端
 cosh  l
B 
   1
sinh  l
D 
Z
 0
Z 0 sinh  l 

cosh  l 

A D
線路は対称
AD  BC  cosh
2
 l  sinh
2
 l 1
線路は相反(可逆)回路
演習問題
特性インピーダンス Z0, 伝搬定数 , 長さ l の線路に対応するF行列は、
l
8.17

Z0
 cosh  l
B 
   1
sinh  l
D 
 Z0
A

C
AD  BC  cosh
B
C

Z
2
0
2
Z 0 sinh  l 

cosh  l 

 l  sinh
2
 Z0
AD

B
C
D
式(8.26) p.170
 l 1
BC
A
従って、線路は相反(可逆)
sinh
2
l
cosh
2
l
 tanh  l
受電端を開放(I0 = 0)した線路で、受電端からの距離 x の点から受電端の方を見た
入力インピーダンス Zf は、
I0=0
l
Zf
Z0
x

V0
x =0
 cosh  x
Vx  
    1
sinh  x
 Ix   Z
 0
Z 0 sinh  x 
 V 0 
 
cosh  x   0 
 

演習問題
よって、 Z f  V x
Ix

I0 0
cosh  x
1
 Z 0 coth  x
sinh  x
Z0
受電端を短絡(V0 = 0)した線路で、受電端からの距離 x の点から受電端の方を見た
入力インピーダンス ZS は、
I0
l
ZS

Z0
V0=0
x
x =0
よって、 Z S 
ZSZ f 
 cosh  x
Vx  
    1
sinh  x
 Ix   Z
 0
Z
2
0
Vx
Ix

V0  0
 Z0
Z 0 sinh  x
cosh  x
ZS
Z
f

 Z 0 tanh  x
tanh
2
 x  tanh  x
Z 0 sinh  x 
 0 
 
cosh  x   I 
 0

演習問題
受電端に負荷 ZL を接続したときの、受電端からの距離 x の点から負荷の方を見た
入力インピーダンス Zin は、
I0
l
Zin

Z0
ZL
V0
x
x =0
 cosh  x
Vx  
    1
sinh  x
 Ix   Z
 0
Z 0 sinh  x 
 V 0 
 
cosh  x   I 
 0

よって、
Z in 
V0  Z L I 0
Z0
Vx
Ix

V0  Z L I 0
Z L cosh  x  Z 0 sinh  x
ZL
sinh  x  cosh  x

sinh  x
( Z L cosh  x  Z 0 sinh  x )
Z L  Z 0 coth  x
Z0
Z0

cosh  x
sinh  x
(Z L  Z 0
sinh  x
cosh  x
Z L  Z 0 coth  x
)

Z 0 coth  x ( Z 0 tanh  x  Z L )
Z 0 coth  x  Z L

Z f (Z S  Z L )
Z
f
 ZL
演習問題
1. 電源電圧 E, 内部インピーダンスが Z0 の電源に、伝搬定数が  ,
特性インピーダンスが Z0, 長さ が l の線路が接続されている。これ
に等価な電圧源 を求めよ。さらに、線路が無損失なら、それはどの
ように表わせるか? ただし、sinh(iθ) = i sinθ, cosh(iθ) = cosθ である。
l
Z0
E
 , Z0
2. 全長400kmの線路がある。その受電端を短絡した場合、送電端から見た
インピーダンスの値が j250Ω、また受電端を開放した場合、送電端から
見たアドミタンスの値が j1.5×10-3 Ʊであった。この線路の伝搬定数 γ 、
特性インピーダンス Z0、および1km当たりのリアクタンス X、サセプタンス
B を求めよ。
解) Z0=408 Ω, γ =j1.37×10-6 m-1, X= 0.56 Ω/km, B= 3.4×10-6 Ʊ/km