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形式言語とオートマトン
Formal Languages and Automata
第４日目
Tokyo University of Technology
School of Computer Science
Hiroyuki KAMEDA
今日の内容
• 前回の復習
• 最簡型DFAの求め方とその練習
• 正規表現を最簡型オートマトンで表現 など
確認問題：
1. 最簡型DFAとは何だったでしょうか？
2. 正規表現ってどんなものでしたでしょうか？
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©東京工科大学 2012年5月15日 亀田弘之
今日の目標
これと同等なDFAを求める．
教科書p.59問題2.4より
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©東京工科大学 2012年5月15日 亀田弘之
今日の目標
これと同等なmin-FAを求める．
教科書p.59問題2.5より
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©東京工科大学 2012年5月15日 亀田弘之
今日の目標
課題：これ同等なDFAを求めよ．
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©東京工科大学 2012年5月15日 亀田弘之
まずは，復習から
• （皆さんも一緒にやってみましょう！）
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©東京工科大学 2012年5月15日 亀田弘之
復習
DFA Md からmin-DFA Ms を求める
1. Md の状態を，Fの状態と非Fの状態との２
グループに分割する．
2. 各グループの各状態について，入力におけ
る遷移先が同じグループに行くものとそうで
ないものとに分割する．
3. どのグループもこれ以上分割することがで
きなくなるまで２を繰り返す．
4. 最終的に得られる各グループそれぞれを新
たな状態とみなすことで得られるDFAがMs .
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©東京工科大学 2012年5月15日 亀田弘之
復習
DFA Md からmin-DFA Ms を求める
1. Md の状態を，Fの状態と非Fの状態との２
グループに分割する．
2. 各グループの各状態について，入力におけ
る遷移先が同じグループに行くものとそうで
ないものとに分割する．
3. どのグループもこれ以上分割することがで
きなくなるまで２を繰り返す．
4. 最終的に得られる各グループそれぞれを新
たな状態とみなすことで得られるDFAがMs .
問 上記の青丸○の付いた用語の意味を
自分の言葉で説明しなさい。
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例による解説
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©東京工科大学 2012年5月15日 亀田弘之
このオートマトンM=<Q,Σ,δ,q0, F>
を詳しく分析してみよう
• 状態の集合
Q
• 入力アルファベット
Σ
• 初期状態:
• 最終状態 F
• 状態遷移関数δ：
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©東京工科大学 2012年5月15日 亀田弘之
このオートマトンM=<Q,Σ,δ,q0, F>
を詳しく分析してみよう
• 状態の集合
Q = { q0, q1, q2, q3, q4, q5 }
• 入力アルファベット
Σ = { 0, 1 }
• 初期状態: q0
• 最終状態 F = { q3, q5 }
• 状態遷移関数δ：
入力記号
0
1
q0
q4
q1
内 q1
部 q
2
状 q
3
態
q4
q2
q4
q1
q3
q5
q2
q0
q1
q5
q3
q2
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状態集合Qを分割してみよう
1. QをFと非Fとに分割：
Q = { q0, q1, q2, q3, q4, q5 }
=> Q1 = { { q0, q1, q2, q4 }, { q3, q5 } }
手順１はこれでおしまい．
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©東京工科大学 2012年5月15日 亀田弘之
手順2(1)
• Q11 = { q0, q1, q2, q4 } と Q12= { q3, q5 } を調べ
ていく．
©東京工科大学 2012年5月15日 亀田弘之
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手順2(2)
内
部
状
態
q0
q1
q2
q3
q4
q5
入力記号
0
1
q4
q1
q2
q4
q1
q3
q5
q2
q0
q1
q3
q2
内
部
状
態
q0
q1
q2
q4
q3
q5
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入力記号
0
1
q4
q1
q2
q4
q1
q3
q0
q1
q5
q2
q3
q2
14
手順２（３）
2.
Q = { q0, q1, q2, q3, q4, q5 }
=> Q1 = { { q0, q1, q2, q4 }, { q3, q5 } }
=> Q2 = { { q0, q1, q4 }, { q2 }, { q3, q5 } }
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©東京工科大学 2012年5月15日 亀田弘之
手順2（４）
内
部
状
態
q0
q1
q2
q3
q4
q5
入力記号
0
1
q4
q1
q2
q4
q1
q3
q5
q2
q0
q1
q3
q2
内
部
状
態
q0
q1
q4
q2
q3
q5
©東京工科大学 2012年5月15日 亀田弘之
入力記号
0
1
q4
q1
q2
q4
q0
q1
q1
q3
q5
q2
q3
q2
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手順２（３）
2.
Q = { q0, q1, q2, q3, q4, q5 }
=> Q1 = { { q0, q1, q2, q4 }, { q3, q5 } }
=> Q2 = { { q0, q1, q4 }, { q2 }, { q3, q5 } }
=> Q3 = { { q0, q4 }, { q1 }, { q2 }, { q3, q5 } }
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手順2（５）
内
部
状
態
q0
q1
q2
q3
q4
q5
入力記号
0
1
q4
q1
q2
q4
q1
q3
q5
q2
q0
q1
q3
q2
内
部
状
態
q0
q4
q1
q2
q3
q5
入力記号
0
1
q4
q1
q0
q1
q2
q4
q1
q3
q5
q2
q3
q2
これで収束しました！
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©東京工科大学 2012年5月15日 亀田弘之
手順２（３）
2.
Q = { q0, q1, q2, q3, q4, q5 }
=> Q1 = { { q0, q1, q2, q4 }, { q3, q5 } }
=> Q2 = { { q0, q1, q4 }, { q2 }, { q3, q5 } }
=> Q3 = { { q0, q4 }, { q1 }, { q2 }, { q3, q5 } }
（4つに分けることができた！）
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©東京工科大学 2012年5月15日 亀田弘之
手順３(1)
• min-DFAの内部状態は4つ．
qA  { q0, q4 }
qB  { q1 }
qC  { q2 }
qD  { q3, q5 }
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©東京工科大学 2012年5月15日 亀田弘之
手順３(2)
• min-DFAの内部状態は４つ．
qA  { q0, q4 }
内
qB  { q1 }
部
qC  { q2 }
qD  { q3, q5 }
状
態
0
1
qA
1
q0
q4
q1
q2
q3
q5
入力記号
0
1
q4
q1
q0
q1
q2
q4
q1
q3
q5
q2
q3
q2
0
0
qC
qB
0
1
1
qD
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この内容は試験に
出やすい個所です！
一般のDFAから最簡形DFAを
求める方法わかりましたでしょうか？
0
1
qA
1
0
0
qC
qB
0
©東京工科大学 2012年5月15日 亀田弘之
1
1
qD
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次の話題
• 次は、NFAと同等なDFAを求める方法につい
て知ろう！
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©東京工科大学 2012年5月15日 亀田弘之
例えばこれと同等なDFAを求めたい．
これはNFAです。
教科書p.59問題2.4より
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©東京工科大学 2012年5月15日 亀田弘之
例題：まずはこれから！
これもNFAです。
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©東京工科大学 2012年5月15日 亀田弘之
アルゴリズム2.1(教科書p.47)
• （ここだけを急に読んでもわかりませんよね。
順番にやって行きましょう！）
• 黒板で説明します。メモを取ってください。
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©東京工科大学 2012年5月15日 亀田弘之
自習問題１：等価なDFAを求めよ。
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©東京工科大学 2012年5月15日 亀田弘之
自習問題２：等価なDFAを求めよ。
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©東京工科大学 2012年5月15日 亀田弘之
最後の話題
• 正規表現を最簡型オートマトンで表現する．
正規表現 α ＝＞ NFA ＝＞ min-DFA
例：α=a(a|b)*bb のNFA，min-DFAを求める．
これは総合演習でもあるので、
次回話しましょう！
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©東京工科大学 2012年5月15日 亀田弘之