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第９回 二標本ノンパラメトリック検定
教科書p50~69、90～114
例１：健常者8人を30分間ジョギングさせ、その前後で血中の
ホルモン値Aを測定した。運動によりA値は変動するか。
・関連２群
・正規分布とは言えない
・順序尺度
検定法
分布関数
間隔尺度
平均値の検定
正規分布
係数値
（イベント）
比率の検定
二項分布、ポアソン分布
適合度の検定
Χ2分布
間隔尺度
平均値の差の検定
t分布
符号
符号検定
二項分布、正規分布
符号別順位和
Wilcoxon検定
Wilcoxon検定表、正規分布
母分散既知
平均値の差の検定
正規分布
等分散
2標本t検定
t分布
非等分散
t検定（Welchの方法）
t分布
Mann-Whitney検定
Mann-Whitney検定表、正規分布
データ形式 統計量
1標本
関連2標本
独立2標本
独立多標本
（一元配置）
分散一様
分散分析
F分布
分散非一様
Kruskal-Wallis検定
Kruskal-Wallis検定表、Χ2分布
関連多標本
（二元配置）
分散一様
分散分析
F分布
分散非一様
Friedman検定
Χ2分布
Wilcoxon検定
・関連２群
・正規分布とは言えない
・順序尺度
①n組のペア毎に差を求める
②差の絶対値の小さい方から順位をつける
③+または－データのうち数の少ない方の順位の和をTとする。
帰無仮説：両群間に変動はない。
Tは大きくなる
Wilcoxon検定：n≦25
確率
T=0～n(n+1)/2
Wilcoxon検定表：Tの有意点
片側確率
P<0.025
両側確率
P<0.05
n=6
0
7
2
8
3
9
5
10
8
11
10
P<0.005
P<0.01
0
1
3
5
T-+T+=n (n+1)/2
πT≦4、両＞α=0.05
T=4＞Tα=0.05
帰無仮説を棄却できない
n=25
n(n  1) 25(25  1)
T 

 162.5
4
4
n(n  1)(2n  1)
25(25  1)(2  25  1)
T 

 37.165
24
24
Wilcoxon検定表：Tの有意点
片側確率
P<0.025
両側確率
P<0.05
n=6
0
7
2
8
3
9
5
10
8
11
10
・
・
・
・
25
89
P<0.005
P<0.01
0
1
3
5
・
・
68
μT
μT+ μT
=162.5
162.5-1.96×37.165
=89.66
例２：30人の患者に時期を変えて2種の利尿剤
A、Bを投与し、その効果（尿量）を比較した。
両剤の効果に差があると判断してよいか。
帰無仮説：尿量に差はない Wilcoxon検定：n＞25
対立仮説：尿量に差がある
①n組のペア毎に差を求める
②差の絶対値の小さい方から順位をつける、

ただし、0は除き、同順位は平均する。
平均順位＝（最小順位＋最大順位）／２
③+または－データのうち数の少ない方の順位
の和をTとする。
T値の理論分布：正規分布
nn  1
4
nn  12n  1
T 
24
T 
27  (27  1)
 189
4
27  (27  1)  (2  27  1)
T 
 41.62
24
T 
補正したTを標準化
z
(T  0.5)  T
T
(72  0.5)  189

 2.80
41.6
πT≦72、両=0.0051＜α=0.05
T=72＜Tα=0.05
帰無仮説を棄却する
例３：AおよびBの条件で、ある物質を多重測定し次の値を得た。
条件によって測定値が変化すると判断してよいか。
A
18
13
10
8
B
12
10
7
6
8
n1=5
n2=4
独立２群
正規分布
等分散とは言えない
Mann-Whitney検定
①両群の測定値の大小で配置し、順序を付ける。
②一方の測定値毎に他群にある順位の高い測定数を数える。
③数えられた測定値数の和をUとする。
帰無仮説：２群の点の配置に差はない。
Uは大きくなる
Mann-Whitney検定： n1≦20かつ n2≦20
Mann-Whitney検定表：U値の有意点（両側）
P<0.05
n2 =
4 5 6 7 8 9
n1=1
- - - - - n1=2
- - - - 0 0 0 0 1 1
n1=3
- 0 1 1 2 2 3 3 4 4
n1=4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
n1=5
2 3 5 6 7 8 9
n1=6
U+U’= n1n2
0.025
0.025
U=5.5＞Uα=0.05
帰無仮説を棄却できない
U=0～n1n2
Mann-Whitney検定： 大標本の場合
例４：A、B2つの会社で40～50歳の管理職それぞれ20人、24人を
対象に血圧、喫煙量、肥満度、非活動度、コレステロール値
求めた。両社のスコアに差があると考えてよいか。
U値の理論分布：正規分布
n1n2 20  24

 240
2
2
n n n  n 1
U  1 2 1 2
12
U 

20  24  20  24  1
 1800  42.426
12
補正したUを標準化
z
U  U
U

150  240
 2.1226
42.4
πU≦150、両=0.034＜α=0.05
U=150＜Uα=0.05=240-1.96×42.426=156.8
帰無仮説を棄却する
演習9.1
12人の患者にA、B2種の利尿剤を日を変えて投与し、その効果
（尿量）を比較したところ下記のデータを得た。両利尿剤の効果に
差があるといえるか。
患者
利尿剤
a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
k
l
A
1.8
2.5
2.7
2.9
1.2
4.0
2.4
1.6
1.5
2.3
2.2
3.0
B
1.9
2.5
3.0
2.6
3.8
4.0
1.8
2.3
2.4
2.8
2.9
3.7
演習9.2
ホルモン値Hを非妊娠群13例、妊娠群7例につき測定し、次の
データを得た。妊娠群と非妊娠群の間に差があるといえるか。
No
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
非妊娠群 4.0 2.7 2.2 1.9 1.9 1.8 1.7 1.7 1.7 1.6 1.3 1.1 0.8
妊娠群
4.7 3.8 3.6 2.9 2.8 2.2 1.7