Transcript 資料No3

人工知能特論2007
No.3
東京工科大学大学院
担当教員：亀田弘之
命題論理(Propositional Logic)
命題論理では、自然言語の文を単純化・形
式化し、その枠組みで推理等を整理・体系
化することを目指す。
 例(推理の例)：

泳げば、濡れる。（If P, then R.）
 シャワーをかかれば濡れる。(If Q, then R.)
→ 泳ぐかシャワーをかかれば濡れる。
(If P or Q, then R.)

命題論理の体系（概要）
1.
syntax(文法)


2.
記号の並びに関する規約（well-formed）
論理式とはどんな形式のものなのか。
Semantics


Well-formed な論理式相互の関係
真・偽
Syntax
どのような形式言語にもシンタックスがある。
 例：

プログラミング言語(Java, C, Prolog etc.)
 XML (eXtensible Markup Language)
 UML (Unified Modeling Language)
 UNL (Universal Networking Language) etc.

定義３．１

命題論理の字母は以下の記号からなる。
1.
2.
3.
アトム記号(atom)の集合A（非空集合）
A ＝{ P, Q, R, … , P1, P2, … Q1, Q2, …}
結合子(connectives)：
~, ∧, ∨, →, ↔
補助記号（右括弧と左括弧）： (, )
定義３．１のコメント
命題論理はすでに述べたように、形式化さ
れた文に対して定義される。対象となる分
は何らかの記号の列であり、その記号を字
母(alphabet)として定義している。
 字母として
｛あ, い, う, …, あ1, あ2, あ3,…, い1,…,
not, and, or, then, eq, [, ] ｝
を採用してもよい。表現には自由度がある
が論理体系としては同一である。

定義３．２ （well-formedな）論理式

1.
2.
3.
（Well-formedな）論理式（formula）とは
以下のようなものである。
アトムは論理式。
（ if P ∈ A , then P is formula.）
Φが論理式ならば、~φは論理式。
Φとψが論理式ならば、
（φ∧ψ）, （φ∨ψ）, （φ→ψ）, （φ↔ψ）
は論理式。
定義３．２のコメント
アトムPは論理式（原始式ともいう）
 アトムではない論理式、例えば、~Pや
（P→Q）は複合論理式ともいう。
 Pがアトムのとき、Pと~Pをリテラル(literal)
と呼ぶ。特に、Pを正リテラル(positive
literal)、~Pを負リテラル(negative literal)と
呼ぶ。

論理式の例
P
 （P∧Q）
 ~((P３∧P８)∨~Q2)
 （（P∨Q）→R）
 （P→（P→P））
 (~P↔(~(Q∧P)))

問題：論理式でない例を３つ挙げよ。
定義３．３ 命題論理言語

命題論理言語(propositional language)と
は、所与の字母から構成される論理式全体
の集合のことをいう。
定義３．３のコメント
定義３．１と定義３．２から得られる記号列
全体のこと。
 この場合、「記号列＝論理式」である。
 論理式は「形式文」ともみなせるので、命題
論理言語という言い方をする。

Semantics
文＝論理式には意味を考えることができる。
 論理学ではまずは「真と偽」を考える。
（「真・偽」以外は後日考察する。）
 今の段階では、∧や~は単なる記号であり、
論理積や論理否定の意味はまだ導入され
ていない。これからそれらを導入する。

定義３．４ 解釈Intp

命題論理言語Lに対し、Lのアトムの集合を
Aとする。このとき、Lの解釈Intpとは、Aから
｛T, F｝への写像のことをいう。ここで、TとF
を真理値という。
解釈Intp: A → { T, F }
定義３．５ 解釈の表現法

解釈IntpはアトムAの集合の部分集合とし
て記述することとする。
つまり、
Intp = { x | Intp(x) = T, x∈A }
解釈の例

A = ｛ P, Q, R ｝において、
Intp（P）=T, Intp（Q）=T, Intp（R）=F
のとき、これを
Intp = ｛ P, Q ｝
と書く。また。
Intp（P）=T, Intp（Q）=F, Intp（R）=F
のときは、
Intp = ｛ P ｝
と書く。
定義３．６ 結合子の意味の定義
表．結合子の定義表
P Q ～P （P∧Q）
（P∨Q） （P→Q） （P↔Q
）
T
T
T
T T
F
T
T F
F
F
T
F
F
F T
T
F
T
T
F
F F
T
F
F
T
T
これは真理値表
である。
定義３．７

Φを論理式、Intpを１つの解釈とする。この
とき、もしφの真理値がIntpのもとで T であ
れば、「φはIntpのもとで真である」といい、
また、「Intpはφを満たす（満足する）」ともい
う。
例
φ＝~（P∧Q）, Intp={P} のとき、
 Φの真理値はTとなるので、φはIntpのもと
で真であり、Intpはφを満足する。

定義３．８ モデル

Φを論理式、Intpを解釈とする。このとき、
Intpがφを満足するならば、「Intpはφのモデ
ルである」という。また、「φはIntpをモデルと
してもつ」ともいう。
例
φ＝((P∧Q)↔（R→Q）)
 Intp = { P, R }
 このとき、Intpはφのモデルである。
（各自確認せよ。）

定義３．９ モデル（その２）

論理式の集合をΣ、Intpを解釈とする。この
とき、Σに属するどの論理式に対してもIntp
がそのモデルになっているとき、「IntpはΣの
モデルである」という。
例
Σ= { P, (Q∨R), (Q→R) }
 Intp１ = { P, R }
 Intp2 = { P, Q, R }
 Intp3 = { P, Q }
このとき、Intp1とIntp2はΣのモデルである
が、Intp3はΣのもでるではない。
（各自確認せよ。）

定義３．１０ 論理的帰結
Σ：論理式の集合
 Φ：論理式
このとき、Σのどのモデルもまたφのモデル
になっているとき、「φはΣの論理的帰結
(logical consequence)である」といい、
Σ |= φ
と書く。また、「Σは論理的にφを含意する」
などともいう。

定義３．１１ 論理的帰結（その２）

Σ，Γ：論理式の集合
このとき、Σのどのモデルも論理式φ∈Γのも
でるとなっているとき、「ΣはΓのモデルであ
る」といい、Σ |= Γ とかき、また、「ΣはΓを論
理的に含意する」という。
例
P = “私は外にいる”
 Q = “雨が降っている”
 R = “私は濡れる”
このとき、
( (P∧Q) → R ) かつ Q
から
（P→R）
が結論付けられる。

つまり
( (P∧Q) → R ) , Q |= （ P → R ）
（この証明は次の通り）
解釈１
解釈２
解釈３
解釈４
解釈５
解釈６
解釈７
解釈８
P
T
T
T
T
F
F
F
F
Q R ((P∧Q)→R)
T T
T
T F
F
F T
T
F F
T
T T
T
T F
T
F T
T
F F
T
(P→R)
T
F
T
F
T
T
T
T
つまり
( (P∧Q) → R ) , Q |= （ P → R ）
これのモデルは、解釈
２以外の解釈。
これのモ
デルは、
１，２，５，
６の４つ。
解釈１，５，６は
これのモデル
でもある。
これらに共通のモデルは、１，5，６
の３つ。
（この証明は次の通り）
練習問題

Σ={(P∧Q), (P→R)} は Γ= {P,Q,R} を含
意する、すなわち、Σ|=Γ であることを示せ。
定理３．１ 演繹定理

Σ|=（φ→ψ） のとき、またそのときに限り、
Σ∪{φ} |= ψ である。
証明

Σ∪{φ} |= ψ
 Σ∪{φ} のどのモデルもψのモデル
 Σのどのモデルも~φかψのモデル
 Σのどのモデルの（φ→ψ）のモデル
 Σ |= (φ→ψ)
定義３．１２ 論理的に等価（⇔）

論理式φとψは、
φ |= ψ
と
ψ |= φ
とがともに成り立つとき、「φとψは論理的に
等価である」といい、「φ⇔ψ」と書く。
定義３．１３ 論理的に等価（その２）

論理式の集合ΣとΓが論理的に等価である
とは、以下の条件が成り立つことを言い、
Σ⇔Γ と書く。
Σ |= Γ かつ Γ |=Σ
例

Σ = { P, ~Q, (P∨R)} ,
Γ = { (R∨P), (~R∨~Q), P, (P→~Q)}
のとき、
Σ⇔Γである。
(各自証明せよ。)
定義３．１４.1

Φのどの解釈もφのモデルになっているとき、
φは妥当(valid)であるといい、また、φは恒
真式(tautology)であるという。
このとき、 |= φ と書く。
定義３．１４.２

Φの解釈の中にモデルが存在するとき、φ
は充足可能(satisfiable)である、あるいは、
無矛盾(consistent)であるという。
定義３．１４.3

Φの解釈の中に１つもモデルが存在しない
とき、φは充足不可能(unsatisfiable)である、
あるいは、矛盾(inconsistent)であるという。
定義３．１４.4

充足可能な論理式のうち、恒真式（ト－トロ
ジ）でないものをcontigentという。
論理式の分類
Tautology
常に真
Contigent
真のこともおあれば
偽のこともある
充足可能
矛盾
常に偽
充足不可能
例（トートロジの例）
(P∨~P)
 ( ( P∧(P→Q) ) → Q )
(各自で例を考えよ。)

命題３．１

Σ |= φ iff Σ∪{~φ} が充足不可能。
ただし、
Σ：論理式の集合
φ：論理式
（注） iff とはif and only if の略記法で、Ａ iff
B とは、ＡとＢが同値であることを意味する。
証明
Σ |=φ iff
 ΦはΣのどのモデルに対しても真 iff
 Σ∪{~φ} はモデルを持たない iff
 Σ∪{~φ} は充足不可能

ここまでは前回の復習
論理式の標準形(Normal Form)

論理積標準形
conjunctive normal form (CNF)

論理和標準形
disjunctive normal form (DNF)
定義３．１５ 論理和/積標準形

Ａijをリテラルとするとき、
∨∧Aij
の形の論理式を論理和標準形といい、
∧∨Aij
の形の論理式を論理積標準形という。
例（論理和標準形）

(P∧Q ∧ R)∨(~P ∧ Q ∧ R) ∨
(P ∧ Q ∧ ~R)
（注）論理回路のときには、
P・Q・R + ~P・Q・R + P・Q・~R
などと書いていた。
例（論理積標準形）

(P∨~Q)∧(P∨~R)
 (P + ~Q)・(P + ~R)
定理３．２ 標準形の存在

任意の論理式φに対して、それと等価なＣＮ
ＦとＤＮＦが存在する。
（証明は各自に任せます。）
これ以降、論理式はＣＮＦで考える。
 そこで、例えば論理式(P∨~Q)∧(P∨~R)
を { {P, ~Q}, {P, ~R} } などと書くことにする。

(P∨~Q)∧(P∨~R) の別表記法として
{ {P, ~Q}, {P, ~R} } を導入する。
定義３．１６ 節と節集合
節とは、ゼロ個以上のリテラルの並びのこ
と。{ P, Q, R } などと標記する。
 節集合とは、節の集合のこと。

例

節：
{P, ~Q}
 { } (空節)
 {P1, Q3, R}


節集合：

{ {P, ~Q}, { }, {P1, Q3, R} }
Horn節とHorn節集合
高々１つの正リテラルしか持たない節のことを
Horn節という。
 Horn節からなる節集合をHorn節集合と呼ぶ。


例：
F=(P∨~Q)∧(~R∨~P∨S)∧(~P∨~Q)
∧S∧~U
F={ {P,~Q}, {~R,~P,S}, {~P,~Q},
{S}, {~U} }
例：

G=(P∨~Q)∧(R∨~P∨S)
G={ {P,~Q}, {R,~P,S} }
（これはHorn節集合ではない）
導出原理(Resolution法)
定義 リテラルの相補性

リテラルＡとＢが相補的であるとは、
Ａ＝~B であるか B=~A であることである。
また、Ａと相補的なリテラルをＡ*と書く。
定義 導出節(resolvent)

２つの節Ｃ１とＣ２に対して、Ｃ１に属する１
つのリテラルＡの相補的リテラルＡ*がＣ２に
属しているとする。
このとき、
節（C1ー{A}）∪（C2ー{A*}）
をＣ１とＣ２からの導出節(resolvent)と呼ぶ。
定義 導出原理
２つの節から導出節を作り出すことを導出
原理という。
 また、この操作による推論法をresolution法
と呼ぶこととする。

導出原理の意味

{~P, Q}, {P} から ｛Q｝ を作り出す（導く）の
が導出原理法であり、これは、いわゆる三
段論法(modus ponens)に相当するもので
ある。
練習問題

導出節をすべて求めよ。
{ {A,~B,E}, {A,B,C}, {~A,~D,E},{A,~C} }
(注)アトムとしてA,B,C,D,Eという記号を
用いた。今後は適宜さまざまな記号を
用いることとする。
答え（後日掲載します）
Lemma

K1とK2が節集合Ｆの要素（節）であるとする。
このとき、もしRがK1とK2の導出節ならば、
Ｆ∪{R} はＦと論理的に同値である。
すなわち、
Ｆ∪{R}  Ｆ
証明は各自で挑戦してみてください。
定義 Res(F)
Res(F) = F∪{ R | R はＦからの導出節}
 Res0(F) = F
 Resn+1(F) = Res(Resn(F)) for n≧0
 Res*(F) = ∪Resn(F)

練習問題

Resn(F) (n=0,1,2) をそれぞれ求めよ。
ただし、
Ｆ = { {A,~B,C}, {B,C}, {~A,C},
{B,~C}, {~C} }
Resolution定理

節集合Ｆに対して、Fが充足不可能であるこ
とと、□∈Res*(F) であることとは同値であ
る。
F is unsatisfiable  □∈Res*(F) .
推論とは

推論(inference)とは、いくつかの命題（論理
式）からなる前提(premise)、１つの命題（論
理式）を結論(conclusion)として導き出す課
程のこと。例えば、

彼はギリシア人かインド人である。
彼がギリシア人ならば彼はギリシア語を話せる。
彼はギリシア語を話せない。
したがって、
彼はインド人である。
前提
結論
分析
P = 彼はギリシア人である
 Q = 彼はインド人である
 R = 彼はギリシア語を話せる
とすると、
（P∨Q）∧（P→R）∧~R
故に、Q

（P∨Q） （P→R） ~R
---------------------------------Q

この推論の正しさを示すためには、前提が
すべて真のとき結論も真であることを示せ
ばよい。つまり、
（P∨Q）∧（P→R）∧~R |= Q
が成り立つことを示せばよい。
そこでまずは、…

Resolution法の妥当性
をまずは確認しよう！
{~P, Q}, {P} |= Q
 (~P∨Q)∧P |= Q
P
T
T
F
F
Q
T
F
T
F
(~P∨Q)∧P
T
F
F
F
Resolution法を用いた証明方法

Σ |= φ を証明するには、
Σ∪{~φ} |= □ を示せばよい。
（演繹定理とResolution定理より。）

つまり、前提であるΣに証明したいφの否定
を追加すると矛盾が生じることを示せばよ
い。（いわゆる“背理法”。）
証明： （P∨Q）∧（P→R）∧~R |= Q
（P∨Q）∧（P→R）∧~R∧~Q がモデルを持た
ないことを示す。
 節集合の形で書くと、
{ {P,Q}, {~P,R}, {~R}, {~Q} }
 これにresolution法を適用する。
（次のスライド参照）


{ {P,Q}, {~P,R}, {~R}, {~Q} }
{P,Q}
{~P,R}
{P}
{~R}
{~P}
□
{~Q}
問題：次の推論は正しいか？





山田か田中が参加できれば、この企画は成功する。
海外に出張中であれば、山田はこの企画に参加で
きない。
田中も忙しければ、この企画に参加できない。
山田は海外に出張中であるが、田中は忙しくない。
故に、この企画は成功する。
P=山田はこの会議に参加できる
 Q=田中はこの会議に参加できる
 R=この会議は成功する
 S=山田は海外出張中である
 T=田中は忙しい

（P∨Q）→R, S→~P, T→~Q, S∧~T |= R
（P∨Q）→R, S→~P, T→~Q, S∧~T |= R
 （（P∨Q）→R）∧（S→~P）∧（T→~Q）∧ ∧
（S∧~T） |= R
 （~（P∨Q）∨R）∧（~S∨~P）∧（~T∨~Q）
∧S∧~T |= R
 （(~P∧~Q)∨R）∧（~S∨~P）∧（~T∨~Q）
∧S∧~T |= R

（（~P∨R）∧（~Q∨R））∧（~S∨~P）∧
（~T∨~Q）∧S∧~T |= R
 （~P∨R）∧（~Q∨R）∧（~S∨~P）∧（~T∨~Q）
∧S∧~T |= R
したがって、
 （~P∨R）∧（~Q∨R）∧（~S∨~P）∧（~T∨~Q）
∧S∧~T ∧ ~R
が矛盾していることを示せばよい。

（~P∨R）∧（~Q∨R）∧（~S∨~P）∧（~T∨~Q）
∧S∧~T ∧ ~R
 {~P,R} {~Q,R} {~S,~P} {~T,~Q} {S}{~T}{~R}
 これから、 Res*(F) を求めるとこの中には□が
含まれない。
 ということは、この推論は誤っている。
（真理値表を書いて確認せよ。）

練習問題

次の論理式はトートロジであることを示せ。
F=（~B∧~C∧D）∨（~B∧~D）
∨（C∧D）∨B
練習問題

F = A∧B∧C が次の論理式の帰結であるこ
とを示せ。( G |= F )
G={{~A,B},{~B,C},{A,~C},{A,B,C}}
推論の完全性・健全性
次週の予告

述語論理の導入
述語論理のシンタックス
 述語論理のセマンティックス
 標準形（冠頭標準形）

ユニフィケーション
 述語論理における導出原理 など
