Transcript 2k= -2k= -2k

構造力学Ⅰ（シラバス）
建築物，橋などの構造設計の際に必要となる，
[
，
]などの構造[
]が
[
， ，
]などの[
]を受けたときに
[ ， ]などの構造部材に生じる
[
，
]を求める方法について，
演習を行いながら解説する．
1
講義の進め方
・解説→例題→演習→演習解説＋宿題
→宿題解説（次週の講義の始め）
・解説，例題，演習解説:
配布資料（パワポ）に書き込み
→書き込んだ配付資料で「完結」
・演習: ルーズリーフなどを用意して当日提出
・宿題: 次の講義の始めにルーズリーフなどで提出
→配付資料＋演習＋宿題
・演習と宿題でレポート点（全体の20%）
・とにかく演習（自分で手を動かして計算）
2
構造力学Ⅰ
・材料力学: 単一部材かつ線材
⇔構造力学: [
]を組み合わせた[
]が対象
※線材（[ ， ]）⇔[
]（[ ， ]）
→材料力学を包含する内容
・目的は同じ: ある[
（
，
）]に
外から力（[
]）加わった時，[
]に
どのような力（[
]）が生じるか，
どのように[
]するかを把握する→設計
・対象が骨組なので実際の建物の構造設計に近い
・計算手順をマスターする（一級建築士の構造力
学）
3
⇔力の釣り合いと言った力学の基本
骨組とは
・骨組: [
]と[
・節点の種類: [
]からなる
]と[
]
4
骨組の種類
・[
]: 全ての節点が[
・[
]: 全ての節点が
[
]
・[
]: 曲線からなる構造
・[
]: ピン，剛接が
ともに存在
・実際は立体骨組
→平面骨組として計算
]
5
トラス
・全ての節点がピン（として設計する）の骨組
・橋，タワー
6
東京スカイツリー（日建設計HP）
7
ラーメン
・全ての節点が剛接の骨組
・建物
8
日程（予定）
12/ 3
12/10
12/17
12/24
1/ 7
1/14
1/21
1/28
2/ 4
2/18
3/ 4
導入,骨組の種類,静定･不静定,安定･不安定
静定トラスの応力: 節点法，切断法
静定トラスの変形: 仮想仕事の原理
不静定トラスの応力
静定ラーメンの応力
静定ラーメンの変形
不静定ラーメン: 仮想仕事の原理
たわみ角法
たわみ角法
固定法（モーメント分配法）
試験
9
教科書（演習書）
・材料力学I,IIの内容も含む
・演習問題を補うもの
・講義のときにやっておく
問題を紹介→自習
・試験で演習書から1問出題
10
骨組の安定･不安定
・安定：[
]に支えられた[
]に荷重が作用
するとき，骨組自体は[
]外力を支え，
かつ，骨組全体も[
]元の位置を保つ状態
・不安定：[
]でない状態
→基本的には視察による
判定式を用いた方法もある
→設計する構造物は[
]でなければならない
11
骨組の静定 ･不静定
・静定: 骨組が[
]の[
]，[
]を
もつ支持で支えられている状態．
[
]条件だけで[
]，[
]を
求めることができる
・不静定: 骨組が[
]の[
]，
[
]をもつ支持で支えられている状態．
[
]条件だけで[
]，[
]を
求めることができず，これらのほかに更に
[
]，[
]を考えた条件
（[
]）が必要となる
→静定か不静定かで骨組の解き方が違う
→まず静定か不静定かを判定する必要
12
骨組の静定 ･不静定の判定（単一部材）
n: 支持力数
（1つの支点についてローラー1，ピン2，固定3）
n<3: 不安定
n=3: 安定で静定
n>3: 安定で不静定
m=n-3：不静定次数（m次の不静定）
13
問題1 単一部材の静定･不静定の判定
次の梁の静定･不静定を判定し，
不静定の場合は不静定次数を求めよ
※演習（解答は別紙
に）
14
骨組の静定 ･不静定の判定（骨組）
k: 節点数（支点，自由端も含む）
n: 支持力数（1つの支点についてローラー1，
ピン2，固定3）
s: 部材数
r: 剛接接合材数（節点に対してある１つの材に
剛に接合された材の数）
15
骨組の静定 ･不静定の判定（骨組）
k: 節点数，n: 支持力数，s: 部材数，
r: 剛接接合材数
2k>n+s+r 不安定
←必ず不安定
2k=n+s+r 安定で静定 ┐ ←安定とは限らない
2k<n+s+r 安定で不静定┘ ←安定とは限らない
m=n+s+r-2k：不静定次数（m次の不静定）
→判定式で安定となっても目視で確認
16
問題2 骨組の静定･不静定の判定
次の骨組の静定･不静定を判定し，
不静定の場合は不静定次数を求めよ
17
k=
n=
s=
r=
-2k=
m=
k=
n=
s=
r=
-2k=
m=
k=
n=
s=
r=
-2k=
m=
18
k=
n=
s=
r=
-2k=
m=
k=
n=
s=
r=
-2k=
m=
k=
n=
s=
r=
-2k=
m=
19
20
問題3 骨組の静定･不静定の判定(1)
次の骨組の静定･不静定を判定し，
不静定の場合は不静定次数を求めよ
※演習（解答は別紙
に）
21
(a)
k=
n=
s=
r=
-2k=
m=
(b)
k=
n=
s=
r=
-2k=
m=
(c)
k=
n=
s=
r=
-2k=
m=
(d)
k=
n=
s=
r=
-2k=
m=
(e)
k=
n=
s=
r=
-2k=
m=
22
問題4 骨組の静定･不静定の判定(2)
次の骨組の静定･不静定を判定し，
不静定の場合は不静定次数を求めよ
※演習（解答は別紙
に）
23
(a)
k=
n=
s=
r=
-2k=
m=
(b)
k=
n=
s=
r=
-2k=
m=
(c)
k=
n=
s=
r=
-2k=
m=
(d)
k=
n=
s=
r=
-2k=
m=
(e)
k=
n=
s=
r=
-2k=
m=
24
(f)
k=
n=
s=
r=
-2k=
m=
k=
n=
s=
r=
-2k=
m=
(g)
k=
n=
s=
r=
-2k=
m=
(h)
k=
n=
s=
r=
-2k=
m=
(i)
k=
n=
s=
r=
-2k=
m=
25
演習書の問題
問題[1.5](p.7～16)
※解き方は少し違うが答えは当然同じ
26
問題5 骨組の静定･不静定の判定
次の骨組の静定･不静定を判定し，
不静定の場合は不静定次数を求めよ
※宿題（解答は別紙
に）
27
k=
n=
s=
r=
-2k=
m=
k=
n=
s=
r=
-2k=
m=
k=
n=
s=
r=
-2k=
m=
28
骨組の静定 ･不静定
まとめ
・構造物全体に対して判定式 2k<=>n+s+r
（k: 節点数，n: 支持力数，s: 部材数，
r: 剛接接合材数）
>: 不安定，=: 静定, <: 不静定
・m=n+s+r-2k：不静定次数（m次の不静定）
静定（ぎりぎり安定）からの「余裕度」
・n, s, rが1つ増えると不静定度が1つ増える
kが1つ増えると不静定度が2つ減る
・判定式で安定となっても安定とは限らないので
目視で確認
（判定式で不安定となったら不安定）
29
30
トラスとは
・全ての接点が[
]された骨組
←そう考えて計算する
・トラスの[
]を求めること→トラスを解く
・トラスを解く場合の仮定
1)[
]は完全な[
]である
2)[
（
）]は全て[
]に作用する
3)[
]を結ぶ直線は[
]と一致する
31
→トラスの部材には，
[
]と[
]は生じず，
[
（
）]のみが生じる
・符号: 引張＋，圧縮－
32
静定トラスの解法
・静定トラスを解く
＝静定トラスが外力を受けたとき，
生じる部材応力（[
]）を求める
・静定: [
]から求まる
・[
]→[
]に集まる力の釣り合いから
部材応力を求める）
数式解法と図解法
・[
]→[
]した部分の力の釣り合いから
部材応力求める）
33
節点法（数式解法）
・力の釣り合いから連立方程式を立てて求めていく
ΣＸ＝０
ΣＹ＝０
・条件式は２つ
→未知量が３つ以上の節点では解けない
→未知量が２つの節点から順次解いていく
34
35
問題6 節点法（数式解法）で静定トラスを解く(1)
次の静定トラスを節点法（数式解法）で解け
（各部材の応力を求めよ）
36
解答:
37
解答:
38
解答:
39
問題7 節点法（数式解法）で静定トラスを解く(2)
※演習（解答は別紙
に）
次の静定トラスを節点法（数式解法）で解け
（各部材の応力を求めよ）
4kN
4kN
4kN
2kN
2kN
King post truss
40
解答:
41
解答:
42
解答:
43
問題8 節点法（数式解法）で静定トラスを解く(3)
※宿題（解答は別紙
に）
次の静定トラスを節点法（数式解法）で解け
（各部材の応力を求めよ）
Fink truss
44
解答:
45
解答:
46
解答:
47
問題9 節点法（数式解法）で静定トラスを解く(4)
※宿題（解答は別紙
に）
次の静定トラスを節点法（数式解法）で解け
（各部材の応力を求めよ）
2kN
2kN
48
解答:
49
解答:
50
解答:
51
節点法（図解法）
・節点法（数式解法）:
１節点に集まる[
]，[
→[
]が閉じる
・この性質を利用して解いていく
・示力図を重ね合わせた図→[
]の[
]
]
52
問題10 節点法（図解法）で静定トラスを解く(1)
次の静定トラスを節点法（図解法）で解け
（各部材の応力を求めよ）
53
解答:
54
問題11 節点法（図解法）で静定トラスを解く(2)
※演習（解答は別紙
に）
次の静定トラスを節点法（図解法）で解け
（各部材の応力を求めよ）
4kN
4kN
4kN
2kN
2kN
king post truss
55
解答:
56
問題12 節点法（図解法）で静定トラスを解く(3)
※宿題（解答は別紙
に）
次の静定トラスを節点法（図解法）で解け
（各部材の応力を求めよ）
Fink truss
57
解答:
58
問題13 節点法（図解法）で静定トラスを解く(4)
※宿題（解答は別紙
に）
次の静定トラスを節点法（図解法）で解け
（各部材の応力を求めよ）
2kN
2kN
59
解答:
60
節点法（数式解法，図解法）まとめ
・基本は「力の釣り合い」
←トラスの節点はピンなのでモーメントは生じない
→２方向の力の釣り合い
・条件式は２つ
→未知力が２つの節点から順次解いて，あるいは，
示力図を描いていく
・図解法は正確に作図
・どちらか，ではなく，どちらでも解けるように
→計算ミスを防げる
61
切断法
・節点法: 支点から解いていくと時間がかかる
・切断法: ある特定の部材の応力が知りたい場合に
有効
・節点法では未知部材力が３つ以上できる節点が
あると解けない．例えば
62
切断法
・応力を求めようとする部材を含む仮想切り口で
切断し，切断した部分に働く[
]，[
]，
[
]に対して[
]を立てて
[
]を求める．
・できるだけ簡単に求まるように
・どこで切断するか
・ΣＸ＝０，ΣＹ＝０，ΣＭ＝０のどれを使うか，
・ΣＭ＝０を使うとしたらどの点回りにするか
判断する
63
問題14 切断法で静定トラスを解く(1)
次の静定トラスの部材応力（軸方向力） U2, D2, L2
を切断法で求めよ
A
U1
B
U2
V2
F
L1
C
D
E
D2
L2
G
J
H
I
64
解答:
65
問題15 切断法で静定トラスを解く(2)
※演習（解答は別紙
に） U , V , L
次の静定トラスの部材応力（軸方向力）
1
2
1
を切断法で求めよ
A
U1
B
U2
V2
F
L1
C
D
E
D2
L2
G
J
H
I
66
解答:
67
問題16 切断法で静定トラスを解く(3)
※演習（解答は別紙
に） N を求めよ
次の静定トラスの部材応力（軸方向力）
1
68
解答:
69
問題17 切断法で静定トラスを解く(4)
次の静定トラスの部材BD, BC,
力） を切断法で求めよ
※宿題（解答は別紙
に）
ACの応力（軸方向
70
解答:
71
問題18 切断法で静定トラスを解く(5)
※宿題（解答は別紙
に）
次の静定トラスの部材Aの応力（軸方向力）
を切断
法で求めよ
72
解答:
73
切断法 まとめ
・基本は「力の釣り合い」
・どこで切断するか
・ΣＸ＝０，ΣＹ＝０，ΣＭ＝０のどれを使うか，
・ΣＭ＝０を使うとしたらどの点回りにするか
・節点法と切断法のどちらか，ではなく，
どちらでも解けるように
→計算ミスを防げる
74
静定トラスの応力のまとめ
・基本は「力の釣り合い」
・節点法（数式解法と図解法），切断法
・条件によって使い分ける
⇔いずれの方法でも解けるように
・演習書の問題: [2.17～2.21](p.36～44)
75
76
77
78
静定トラスの変形
静定トラスの変形を求める目的:
・静定トラスの変形を求める
・不静定トラスの応力を求める
←変形の適合条件
79
静定トラスの変形
仮想仕事の原理を用いた静定トラスの変形の求め方
・各部材の応力（軸方向力）N0を求める
・変形を求めたい[ ]，求めたい[
]に
[
]を加えたときの
各部材の応力（軸方向力）N1を求める
（回転角なら単位モーメント１を加える）
・[
]により，求める変形δを求める
(E: 材料のヤング率，A: 部材の断面積，
l: 部材の長さ）
80
仮想仕事の原理によって
トラスの変形を求める式の導出
・右のトラスの一部を考え，点Aにかかる荷重Pに
おける点Bの変形δを求める
・この状態から更に点Bに単位力(=1)を
かけたときの点Aの変形をδとすると，
Pがかかることによって
Pがした仕事（させられた仕事）は
Pによる応力度と歪度をδ,ε，
Pによるによる応力度と歪度をδ,ε,
E: 材料のヤング係数, A: 部材の断面積,
l: 部材の長さとすると
81
P δ 

← σ
  σεdxdydz
 σεl A  
N
，ε 
A
σ

E

 σε dx  dydz
N 0 N1
A EA
lA  
N 0 N1
l
EA
N
EA
Bettiの定理より P δ  P δ  δ
よって，δ 

N 0N1
l
EA
82
問題19 静定トラスの変形(1)
次の静定トラスの点Aの鉛直方向のたわみを求めよ．
ただし，材料のヤング係数E=2.1x103kN/cm2，
部材の断面積A=10.0cm2とする．
2kN
2kN
83
解答:
84
解答:
85
解答:
86
問題20 静定トラスの変形(2)
※演習（解答は別紙
に）
次の静定トラスの点Aの水平方向の変形を求めよ．
ただし，材料のヤング係数E=2.1x103kN/cm2，
部材の断面積A=10.0cm2とする．
2kN
2kN
87
解答:
88
解答:
89
解答:
90
問題21 静定トラスの変形(3)
※演習（解答は別紙
に）
次の静定トラスの点Cの鉛直方向の変形と点Bの水平
方向の変形とを求めよ．ただし，材料のヤング係数
は，E=80kN/cm2 ，部材の断面積は，CD，CFが50cm2 ，
それ以外が100cm2とする．
1kN
1kN
0.5kN
1kN
0.5kN
91
解答:
92
解答:
93
解答:
94
問題22 静定トラスの変形(4)
※宿題（解答は別紙
に）
次の静定トラスの点Aの鉛直および水平方向の変形
を求めよ．ただし，材料のヤング係数はE，部材の
断面積は，Aとする．
95
解答:
96
解答:
97
解答:
98
静定トラスの変形のまとめ
仮想仕事の原理を用いた静定トラスの変形の求め方
・各部材の応力（軸方向力）N0を求める
・変形を求めたい点，求めたい方向に
単位力１のみを加えたときの
各部材の応力（軸方向力）N1を求める
（回転角なら単位モーメント１を加える）
・表を作成して
δ

N 0N1
l により，求める変形δを求める
EA
(E: 材料のヤング率，A: 部材の断面積，
l: 部材の長さ）
・演習書の問題: [6.34](p.189～190)
99
不静定トラスの応力
・解法の原理は不静定はり（材料力学）と同じ
・不静定構造
＝[
] ＋ [
] に分解
（[
]）（[
]に等しい数）
・不静定構造の[
]
（境界条件や連続条件）を満たすように
[
]を求める
・求める不静定構造の応力
＝[
]の応力＋[
]による応力
100
不静定トラスの応力の求め方（具体例）
不静定構造(←外力P)
＝静定基本構(←P＋不静定余力X）
＝静定基本構(←P)＋静定基本構(←不静定余力X)
kN
kN
＝
＋
＝静定基本構(←P)＋(静定基本構(←単位力1))*X
不静定構造(←P)＝静定基本構(←P)＋静定基本構(←単位力1)*X
応力
N
＝
N0
＋
N1 X ←┐
変形
0
＝
δ0
＋
δ1 X → X
↑不静定余力が作用する位置，方向の （[
]）
101
不静定トラスの応力の求め方（手順）
・静定基本構（←外力P）の応力N0を求める
・静定基本構（←単位力1）の応力N1を求める
・仮想仕事の原理により
静定基本構に外力が加わっている
N 0 N1
δ0  
l
時の不静定余力位置，方向の変形
EA
静定基本構に単位力１の
 EA
不静定余力が加わっている時の
不静定余力位置，方向の変形
・δ0+δ1 *X=0（変形の適合条件）よりX= -δ0／δ1
・不静定構造の応力N＝静定基本構の応力N0
＋静定基本構の不静定余力による応力（N1*X）
2
δ1 
N1
l
102
問題23 不静定静定トラスの応力(1)
次の不静定トラスの応力を求めよ
（静定基本構: 点Dのピンをローラーにする）．
kN
103
解答:
104
解答:
105
解答:
106
問題24 不静定静定トラスの応力(2)
※演習（解答は別紙
に）
次の不静定トラスの応力を求めよ．No’は問題21の結
果を使ってよい．
1kN
1kN
0.5kN
1kN
0.5kN
107
解答:
108
解答:
109
解答:
110
問題25 不静定静定トラスの応力(3)
次の不静定トラスの応力を求めよ
（静定基本構: AC材を切断する）．
※宿題（解答は別紙
に）
kN
111
解答:
112
解答:
113
解答:
114
不静定トラスの変形
解法の原理は静定トラスと同じ
δ

N 0 N1
l
EA
No: 外力下の静定トラスの応力
N1: 静定トラスの変形を求めたい位置，方向に
単位力１を加えたときの応力
δ

'
'
N 0 N1
EA
l
不静定
N0’: 外力下の不静定トラスの応力
N1’: 不静定トラスの変形を求めたい位置，方向に115
単位力１を加えたときの応力
不静定トラスの変形
δ

'
'
N 0 N1
EA
l 
'
N 0 N1
l
EA
（N1’（不静定トラスの応力）の代わりに
N1（静定基本構の応力）を使ってもOK）
N0’: 外力下の不静定トラスの応力
N1’: 不静定トラスの変形を求めたい位置，方向に
単位力１を加えたときの応力
N1 : 静定基本構の変形を求めたい位置，方向に
単位力１を加えたときの応力
116
簡単な不静定トラスを使った
N1’の代わりにN1が使えることの証明
117
簡単な不静定トラスを使った
N1’の代わりにN1が使えることの証明（つづき）
118
問題26 不静定静定トラスの変形(1)
次の不静定トラスの点Cの鉛直変位を求めよ．ただ
し，CD, DF材の断面積は50cm2とし，それ以外の材の
断面積は100cm2 ，材料剛性は80kN/cm2 とする．No’は
問題24の結果，N1は問題21の結果を使ってよい（結
果を問題21の点Bがローラーの場合と比較してみ
る）．
1kN
1kN
0.5kN
1kN
0.5kN
119
解答:
120
解答:
121
解答:
122
問題27 不静定静定トラスの変形(2)
※宿題（解答は別紙
に）
次の不静定トラスの点Bの水平変位を求めよ．
ただし，部材の断面積は10cm2とし，材料剛性は
2.1x103kN/cm2とする．Noは問題25の結果を使ってよ
い．
kN
123
解答:
124
解答:
125
解答:
126
不静定トラスの応力のまとめ
不静定構造(←外力P)
＝静定基本構(←P＋不静定余力X）
＝静定基本構(←P)＋静定基本構(←不静定余力X)
kN
kN
＝
＋
＝静定基本構(←P)＋(静定基本構(←単位力1))*X
不静定構造(←P)＝静定基本構(←P)＋静定基本構(←単位力1)*X
応力
N
＝
N0
＋
N1 X ←┐
変形
0
＝
δ0
＋
δ1 X → X
↑不静定余力が作用する位置，方向の （[変形の適合条件]）
127
不静定トラスの変形のまとめ
解法の原理は静定トラスと同じ
δ

'
'
N 0 N1
EA
l 
'
N 0 N1
l
EA
（N1’（不静定トラスの応力）の代わりに
N1（静定基本構の応力）を使ってもOK）
N0’: 外力下の不静定トラスの応力
N1’: 不静定トラスの変形を求めたい位置，方向に
単位力１を加えたときの応力
N1 : 静定基本構の変形を求めたい位置，方向に
単位力１を加えたときの応力
128
129
130
静定ラーメンの応力
・ラーメン: 全ての節点が剛接の骨組
⇔トラス : 全ての節点がピン接合の骨組
→ラーメンの部材に生じる応力（外力に「応じて」
部材内部に生じる力）は，
[ （
） ]，[
]，[
]
⇔トラスは軸力のみ
131
軸力（軸方向力）
・部材の[
部材を[
通常，[
]に[
]，[
]しあって，
]させようとする作用．
]方向を＋，[
]方向を－にとる
132
せん断力
・部材の[
材に[
通常，[
[
]する方向に働いて，
]を生じさせようとする作用．
]方向を＋，
]方向を－にとる
133
曲げモーメント
・対になるモーメントが働いて，その点において
部材を[
]させようとする作用．
通常，材の下側が[
]方向を＋，
下側が[
]方向をーにとる
134
荷重ω，せん断力Q，曲げモーメントMの関係
135
静定ラーメンを解く
・荷重によって生じる応力
（軸力N，せん断力Q，曲げモーメントM）を求める
・静定→力の釣り合いから求まる
・構造物全体の力の釣り合いからまず反力を求める
・荷重，せん断力，曲げモーメントの関係から
各応力を求める
・まず単一材（はり）で
136
問題28 静定はり(1)
次の静定はりを解け
P
l
l/2
P
l
l/2
l
単位長さ当たりw
l
137
問題29 静定はり(2)
※演習（解答は別紙
に）
次の静定はりを解け
P
l/3
単位長さ当たりw
2l/3
l
単位長さ当たりw
l/2
l/2
138
問題30 静定はり(3)
※演習（解答は別紙
に）
次の静定はりを解け
2P
P
l/3
l/3
M0
l/3
l/3
M0
2l/3
2l/3
l/3
139
140
静定ラーメンを解く
・荷重によって生じる応力
（軸力N，せん断力Q，曲げモーメントM）を求める
・静定→力の釣り合いから求まる
・構造物全体の力の釣り合いからまず反力を求める
・荷重，せん断力，曲げモーメントの関係から
各応力を求める
・ラーメン: 単一材の組み合わせ
・剛接点のモーメントの釣り合いに注意
・曲げモーメント：引張側（湾曲して凸になる側）
が＋となるように
・せん断力，軸力：どちらでも可（向きによらな
い）
141
ただし符号をはっきり書く
142
問題31 静定ラーメン(1)
次の静定ラーメンを解け
※演習（解答は別紙
に）
kN
kN
143
解答:
144
解答:
145
146
問題32 静定ラーメン(2)
次の静定ラーメンを解け
147
解答:
148
解答:
149
解答:
150
問題33 静定ラーメン(3)
次の静定ラーメンを解け
※演習（解答は別紙
に）
151
解答:
152
解答:
153
解答:
154
問題34 静定ラーメン(4)
※宿題（解答は別紙
に）
次の静定ラーメンを解け
kN
kN
kN
kN･m
155
解答:
156
解答:
157
解答:
158
静定ラーメンの応力のまとめ
・静定→力の釣り合いから求まる
・構造物全体の力の釣り合いからまず反力を求める
・荷重→(積分)→せん断力→(積分)→曲げモーメント
の関係から各応力を求める
↓
・単一材に分解して
節点の曲げモーメントの釣り合いで解く方法
・節点の曲げモーメントの「受け渡し」で解く方法
（材の向きが変わるだけ）
・曲げモーメント：引張側が＋となるように
・せん断力，軸力：向きは自由だが符号をはっきり
演習書の問題: [2.1]～[2.8],[2.22]～[2.36],
159
[2.46]～[2.47](pp.17～28, 44～64, 76-79)
静定ラーメンの変形
・解法の原理は静定梁（材料力学I）や静定トラス
と同じ
・単位荷重法（仮想仕事の原理）により求める
・δ 

M 0M 1
dx
EI
・M0: 与えられた荷重下の応力
・M1: 変形を求めたい点，求めたい方向に単位力１
のみを加えたときの応力を求める
160
161
162
問題35 静定梁の変形（材料力学Iの復習）
※演習（解答は別紙
に）
次の静定梁の先端のたわみと回転角を求めよ
（回転角の場合は，変形を求めたい点，求めたい方
向に単位力１のみを加える代わりに，変形を求めた
い点，求めたい方向に単位モーメント１のみを加え
る）
P
l
単位長さ当たり w
l
l
163
解答:
164
解答:
165
解答:
166
問題36 静定ラーメンの変形(1)
次の静定ラーメンのB, C点の水平たわみδB, δC と
点C, Dの回転角θC, θDを求めよ
167
解答:
168
解答:
169
解答:
170
問題37 静定ラーメンの変形(2)
※演習（解答は別紙
に）
次の静定ラーメンの点Aの水平たわみvA, uAと回転角
θAを求めよ
171
解答:
172
解答:
173
解答:
174
問題38 静定ラーメンの変形(3)
※宿題（解答は別紙
に）
次の静定ラーメンのB, C点の水平たわみδB, δC を
求めよ
175
解答:
176
解答:
177
不静定ラーメンの応力
・不静定トラス，不静定梁（材料力学I）と同じ
・不静定構造＝静定基本構＋不静定余力
（不静定次数に等しい
数）
・不静定構造の変形の適合条件（境界条件や連続条
件）を満たすように不静定余力を求める
・不静定構造の応力
＝静定基本構の応力＋不静定余力による応力
178
(例)1次不静定梁の応力（材料力学Iの復習）
不静定構造(←外力)
＝静定基本構(←外力＋不静定余力)
＝静定基本構(←外力)＋静定基本構(←不静定余力)
＝静定基本構(←外力)＋静定基本構(←単位不静定余力1)*X1
応力M ＝ M0
＋
M1 X1 ←┐
変形0 ＝ δ10
＋
δ11 X1 → X1
179
(例)1次不静定梁の応力（材料力学Iの復習）
・静定基本構（←外力）の応力M0を求める
・静定基本構（←単位不静定余力1）の応力M1を求める
・仮想仕事の原理により
δ10 

M 0M 1
←静定基本構に外力が加わっている時の
不静定余力位置，方向の変形
δ11  
dx ←静定基本構に単位不静定余力１の
EI
不静定余力が加わっている時の
不静定余力位置，方向の変形
・δ10+δ11 X1=0よりX1 = - δ10/δ11
・不静定構造の応力M
＝静定基本構の応力M0＋不静定余力による応力（M1 X1)
dx
EI
M 1M 1
180
(例)1次不静定ラーメンの応力（梁と同
じ）
不静定構造(←外力)
＝静定基本構(←外力＋不静定余力)
＝静定基本構(←外力)＋静定基本構(←不静定余力)
＝静定基本構(←外力)＋静定基本構(←単位不静定余力1)*X1
181
(例)1次不静定ラーメンの応力（梁と同
じ）
・静定基本構（←外力）の応力M0を求める
・静定基本構（←単位不静定余力1）の応力M1を求める
・仮想仕事の原理により
δ10 

M 0M 1
←静定基本構に外力が加わっている時の
不静定余力位置，方向の変形
δ11  
dx ←静定基本構に単位不静定余力１の
EI
不静定余力が加わっている時の
不静定余力位置，方向の変形
・δ10+δ11 X1=0よりX1 = - δ10/δ11
・不静定構造の応力M
＝静定基本構の応力M0＋不静定余力による応力（M1 X1)
dx
EI
M 1M 1
182
問題39 不静定ラーメンの応力(1)
次の不静定ラーメンの応力を求めよ
183
解答:
184
解答:
185
解答:
186
問題40 不静定ラーメンの応力(2)
次の不静定ラーメンの応力を求めよ
※演習（解答は別紙
に）
187
解答:
188
解答:
189
解答:
190
問題41 不静定ラーメンの応力(3)
次の不静定ラーメンの応力を求めよ
191
192
193
問題42 不静定ラーメンの応力(4)
次の不静定ラーメンの応力を求めよ
※宿題（解答は別紙
に）
194
静定ラーメンの変形のまとめ
・解法の原理は静定梁（材料力学I）や静定トラス
と同じ→積分を全ての部材に渡って行う
・単位荷重法（仮想仕事の原理）により求める
・δ 

M 0M 1
dx
EI
・M0: 与えられた荷重下の応力
・M1: 変形を求めたい点，求めたい方向に単位力１
のみを加えたときの応力を求める
・M0 と M1 の符号のとり方を揃えれば，
Mの符号のとり方は自由
演習書の問題: [6.27]～[6.33](pp.184-189)
195
たわみ角法の基本式
長さl，曲げ剛性EIのラーメンの一部材ABが中間荷重
を受けて，移動，変形したときの材端モーメント
MAB，MBA （時計回りが＋）は，
196
たわみ角法の基本式
φ: ファイ
ψ: プサイ
ここで，k=K/K0 （k : 剛比，
K=I/l : 剛度（変形しにくさ）， K0 : 標準剛度）
φA=2EK0θA， φB=2EK0θB，ψ=－6EK0R
θ: 材端の回転角
R: 部材角
CAB, CBA: 荷重項で
両端固定（φA= φB=ψ）
の場合の材端モーメント
197
たわみ角法基本式の荷重項
式の誘導は演習書のpp.267-268, 271-273,
荷重項は，演習書のp.273
198
問題43 たわみ角法(1)
次の梁のM図とQ図を求めよ
kN
199
解答:
200
解答:
201
202
たわみ角法を用いたラーメンの解法
・たわみ角法の基本式
M
AB
 k ( 2 A   B   )  C AB
M
BA
 k ( 2 B   A   )  C BA
・節点方程式
←節点におけるモーメントの釣り合い
・層方程式
←層せん断力の釣り合い
203
問題44 たわみ角法(2)
次の梁のM図とQ図を求めよ
kN
204
解答:
205
解答:
206
問題45 たわみ角法(3)
次のラーメンのM図とQ図を求めよ
kN
※演習（解答は別紙
に）
kN
207
解答:
208
解答:
209
解答:
210
他端ピン・ローラーの場合の有効剛比と荷重項
たわみ角法の基本式
A
M
AB
 k ( 2 A   B   )  C AB
M
BA
 k ( 2 B   A   )  C BA
B
でMBA =0として，(上式)－(下式)/2より
M
AB
ke 

3
4
3
k
k ( 2 A

2
3
 )  C AB 
1
2
C BA
: 有効剛比
4
211
問題46 たわみ角法(4)
※演習（解答は別紙
に）
次のラーメンのM図とQ図を有効剛比を用いて求めよ
kN
212
解答:
213
解答:
214
対称変形する場合の有効剛比
たわみ角法の基本式
M
AB
 k ( 2 A   B   )  C AB
M
BA
 k ( 2 B   A   )  C BA
でφA=2EK0θA= －φB=2EK0θB
M
AB
ke 

1
2
1
2
k
k ( 2 A
 2 )  C AB   M
BA
: 有効剛比
215
問題46 たわみ角法(5)
次の左右対称の梁のM図とQ図を求めよ
1.5kN
1.5kN
216
解答:
217
解答:
218
問題48 たわみ角法(6)
次のラーメンのM図とQ図を求めよ
kN
219
解答:
220
解答:
221
解答:
222
問題49 たわみ角法(7)
次のラーメンのM図とQ図を求めよ
※演習（解答は別紙
に）
kN
223
解答:
224
解答:
225
解答:
226
問題50 たわみ角法(8)
次のラーメンのM図とQ図を求めよ
※演習（解答は別紙
に）
kN
227
解答:
228
解答:
229
解答:
230
不静定ラーメンの応力のまとめ
・不静定構造＝静定基本構＋不静定余力（不静定次数）
・変形の適合条件を満たすように不静定余力を求める
・不静定構造の応力
＝静定基本構の応力＋不静定余力による応力
1.静定基本構（←外力）の応力M0を求める
2.静定基本構（←単位不静定余力1）の応力M1を求める
3.仮想仕事の原理により
M 0M 1
←静定基本構に外力が加わっている時の
δ10  
dx
不静定余力位置，方向の変形
EI
←静定基本構に単位不静定余力１の
M 1M 1
δ11  
dx
不静定余力が加わっている時の
EI
不静定余力位置，方向の変形
4.δ10+δ11 X1=0よりX1 = - δ10/δ11
5.不静定構造の応力M
＝静定基本構の応力M0＋不静定余力による応力（M1 X1) 231
232
固定(モーメント)法（モーメント分配
法）
・図上で簡単に計算（節点移動がない場合）
⇔たわみ角法は連立方程式を解く必要
・3つの原理に基づく
1.分配率と分配モーメント
2.到達率と到達モーメント
3.固定モーメントと解除モーメント
233
分配率と分配モーメント
節点Bに作用するモーメントMは，
剛比に比例して分配される（分配率）
有効剛比も使用可
234
到達率と到達モーメント
材端に作用するモーメントMは，
他端にその1/2が伝達される
235
固定モーメントと解除モーメント
剛接点を固定端と仮定した固定端モーメントの固定
を解除する固定モーメントと大きさが等しく符号が
反対のモーメント: 解除モーメント
236
固定(モーメント)法の手順
1.分配率を求める
2.固定端モーメント(FEM)を求める
3.解除モーメントを分配率に従い分配する(D)
4.分配された解除モーメントの1/2を他端に伝達(C)
5.これを何度か繰り返す
6.FEMからD,Cのモーメントを合計する
237
238
問題51 固定(モーメント)法
次のラーメンのMを固定モーメント法により求めよ
239
解答:
240
解答:
241
解答:
242
問題52 固定(モーメント)法
次のラーメンのM,Qを求めよ
243
固定(モーメント)法を使った構造計算（RC規準）
244
荷重拾い
245
剛比を求める
246
固定(モーメント)法を使ってMとQを計算
247