Transcript Smooth part

第一原理電子状態計算の方法の開発
鳥取大工 小谷岳生（Takao Kotani)
July28-30, 2009@osaka-u
Ｃｈａｐ.0.
Introduction
目標、現状と問題点を概観する。
~0.5コマ
Ｃｈａｐ.1． 理論的な基礎
ＢｅｙｏｎｄＬＤＡを考えるための基礎知識（の一部）
~3.5コマ
Ｃｈａｐ.２．ＧＷ近似、ＱＳＧW近似
~1.5コマ
Ｃｈａｐ.３．一体問題の解法
Linearized augmentation methods. 現代の方法。ＰＭＴ法
~1.5コマ
Ｃｈａｐ.４．数値計算技術の実際
我々のプロジェクト「ecalj」の説明（googleする）。
Live CDを用いた実習。 木曜0.5コマ、金曜0.5コマ
1
Chap. 3 一体問題の解法(線形化法)
1.線形化の方法 linear method.
LAPWを基本にして説明する。
２.PMT=APW+MTO (PMT method)と
Results
Ref. 「ecalj, lm7K解説」でググる。Linear
methodの解説。
一体問題（ＬＤＡの方程式）を正確に解く必要がある。
＊ 多体問題などＢｅｙｏｎｄＬＤＡをやろうとするとき、
一体問題の信頼性の高い解法（ＬＤＡ/GGA）がキーになる。
＊ＧＷ近似の分極関数を求めるには~ＥＦｅｒｍｉ＋50~100eV程度の
Unoccupiedバンドが必要。Plasmon energyを十分にカバーする範囲。
１．Reliability
コード内部でその収束性をチェックできるような方法
が望ましい。 All electron full-potential法がBetter.
２．Fast
Too slowmeaningless. 大きな系を扱いたい。
３．Ｒｏｂｕｓｔ（Ｓｔａｂiｌity）
すぐ計算が不安定化するようでは困る。Reliabilityとも関係する。
4. その他、e.g. cutoff control, どういう計算をやってるかが明瞭なこと
Ifの分岐は危険。
5．コードの質、環境（インストーラー、ポスト、プリプロセッサー）。
注：「道具」は使いよう。擬ポテンシャル法＜all electronといいきれない。
3
One particle potential V(r)
smooth part + onsite part
onsite part = true part –counter part
(by Solar and Willams)
Basis set { Fi ( r )}
augmented wave
H am iltonian H ij  Fi    V F j ,
O verlap m atrix O ij  Fi F j
D iagonalization ( H   O )  0
iteration
Electron density n(r) smooth part + onsite part
LAPW,LMTO,PAW…
Solar-Williams Linearized method
MTregion
Augmented Plane Wave
Muffin tin orbital
Error evaluation for eigenfunctions
for a given potential
Augmentation by  1 at  1 , and  2 at  2 (or  and  )
 Exact solution at these energies if we use infinite number of APWs.
eigenfunction error  (    1 )(    2 )
eigenvalue error  (    1 ) (    2 )
2
2
(Add “local orbital”  exact at  1 ,  2 and  3 )
In practice, ‘too many APW’ causes ‘linear dependency problem’.
In practice, Not easy to check convergence in cases.
Ｓｏｌａｒ－Ｗｉｌｌｉａｍｓ’s scheme
「基底関数」、 「電子密度」、 「ポテンシャル」 の表現。
Full = Smooth part+ Onsite parts – Onsite counter parts
7
基底関数
Ｐｒｏｄｕｃｔ
内積
8
Fi  { F0 i , F1ia , F2 ia }と 考 え る 。
この基底関数を多く用意して、それの張るHilbert空間
での量子力学（多体問題も）を考えることができる。モデル化。
内積はpositive definiteであることが必要。
注：クロスタームをいちいち無視していくというのでなく、
そういう多成分関数空間での量子力学を考えると思うほうがよい。
いまは、ＬＤＡで解くことを考える。
9
E X C＝...
10
全エネルギーを書き下す。
離散化する。
（どういうカットオフが入るか？）
全エネルギー最小化によって方程式を書きくだす。
プログラムする。
＊どんなenvelope関数から出発しても同じようにできる。
Smooth HankelとPWのちがい。
＊Augmentationの仕方にも違いはありうる。
ＬＡＰＷとＰＡＷの違い。
ＰＡＷではprojectorの方法で基底Fiを用意する。
たぶん、固定したaugmentation.
11
T otal energy E [{ 
m inim ize under
 (
m
m
i
},{ Fi ( r )}]
) 
i
*
m'
i
  mm '
i
D iagonalization ( H   O )  0
H am iltonian H ij  Fi    V F j ,
O verlap m atrix O ij  Fi F j
Multipole technique is used.
2.PMT=APW+MTO (PMT method)
とResults
Use MTO and APW as basis set simultaneously.
PMT=MTO+APW
Good for Na(3s), high energy bands.
But not so good for Cu(3d), O(2p)
Systematic.
PRB49,17424
(   e ) h  0 w here e<0
Good for localized basis Cu(3d), O(2p).
But not for extended states.
Smooth Hankel
H ankel 
e
 r
r
Smooth Hankel
4.Result
Use minimum basis; parameters for smooth Hankel are
determined by atomic calculations in advance.
For example,
Cu 4s4p3d + 4d (lo)
O 2s2p
are for MTO basis.
いまは二倍にする方法を研究中。もっと強力に
平面波の数を減らせる。と思う。