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確率と統計 メディア学部2010年 2010年12月2日（木） 今日は数学的な話が中心です。 確率分布 • 検定を行う際、確率計算が必要になります。 • そのためには、分析対象が従うそれぞれの 確率値の在り様(確率分布)を知り、その 性質・特徴を上手く利用することになります。 東京工科大学 確率と統計2010 P.2 例えば • １つのサイコロを500回投げたとき、偶数 の目が１００回出る確率Pを求めるとき、 定義では P 500 C 100 1 2 100 1 2 400 を計算しなければならない。うっそ！ 興味ある人は計算してみてください。 東京工科大学 確率と統計2010 P.3 参考情報 • オープンソースのツールを使うことも考え てみよう – Maxima – Scilab など 東京工科大学 確率と統計2010 P.4 いろいろな確率分布 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. ２項分布 正規分布 ポアソン分布 一様分布 χ２分布 ｔ分布 F分布 などなど 東京工科大学 確率と統計2010 P.5 １． ２項分布 • １回の試行において、事象Aの起こる確率 がp、起こらない確率がqとする。このとき、 ｎ回の反復試行で事象Aがk回起こる確率 は、次のようになる。 P ( X k ) n C k p q k この分布を B (n, p ) nk ( k 0 ,1, 2 , , n ) と書く。 教科書 p.97 東京工科大学 確率と統計2010 参照のこと P.6 例 • １枚の硬貨をｎ回投げる。 東京工科大学 確率と統計2010 P.7 ２項分布B(n, p)の平均と分散 • 平均 = np • 分散 = npq 有名かつ便利な公式 教科書 p.101 式 (2) 参照のこと 東京工科大学 確率と統計2010 P.8 公式の利用例 • サイコロを500回振る。３の倍数の目が 出る回数の平均（期待値）は、公式より 2 500 n p 500 回 3 6 東京工科大学 確率と統計2010 P.9 ２．正規分布 • 測定誤差や身長のデータのヒストグラムを 作ると釣鐘型になる。このときのヒストグラ ムの形を近似的に表す曲線を正規分布曲 線とい、このときの分布を正規分布という。 正規分布曲線は、平均μと分散σ2できまる ので、N(μ, σ2 ) と書くことがある。 東京工科大学 確率と統計2010 P.10 キーワード • • • • • 分布関数 確率密度関数 正規分布曲線（定義） 正規分布の特徴 標準化 など 東京工科大学 確率と統計2010 P.11 正規分布のグラフ 東京工科大学 確率と統計2010 P.12 教科書 p.102 図3 参照のこと 正規分布のグラフ 左右対称 変曲点 ほとんどゼロ 東京工科大学 確率と統計2010 P.13 正規分布曲線の式 f ( x) 1 2 e (x ) 2 2 2 ( x ) 東京工科大学 確率と統計2010 14 正規分布曲線の式 f ( x) 標準偏差 1 2 e 平均 (x ) 2 2 2 ( x ) 東京工科大学 確率と統計2010 15 重要な性質（再） • 左右対称 • Ｘ=σは変曲点（上凸と下凸の変わり目） • 平均 = 中央値 = モード 東京工科大学 確率と統計2010 P.16 他の重要な性質 東京工科大学 確率と統計2010 P.17 正規分布のグラフ 68% 東京工科大学 確率と統計2010 P.18 正規分布のグラフ 95% 東京工科大学 確率と統計2010 P.19 正規分布のグラフ 99.7% 東京工科大学 確率と統計2010 P.20 ちょっと一言 • 図形の面積は定積分によりもとめられる。 面積 S b f ( x ) dx a 東京工科大学 確率と統計2010 P.21 標準化の公式 x z 2 N(μ,σ ) N(0,1) 東京工科大学 確率と統計2010 P.22 標準化の公式 x z 平均μ、分散σ2 平均ゼロ、分散１ （正規分布） （標準正規分布） 2 N(μ,σ ) N(0,1) 東京工科大学 確率と統計2010 P.23 標準化の公式 x z 平均μ、分散σ2 平均ゼロ、分散１ （正規分布） （標準正規分布） 2 N(μ,σ ) N(0,1) 東京工科大学 確率と統計2010 これについての情報が 標準正規分布表として 与えられている。 P.24 練習問題 • 正しく作られたコインを100回投げるとき、 表が40回から60回出る確率を求めよ。 東京工科大学 確率と統計2010 P.25 • ヒント： – コイン投げの繰り返しは２項分布B(n,p)となる ので、定義に従って計算しても良い。 – 繰り返しの回数が多い場合は、平均がnp、分 散がnpqの正規分布N(np,npq)で近似できる。 – この事実を使うと比較的楽に確率が計算でき る。 東京工科大学 確率と統計2010 P.26 • 答え： – – – – – – μ= np = (100)×(1/2) = 50 σ2= npq = (100)×(1/2)×(1-1/2) = 25 = 52 Z=(X-μ)/σ = (X – 50) / 5 とすると Z1=(40-50)/5 = -2 Z2=(60-50)/5 = +2 標準正規分布曲線の -2 ～ +2 の部分の面積が 求める確率。 – 標準正規分布表(教科書p.295)より 約0.95 (= 0.4772×2) 東京工科大学 確率と統計2010 P.27 以上のことを 別の言い方で表すと．．． 確率 P ( 表が 100 回中 40 回以上 60 回以下出る ) P ( 40 X 60 ) k 1 1 100 C k 2 2 k 40 60 2 40 60 m 1 60 40 m (xm ) e 1 2 e 2 2 z 2 100 k 2 dx dz 2 2 1 2 e x 2 東京工科大学 確率と統計2010 dx P.28 図で表すと．．． • （黒板で説明します） 東京工科大学 確率と統計2010 P.29 確認問題 • 正しく作られたコインを400回投げるとき、 表が150回以上230回以下出る確率を求 めよ。 東京工科大学 確率と統計2010 P.30 発展問題 • 両側検定と片側検定について 以下の問に答えよ。 （１）両側検定とは何か。 （２）片側検定とは何か。 （３）コインを何回か投げた結果に基づい て、コインが正しく作られているかを調べ たい。このときは、両側検定を使うべき か、片側検定を使うべきか。 東京工科大学 確率と統計2010 P.31 • 問題のヒント： 教科書のp.163～167をよく読むこと。 両側検定、片側検定の区別、使い分けは 重要なので、何かの機会に一度調べてお くことを勧める。 東京工科大学 確率と統計2010 P.32 正規分布の話は 今日はここまで 東京工科大学 確率と統計2010 P.33 今日の挑戦問題 • ある人種では４つの血液型が知られてお り、各血液型を持つ人の割合は 0.16, 0.48, 0.20, 0.16 であるという。一方、他の人種の人につい ても同様の調査をしたところ、それぞれの 血液型を持つ人は 180, 360, 130, 100 人 だった。これら人種間で血液型の人数比 は同じだろうか？ 東京工科大学 確率と統計2010 P.34 挑戦問題問題のヒント • • • • • • カイ２乗検定を利用する。 教科書第10章を参照のこと。 教科書 p.229 の問題２と同じ。 自由度の求め方を覚えると良い。 カイ２乗分布の表は教科書p.298 。 （カイ２乗検定は利用価値が高いですので、 是非覚えて使ってください。） 東京工科大学 確率と統計2010 P.35 練習問題 • ある図書館での本の貸し出しを調べたら以下の ようになった。「曜日により貸し出し冊数は変わらな い」かどうか検定せよ。なお、有意水準を５％とせよ。 貸し出し 冊数 月曜 火曜 水曜 木曜 金曜 １３５ １０８ １２０ １１４ １４６ 東京工科大学 確率と統計2010 36 練習問題のヒント 月曜 火曜 水曜 木曜 金曜 合計 観測値 １３５ １０８ １２０ １１４ １４６ 理論値 T/5 T/5 T/5 T T/ 5 T / 5 T=135 + 108 + 120 + 114 + 146=623 東京工科大学 確率と統計2010 37 その他 • カイ２乗検定の１つに、分割表(教科書 p.225)があります。便利なのでマスター してください。授業でもやりましたよね！ • カイ２乗検定は、分散分析の特殊な場合 となっています。分散分析はさらに強力な 手法ですので、是非勉強しましょう。 • 統計は慣れることが大切です。継続的に 勉強してください。理論よりまず実践です。 東京工科大学 確率と統計2010 P.38 最後に • 統計を知っている人と知らない人とでは、 今後大きな差になってきます。統計をすべ て勉強することは無理です。自分に関係 のある分野で、必要なものから順次慣れ ていってください。 練習あるのみ 次回３つ目のレポート課題を提示する予定です。 東京工科大学 確率と統計2010 P.39