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確率と統計 メディア学部2009年 2009年12月17日（木） 確率分布 • 検定を行う際、確率計算が必要になります。 • そのためには、分析対象が従うそれぞれの 確率値の在り様(確率分布)を知り、その 性質・特徴を上手く利用することになります。 東京工科大学 確率と統計2009 P.2 いろいろな確率分布 • • • • • • • ２項分布 正規分布 ポアソン分布 一様分布 χ２分布 ｔ分布 F分布 などなど ２項分布 • １回の試行で事象Aの起こる確率がpで、 起こらない確率がqとする。このとき、ｎ回 の反復試行で事象Aがk回起こる確率は、 次のようになる。 P ( X k ) n C k p q k nk ( k 1, 2 ,3 , , n ) この分布であることを B ( n , p ) と書くことが ある。 教科書 p.97 参照のこと 例 • １枚の硬貨をｎ回投げる。 ２項分布B(n, p)の平均と分散 • 平均 = np • 分散 = npq 有名かつ便利な公式 教科書 p.101 式 (2) 参照のこと 正規分布 • 測定誤差や身長のデータのヒストグラムを 作ると釣鐘型になる。このときのヒストグラ ムの形を近似的に表す曲線を正規分布曲 線とい、このときの分布を正規分布という。 正規分布曲線は、平均μと分散σ2できまる ので、N(μ, σ2 ) と書くことがある。 正規分布 • • • • 分布関数 確率密度関数 正規分布曲線（定義） 正規分布の特徴 正規分布のグラフ 正規分布のグラフ 左右対称 変曲点 ほとんどゼロ 教科書 p.102 図3 参照のこと 正規分布曲線の式 f ( x) 1 2 e (x ) 2 2 2 ( x ) 正規分布曲線の式 f ( x) 標準偏差 1 2 e 平均 (x ) 2 2 2 ( x ) 重要な性質（再） • 左右対称 • Ｘ=σは変曲点（上凸と下凸の変わり目） • 平均 = 中央値 = モード 他の重要な性質 正規分布のグラフ 68% 正規分布のグラフ 95% 正規分布のグラフ 99.7% 標準化の公式 z 2 N(μ,σ ) x N(0,1) 標準化の公式 z x 平均μ、分散σ2 平均ゼロ、分散１ （正規分布） （標準正規分布） 2 N(μ,σ ) N(0,1) これについての情報が標準正規 分布表として与えられている。 練習問題 • 問題１： 正しく作られたコインを100回投 げるとき、表が40回から60回出る確率を 求めよ。 • 問題１のヒント： – コイン投げの繰り返しは２項分布Bとなるので、 定義に従って計算しても良いが、 – 繰り返しの回数が多い場合は、平均がnp、分 散がnpqの正規分布で近似できる。 – このことを使うと比較的楽に計算できる。 • 問題１の答： – – – – – – μ= np = (100)×(1/2) = 50 σ2= npq = (100)×(1/2)×(1-1/2) = 25 = 52 Z=(X-μ)/σ = (X – 50) / 5 とすると Z1=(40-50)/5 = -2 Z2=(60-50)/5 = +2 標準正規分布曲線の -2 ～ +2 の部分の面積が求 める確率。 – 標準正規分布表(教科書p.295)より 約0.95 (= 0.4772×2) • 問題２：両側検定と片側検定について以 下の問に答えよ。 （１）両側検定とは何か。 （２）片側検定とは何か。 （３）コインを何回か投げた結果に基づい て、コインが正しく作られているかを調べ たい。このときは、両側検定を使うべき か、片側検定を使うべきか。 • 問題２のヒント： 教科書のp.163～167をよく読むこと。 両側検定、片側検定の区別、使い分けは 重要なので、何かの機会に一度調べてお くことを勧める。 • 問題３：ある人種では４つの血液型を持つ 人の割合が 0.16, 0.48, 0.20, 0.16 であ るという。他の人種の人について同様の 調査をしたところ、それぞれの血液型を持 つ人が180, 360, 130, 100 人であった。 これら人種間で血液型の人数比は同じと いえるか？ • 問題３のヒント： – – – – – カイ２乗検定を利用する。 教科書第10章を参照のこと。 教科書 p.229 の問題２と同じ。 自由度の求め方を覚えると良い。 カイ２乗分布の表は教科書p.298 。 – （カイ２乗検定は利用価値が高いですので、 是非 覚えて使ってください。） • 問題４：ある図書館での本の貸し出しを調べたら以下 のようになった。「曜日により貸し出し冊数は変わらな い」かどうか検定せよ。なお、有意水準を５％とせよ。 貸し出 し冊数 月曜 １３５ 火曜 １０８ 水曜 １２０ 木曜 １１４ 金曜 １４６ • 問題４のヒント： 月曜 火曜 水曜 木曜 金曜 観測値 １３５ １０８ １２０ １１４ １４６ 理論値 T/5 T/5 T/5 T/ 5 T/5 T=135 + 108 + 120 + 114 + 146 その他 • カイ２乗検定の１つに、分割表(教科書 p.225)があります。便利なので勉強してく ださい。授業でもやりましたよね！ • カイ２乗検定は、分散分析の特殊な場合 となっています。分散分析はとても強力な 手法ですので、勉強しましょう。 • 統計は慣れることが大切です。継続的に 勉強してください。理論より実践です。 最後に • 統計を知っている人と知らない人とでは、 今後大きな差になってきます。統計をすべ て勉強することは無理です。自分に関係 のある分野で、必要なものから慣れていっ てください。 練習あるの み 次回３つ目のレポート課題を提示します．