Transcript 誤差論の基礎 - 東京法経学院

誤差論の基礎
観測の方法
独立観測
測定値の精度の確認
は出来ない。
直接観測
直接未知量の測定を行う
観測。
間接観測
直接未知量を求める事が
出来ない為、間接的に別
のものを測定して、未知量
を計算する観測。
三角形の内角は、１
条件付観測 ８０度であるなどのよ
うに、公理等の条件
を付す事で、精度の
点検が出来る。
独立観測
測定値の精度の確認
は出来ない。
放射トラバース、開放トラバース
条件付観測
閉合トラバース、結
合トラバースなど
真値、誤差、観測値、補正量、最確値
（定義）
真値＝観測値ー誤差（真誤差）
誤差（真誤差）を知れば、真値を知る事が出来るが、真
値も真誤差は、知る事が出来ない。
最確値＝観測値+補正量
そこで、上記の様に性質の良く似た補正量を用い、真
値の代わりに最確値を用いている。
誤差（真誤差）≒補正量
真値≠最確値
誤差とは、
在る一定条件であれば、ある定まった
様相の影響を与える誤差のことで、
定誤差（偶然誤差）
不定誤差（必然誤
差）
過失
①器械的誤差 ②物理的誤差 ③個
人的誤差 があり、この誤差は、除去
できる。
誤差の起こる原因が不明で、様々な原
因による微笑な誤差の集合と考えられ、
起こる方向も一定でなく、正負もどちら
が現れるかわからない誤差の事。
観測や測定の際、観測者の未熟練のため、
或いはそうでなくとも錯覚等で、生じる過誤
の事。
不定誤差は、誤差の三原則に従
う！
誤差の三原則
①小さい誤差は、大きい誤差よりも多く発生する。
②同じ大きさの正負誤差は、ほぼ同じ様に発生する。
③非常に大きい誤差はほとんど発生しない。
数学（統計学）的に考えると
不定誤差はの起こる確率は、正規分布に従う
という事になる。
誤差曲線
確率密度関数
正規分布
（ｘ-μ） ２
１ exp{- ２δ ２ ｝
Ｆ（ｘ）＝
√２ π δ
２
１δ＝６５％
δ ：分散
２δ＝９５％
μ：平均値
反曲点
３δ＝９９％
-３δ
-２δ
標準偏差
-δ
+δ
+２δ
+３δ
算術平均は、最確値
Ｘ０＝
[ l
] n
日本測量協会 改訂版測量の誤差と最小二乗法
北 野 芳 徳 著 より P25
l：観測値
［ ］：総和
n：観測回数
ⅹ０以外のⅹ‘をもって左式うを表せば、
Ｘ０－l１＝δ１
Ｘ‘－l１＝δ１’
Ｘ０－l２＝δ２
Ｘ‘－l２＝δ２’
・・・・・・・・・・・・・
・・・・・・・・・・・・・
Ｘ０－ｌｎ＝δｎ
Ｘ’－ｌｎ＝δｎ‘
左記の２式をそれぞれ２乗して
加えて変形すれば
［δ‘δ’］＝［δ δ］+ n ( x’ - x0 )
n > 0,( x’ – x0 ) > 0なので、［δ‘δ’］ > ［δ δ］となる。
算術平均に対する剰余の二乗の和は、他のいかなる値に対する差（δ’）の二乗の和
より小さくなる。この事から算術平均(ⅹ０)は最確値という事である。この事は、最小
二乗法の原理のように、発生する確率を最大にすること、即ち［ δ δ ］を最小にするこ
とからも求められる。
となり、 ［ δ δ ］ を最小にするためには、右辺を最
2
［ δ δ ］ ＝ n x – 2 x ［ l ］+［ l l ］
小にすればよい。
右辺を微分して０とおけば、
2 x n – 2[ l ] = 0
[l]
x= n
となり、算術平均が最確値で
あるかとがわかった。
誤差の拡張（伝播）法則
X = f ( x1 , x2 ・・・ ）の場合
M= ±√
δｆ
δｆ
２
2
（
） m１ + （
δｘ１
） δｘ2
２
m2 + ・・・・
2
路線の辺数と観測誤差の水平位置決定誤差 （Δ）
√
1
N・MS +
N ( N + 1 ) ( 2N + 1 )
6
Δ＝
2
d θ″： 角の誤差
N ： 辺数
S
： 節点間の距離ほぼ等しい
MS ： 節点間距離の誤差
ρ″：２０６２６５
d θ″
ρ″ ２
２
・S
2