Transcript 2 連立方程式の解き方

２ 連立方程式
１章 連立方程式
§２ 連立方程式の解き方
（５時間）
§２ 連立方程式の解き方
《ケーキとアイスを買う ①》
10人の子どもたちに、1個 250円のケーキと、 1
個 100円のアイスをあわせて 10個買っていきたい。
1600円で、できるだけ値段の高いケーキをたくさん
買いたいとき、それぞれ何個ずつ買えばよいか。
ケーキの個数を x 個、アイスの個数を y 個とする
と、金額と個数から連立方程式は、
250x＋100y＝1600
x＋y＝10
････････①
････････②
《つるかめ算で解く》
10個とも値段の安いアイスを買うと
100 (円)
100 (円)
100 (円)
100 (円)
100 (円)
100 (円)
100 (円)
100 (円)
100 (円)
100 (円)
合計 1000
《つるかめ算で解く》
10個ケーキに替えると
個とも値段の安いアイスを買うと
１
２
３
４
100 (円)
250
100 (円)
250
100 (円)
250
100 (円)
250
100 (円)
100 (円)
100 (円)
100 (円)
100 (円)
100 (円)
1000
1150
1300
1450
合計 1600
《ケーキとアイスを買う ②》
1600円で、ケーキとアイスを適当に見つくろって
もらったところ、ケーキ ６個と、アイス １個を
持ってきてくれた。しかし、それでは子どもの人数
に足りないので、もう一度見つくろってもらうと、
ケーキ ４個と、アイス ６個を持ってきてくれた。
このときのケーキとアイスの値段はいくらだった
のでしょう。
ケーキの値段を x 円、アイスの値段を y 円とする
と、金額と個数の関係から連立方程式は、
6x＋y＝1600
4x＋6y＝1600
････････①
････････②
《わからない物を１種類にする》
1600
(円) ＝1600－6
1600－6
1600－6
1600－6
1600－6
1600－6
1600－6
9600－32
＝ －32
8000
1600
(円)
＝－
＝ 250
《文字が１つの方程式を導く》
････････①
6x＋y＝1600
････････②
4x＋6y＝1600
①を変形して
････････③
y＝1600－6x
②のyと③のyは同じものだから、②のyを、
③の1600－6x でおきかえる。(代入する)
4x＋6(1600－6x)＝1600 ････････④
4x＋9600－36x＝1600
－32x＝－8000
x＝250
この値を③のxに代入すると、 y＝100
よって、この連立方程式の解は、(250 , 100)であ
る。 (x , y)＝(250 , 100)
と書く。
《練習》
250x＋100y＝1600
x＋y＝10
････････①
････････②
②を変形して
････････③
y＝10－x
①のyと③のyは同じものだから、①のyを、
③の10－x でおきかえる。
････････④
250x＋100(10－x)＝1600
250x＋1000－100x＝1600
150x＝600
x＝4
この値を③のxに代入すると、 y＝6
よって、この連立方程式の解は、(4 , 6)である。
(x , y)＝(4 , 6)
と書く。
《代入法》
連立方程式から、ある文字をふくまない方程式を
導くことを、その文字を消去するという。
代入によって文字を消去する方法を代入法という。
《例題１》
5x－2y＝6
y＝2x＋1
････････①
････････②
②を①に代入すると、
5x－2(2x＋1)＝6
5x－4x－2＝6
x＝8
x＝8 を②に代入して、
y＝17
(x , y)＝(8 ,
《P33 解答 ①》
9x－2y＝12 ････①
(1
(2
････②
y＝3x
)
)
x＝－3y＋2 ････①
2x＋y＝－1 ････②
《ケーキとアイスを買う ③》
1600円で、ケーキとアイスを適当に見つくろって
もらったところ、ケーキ ２個と、アイス 11個を
持ってきてくれた。しかし、それでは子どもの人数
より多すぎるので、もう一度見つくろってもらうと、
ケーキ ４個と、アイス ６個を持ってきてくれた。
このときのケーキとアイスの値段はいくらだった
のでしょう。
ケーキの値段を x 円、アイスの値段を y 円とする
と、金額と個数の関係から連立方程式は、
2x＋11y＝1600
4x＋6y＝1600
････････①
････････②
《代入法でケーキを消去する》
800－5.5
800－5.5
800－5.5
800－5.5
3200－16
＝ －16
1600
1600
2(円) ＝1600－11
100
＝800-11/2
＝800－5.5
1600
(円)
＝－
＝
《代入法でアイスを消去する》
(1600－
(1600－
2
)/11
(1600－
2
)/11
(1600－
2
)/11
(1600－
2
)/11
(1600－
2
)/11
)/11
1600
4
＋(9600－ 2
(円)
12 44 )/11＝
＋9600－12
＝
1600
17600
32
＝
11(円) ＝1600－2
8000 ＝250
＝(1600－
《数をそろえて消去する》
－
＝
1600
1600
3200
(円)
(円)
(円)
16
1600
＝1600
(円)
＝
《ミカンとリンゴを買う》
ミカンとリンゴを買ったところ、ミカン４個と
リンゴ１個で 340円、ミカン２個とリンゴ１個で
220円でした。
このときのミカンとリンゴの値段はいくらだった
のでしょう。
ミカンの値段を x 円、リンゴの値段を y 円とする
と、金額と個数の関係から連立方程式は、
4x＋y＝340
2x＋y＝220
････････①
････････②
《加法・減法で消去する》
－
＝
2
220
(円)
2×60 ＋
340
120
(円)
＝120
＝060
＝220
(円)
＝100
《加法・減法で、１つの文字を消去する》
････････①
4x＋y＝340
････････②
2x＋y＝220
①の左辺から②の左辺をひくと、
4x＋y＝340
－ 2x＋y＝220
(4x＋y)－(2x＋ ＝2x
①の右辺から②の右辺をひくと、
) 2x ＝120
y)
340－220 ＝120
等しいものから等しいものをひいた残りは等しいから、
2x＝120
x＝60
x＝60 を②に代入して、
2×60＋y＝220
y＝220－120
y＝100
(x , y)＝(60 ,
《加法・減法で、１つの文字を消去する》
････････①
4x＋y＝340
････････②
2x＋y＝220
①から②をひくと、
4x＋y＝340
－ 2x＋y＝220
) 2x ＝120
x＝60
x＝60 を②に代入して、
2×60＋y＝220
y＝220－120
y＝100
(x , y)＝(60 ,
100)
《P34 解答 ③》
････①
x＋y＝5
(1
(2
････②
x－3y＝－3
)
)
2x－y＝－1 ････①
4x－y＝3 ････②
《P35 解答 ④》
《加減法》
2x＋y＝7 ････①
連立方程式を解くのに、
5x－y＝14 ････② 左辺どうし、右辺どうし
を、それぞれ、たすかひ
くかして、１つの文字を
消去してもよい。このよ
うな方法を加減法という。
《数をそろえるため、式を変形する１》
2x＋11y＝1600 ････････①
････････②
4x＋6y＝1600
①の両辺を２倍すると、
4x＋22y＝3200
①’から②をひくと、
････････
①’
4x＋22y＝3200
－ 4x＋06y＝1600
16y ＝1600
)
y＝100
y＝100 を②に代入して、
4x＋6×100＝1600
4x＝1000
x＝250
(x , y)＝(250 ,
《例 ①》
2x＋y＝8
7x－2y＝17
････････①
････････②
①の両辺を２倍すると、
4x＋2y＝16
････････
①’と②をたすと、 ①’
4x＋2y＝16
＋ 7x－2y＝17
＝33
) 11x
x＝3
x＝3 を①に代入して、
2×3＋y＝8
y＝8－6
y＝2
(x , y)＝(3 ,
《P35 解答 ⑥》
･･･①
2x－y＝4
(1
(2
5x＋3y＝－1 ･･･②
)
)
2x＋3y＝5 ･･･①
x＋2y＝4 ･･･②
《ケーキとアイスを買う ④》
10人の子どもたちに、ケーキとアイスを買ってい
くことにした。ケーキ ２個と アイス ８個では
1300円、ケーキ ３個と アイス ７個では1450円で
した。
このときのケーキとアイスの値段はいくらだった
のでしょう。
ケーキの値段を x 円、アイスの値段を y 円とする
と、金額と個数の関係から連立方程式は、
2x＋8y＝1300
3x＋7y＝1450
････････①
････････②
《数をそろえて消去する》
－
13003900
(円)(円)
＝
1450
2900
(円)
(円)10
1000
(円)
＝1000
＝
《数をそろえるため、式を変形する２》
････････①
2x＋8y＝1300
････････②
3x＋7y＝1450
①の両辺を３倍すると、
････････
②の両辺を２倍すると、 ①’
････････
6x＋14y＝2900
①’から②’をひくと、 ②’
6x＋24y＝3900
6x＋24y＝3900
－ 6x＋14y＝2900
10y ＝1000
)
y＝100
y＝100 を①に代入して、
2x＋800＝1300
2x＝500
(x , y)＝(250 ,
ケーキ250円、アイス100円
x＝250
《数をそろえて消去する》
1300 9100
1450 11600
(円) (円)
(円) (円)
《例題２》
････････①
6x－5y＝28
4x＋7y＝－2 ････････②
①×2
････････
12x－10y＝56
②×3
①’
12x＋21y＝－6 ････････
②’－
12x＋21y＝－6 ②’
①’
－ 12x－10y＝56
31y ＝－62
)
y＝－2
y＝－2 を①に代入して、
6x－5×(－2)＝28
6x＝28－10
6x＝18
x＝3
(x , y)＝(3 ,
《P36 解答 ⑦》
････････①
3x＋2y＝8
(1
････････②
5x－3y＝7
)
《P36 解答 ⑦》
6x＋5y＝4
(2
9x－2y＝－13
)
････････①
････････②
《係数に分数があったり、かっこがある方程式》
4x－2y＝3x＋5 ････････①
x
y
―－―＝2
････････②
3
2
①から
････････
1x－2y＝5
②×6
①’
････････
2x－3y＝12
①’×2
②’
････････
2x－4y＝10
①”
②’－
2x－3y＝12
①”
－ 2x－4y＝10
y＝2
)
y＝2 を①’に代入して、
x－2×2＝5
x＝5＋4
x＝9
(x , y)＝(9 ,
《P37 解答 ⑧》
x
y
(1 ―－―＝1
4
5
)
3x＋4y＝－52
････････①
････････②
《P37 解答 ⑧》
4x＋7y＝39
(2
2(x－y)＝3x＋3y
)
････････①
････････②
END