Transcript 公共経済学
7．多数決投票と公共財供給 7.1 比例所得税と多数決投票均衡 7.2 中位投票者モデルと公共財生産の効率性 7.1 比例所得税と多数決投票均衡 財源は比例所得税で調達されていて、公共財の（供給）水準は多数決投票で決定されるケ ー スについて検討するために、次の想定をしよう。 【想定 7-1】各個人（投票者）は公共財 G を供給するための財源は比例所得税で調達され るとともに、その税率 t は財政収支が均衡するように決定されることを知ってい る。 【想定 7-2】公共財の水準 G は各個人（投票者）の間で多数決投票によって決定される。 つまり、多数決投票均衡の公共財の水準が選択される。 分析を簡単化するために、生産可能性曲線は限界変形率が 1 で一定であり、 C Y A G (7-1) A で与えられているとする。なお、 Y は定数である。 私的財 C の価格は１であると標準化すれば、公共財の供給曲線が水平で、 p 1 （0 G Y A） (7-2) と表されることになる。 C C Y A G YA 1 YA G 私的財 C の価格は１であると標準化すれば、公共財の供給曲線が水平で、 p 1 （0 G Y A） (7-2) と表されることになる。 Gs 0 Gs Y A 0 Gs Y A p 1 p 1 p 1 C Y s p ･ C Y A G A C pG 1 1 Gs p ･ 添え字s は省略 p Y A G s G YA G 経済は低所得者（個人１） 、中位所得者（個人２）、高所得者（個人３）から構成されてい るとする。すなわち、個人 i の所得を Yi とおいて、 Y1 Y2 Y3 (7-3) を仮定する。なお、4.2 節の議論を用いれば Yi wi Y なので、(7-3)は w1 w2 w3 を仮 A 定することに対応している（ w1 w2 w3 1 ） 。そして、 Y は各個人の所得の合計を表 A している（ Y A Y1 Y2 Y3 ）。 wi 利潤の個人iへの分配割合 ここでは、p 1 を前提として議論を進めるが、そのためには暗黙の前提として 0 G Y となるケー スだけに議論を限定していることになる。 また、個人 i の効用関数が ui Ci vi (G) であるとする。 （ vi (G) 0, vi(G) 0 ） 公共財は中級財 (7-4) A 想定 7-1 の下で、各個人は公共財の水準が G に決定されたときに定められる税率 t を、どの ように予想できるかを検討しよう。 A 所得税率 t の下で財政収支が均衡するためには、歳入 tY と歳出 G が一致（ tY A G ）しな ければならないので、公共財の水準 G が選択された場合には、所得税率 t は t G /Y A (7-5) と決定されると個人は予想することになる。 p 1 が前提になっている。 したがって、公共財の水準が G に決定されたとき、個人 i の消費水準 C i は G Ci (1 t )Yi 1 Yi Yi pi G YA (7-6) A と定まる。なお、 pi Yi / Y である。そして、(7-6)を個人 i の「予算制約式」と呼ぶこと にする。 公共財の水準 Gが変化しても piは変化しない。 以上より、公共財の水準が G に決定されたとき、個人 i は効用水準が ui Ci vi (G) Yi pi G vi (G) [ U i (G)] となると予想することになる。 (7-7) （問題 7-1）(7-7)で効用水準が決定されるとき、公共財の水準 G と個人 i の効用水準 ui を対 応させる曲線 u i U i (G ) を図示しなさい。また、公共財の水準 G に関する個人の 選好のプロファイルは「単峰性」を満たすことを示しなさい。 （ヒント）公共財の水準を大小関係で並べた順序が単峰型順序であることを示せば よい。 ui U i (G) Yi pi G vi (G) U i(G) pi vi(G) U i(G) vi(G) 0 G （問題 7-2） 「全ての個人について vi(G) 0 が成立する」という仮定が成立してないとき は、u i U i (G ) で定まる選好のプロファイルが単峰性を満たさない可能性があ ることを確認しなさい。 また、 「全ての個人について vi(G) 0 が成立する」という仮定が成立してない 状況について、例を挙げて説明しなさい。 v1(G) 0 かつ vi(G) 0 (i 2, 3) ⇒選好のプロファイルが単峰性を満たさない。 道路整備の財源は所得税で賄われるという前提の下で、個人１は駅ビルに住 んでおり、その実家が駅から 10km のところにあるとする。また、個人 2 と 個人 3 は、それぞれその経路上の駅から 3km と 7km のところに住んでいる とする。 道路整備の財源は所得税で賄われるという前提の下で、個人１は駅ビルに住 んでおり、その実家が駅から 10km のところにあるとする。また、個人 2 と 個人 3 は、それぞれその経路上の駅から 3km と 7km のところに住んでいる とする。 個人１ の自宅 個人２ の自宅 個人３ の自宅 個人１ の実家 駅 ui G ui Ci vi (G) Yi pi G vi (G) [ U i (G)] (7-7) 個人 i にとっての最適な（効用を最大にする）公共財の水準を Gi とおくと、 Gi は vi (Gi ) pi U i(Gi ) pi vi (Gi ) 0 より求められる。 (7-8) （問題 7-3）(7-8)で個人 i にとっての最適な（効用を最大にする）公共財の水準を Gi を求 められることを、無差別曲線(7-4)と予算制約式(7-6)を用いて説明しなさい。 Ci Ci vi (G) ui vi (Gi ) pi Ci Yi pi G pi Gi vi (Gi ) G （問題 7-4） v1 (G) v2 (G) v3 (G) であれば、必ず G1 G2 G3 であることを、図を用 いて示しなさい。 （ヒント） pi pi 1 であるとともに、 vi (G) vi1 (G) であることを用いればよい （ i 1, 2 ） 。 1 (G) vi vi(G ) Gi G Gi 1 pi 1 pi pi Yi Yi 1 pi 1 YA YA Gi 1 G Gi G 以下では、 G1 G2 G3 が成立することを仮定する。そのとき、 G2 だけが多数決投票均 衡であることを示そう。 v1 (G) v2 (G) v3 (G) まず、 G G2 を満たす G について、 U1 (G) U1 (G2 ) 、 U 2 (G2 ) U 2 (G) 、 U 3 (G2 ) U 3 (G) である。また、 G G2 を満たす G について、 U1 (G) U1 (G2 ) 、 U 2 (G2 ) U 2 (G) 、 U 3 (G2 ) U 3 (G) (7-9) (7-10) である。 したがって、任意の G （ G G2 ）に関して (7-11) G2 MG かつ「 GMG2 ではない」 が成り立つ（ M は 6.1 節で導入した「多数決関係」である） 。すなわち、G2 は多数決投票 均衡であるとともに、それ以外の G （ G G2 ）は多数決投票均衡ではない。 ui u3 U 3 (G) u2 U 2 (G) u1 U1 (G) G3 G2 G1 G 以下では、 G1 G2 G3 が成立することを仮定する。そのとき、 G2 だけが多数決投票均 衡であることを示そう。 まず、 G G2 を満たす G について、 U1 (G) U1 (G2 ) 、 U 2 (G2 ) U 2 (G) 、 U 3 (G2 ) U 3 (G) である。また、 G G2 を満たす G について、 U1 (G) U1 (G2 ) 、 U 2 (G2 ) U 2 (G) 、 U 3 (G2 ) U 3 (G) (7-9) (7-10) である。 したがって、任意の G （ G G2 ）に関して (7-11) G2 MG かつ「 GMG2 ではない」 が成り立つ（ M は 6.1 節で導入した「多数決関係」である） 。すなわち、G2 は多数決投票 均衡であるとともに、それ以外の G （ G G2 ）は多数決投票均衡ではない。 ui u3 U 3 (G) u2 U 2 (G) U 3 (G2 ) U 3 (G) u1 U1 (G) U1 (G) U1 (G2 ) G2 G G 以下では、 G1 G2 G3 が成立することを仮定する。そのとき、 G2 だけが多数決投票均 衡であることを示そう。 まず、 G G2 を満たす G について、 U1 (G) U1 (G2 ) 、 U 2 (G2 ) U 2 (G) 、 U 3 (G2 ) U 3 (G) である。また、 G G2 を満たす G について、 U1 (G) U1 (G2 ) 、 U 2 (G2 ) U 2 (G) 、 U 3 (G2 ) U 3 (G) (7-9) (7-10) である。 したがって、任意の G （ G G2 ）に関して (7-11) G2 MG かつ「 GMG2 ではない」 が成り立つ（ M は 6.1 節で導入した「多数決関係」である） 。すなわち、G2 は多数決投票 均衡であるとともに、それ以外の G （ G G2 ）は多数決投票均衡ではない。 7.2 中位投票者モデルと公共財生産の効率性 中位投票者 ＝各投票者（個人）の最も望ましい選択肢を単峰型順序に並べたときに、 中央の選択肢が最も望ましい投票者 中位投票者モデル ＝中位投票者の最も望ましい選択肢が多数決投票均衡になるモデル（の総称） G1 G2 G3 の仮定より、個人２（中位所得者）が「中位投票者」であり、7.1 節の議論 より中位投票者にとって最も望ましい公共財の水準 G2 が多数決投票均衡である。 したがって、7.1 で分析したモデルは「中位投票者モデル」である。 最後に、多数決投票均衡 G2 と効率的な公共財の水準 G * との大小関係を、所得分布との関 連性で検討しよう。 効率的な公共財の水準 G * は、サミュエルソン条件 v1 (G * ) v 2 (G * ) v3 (G * ) 1 より求められる。 (7-12) （ 問 題 7-5 ） 中 位 投 票者 の 所 得 水 準 Y2 が 平 均 所得 水 準 Y ( Y A / 3 ) よ り 低 い と する （ Y2 Y ）。そのとき、 vi (G) v(G) （ i 1, 2, 3 ）ならば、多数投票均衡におけ る公共財の水準が効率的な公共財の水準より過大になる（ G2 G ）ことを、図 * を用いて示しなさい。 v1 (G * ) v 2 (G * ) v3 (G * ) 1 v(G ) 3 v(G* ) 1 1 3 p2 Y Y 1 p2 2A A Y Y 3 G* G2 G v(G * ) 1 3 7.1 比例所得税と多数決投票均衡 単峰性 ⇒ 多数決投票均衡が存在する。 個人の選好（公共財に対する限界便益）が一致していれば、 中位所得者の最適な公共財水準が多数決投票均衡になる。 7.2 中位投票者モデルと公共財生産の効率性 多数決投票均衡（における公共財の水準）は、所得分布や 選好プロファイルに依存する。 個人の選好が一致していて、中位所得が平均所得より小さ い場合は、多数決投票均衡が（効率的な公共財の水準より） 過大になる。 多数決投票均衡と比較して、リンダール・メカニズムのもとで の公共財の過小供給は深刻である（フリーライダー問題）。 10章と11章で学ぶ予定の費用便益分析は、多数決投票均衡 を補完するための政策手段であると理解することができる。