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９．線形写像
1
• ここでは、行列の積によって、写像を定義
できることをみていく。
• また、行列の積によって定義される写像の
性質を調べていく。
2
行列演算と写像（変換）
3
拡大とスカラー倍
y
y
p '  ( x ', y ')
 ( kx , ky )
k 倍
p  ( x, y )
O
k 倍
x
O
x
k 倍
拡大の関係は、スカラー倍を用いて次のように
表現できる。
拡大後
 x '
x
 k 
 y '
 y
拡大
拡大前
4
拡大と行列の積
y
y
p '  ( x ', y ')
 ( kx , ky )
O
k 倍
k 倍
p  ( x, y )
x
O
x
k 倍
拡大の関係は、行列を用いても次のように
表現できる。
拡大後
 x '  k
 
 y '  0
0  x
 
k   y
拡大
拡大前
5
変形と行列
y
y
p '  ( x ', y ')
x 座標のみを
k倍
p  ( x, y )
 ( kx , y )
1倍
O
x
O
x
k 倍
行列を用いるといろいろな変形が表現できる。
変形後
 x '  k
 
 y '  0
0  x 
 
1  y
変形
変形前
6
行列による図形の変形１
y
y
A(a x , a y ) D (d x , d y )
A '(2 a x , 2 a y )
2倍
B '(2 b x , 2 b y )
C '(2 c x , 2 c y )
B (bx , b y ) C ( c x , c y )
O
D '(2 d x , 2 d y )
x
O
x
図形の拡大は行列を用いて表現できる。
 a 'x   2

 
a 'y  0
0 ax 
 a 
2  y 
7
行列による図形の変形２
y
y
x 座標だけ
A(a x , a y ) D (d , d )
x
y
A '(2 a x , a y )
2倍
B '(2 b x , b y )
B (bx , b y ) C ( c x , c y )
O
D '(2 d x , d y )
x
O
C '(2 c x , c y )
x
図形の変形は行列を用いて表現できる。
 a 'x   2

 
a 'y  0
0 ax 
 a 
1  y 
8
練習
次の図形に各変換をほどしたとき、
うつされる図形の頂点の座標と外形を描け。
y
D (1, 2)
C (3, 2)
A (1,1)
B (3,1)
x
O
（１）
 x ' 1  x 
   
 y ' 2  y 
（３）
（２）
 x '  2
 
 y '  0
0  x
 
2   y 
（４）
 x ' 0
 
 y '  1
1  x 
 
0  y
 x '  1 1
  
 y '  2 1
 1  x 
 
1   y
9
回転を表す行列
p '  ( x cos   y sin  , x sin   y cos  )
y
y
p '  ( x ', y ')
原点を中心に
p  ( x, y )

回転

x
O
O
x
p  ( x, y )
回転も行列を用いて表すことができる。
回転を表す行列は少し複雑である。
（興味のある人は自分で導くとよい。）
回転後
 x '   cos 
 
 y '   sin 
回転
 sin    x 
 
cos    y 
回転前
10
行列による図形の回転
y
y
原点を中心に
 回転

A(a x , a y )
A '( a ' x , a ' y )
O
x
x
O
 a ' x   cos 

 
 a ' y   sin 
 sin    a x 
 a 
cos    y 
11
変形の組み合わせと行列の積１
y
A(a x , a y )
y
O
A '( a ' x , a ' y )
A ''( a '' x , a '' y )
y
x
x
O
 a 'x   2

 
a
'
 y  0
O
0 ax 
 
1 ay 
 a '' x   cos 

 
a
''
 y   sin 
 cos 
 
 sin 
 2 cos 
 
 2 sin 
 a '' x   cos 

 
 a '' y   sin 
x
 sin    a x 
 
cos    a y 
 sin    a ' x 


cos    a ' y 
 sin    2

cos    0
0 ax 
 
1 ay 
 sin    a x 
 
cos    a y 
変形の組み合わせ
は行列の積で表現
される。
12
変形の組み合わせと行列の積２
y
A(a x , a y )
A '( a ' x , a ' y )
y
A ''( a '' x , a '' y )
y
O
x
x
O
 a ' x   cos 

 
 a ' y   sin 
 a '' x   2

 
a
''
 y  0
 sin    a x 
 
cos    a y 
 a '' x   2

 
a
''
 y  0
0   a 'x 


1  a 'y 
2
 
0
0   cos 

1   sin 
 2 cos 
 
 sin 
 sin    a x 
 
cos    a y 
 2 sin    a x 
 
cos    a y 
0   a 'x 


1   a 'y 
O
x
変換の順序と
積の順序を注意する事。
交換はできない。
13
練習
次の１連の変形を一括して表す１つの行列を求めよ。
y
y
O
２倍
x
４５度回転
y
x
O
O
Ｙ軸方向に
１/2倍
x
y
O
x
14
練習
一つ前の練習問題で求めた行列により、
次の図形がどのような図形に変換されるかをもとめよ。
y
A (0, 2)
B (  1, 0) O
C (1, 0)
x
15
y  3x
正則でない行列による写像
y
y
(3, 9)
(1,1)
 x '  1
 
 y '  3
2  x 
 
6  y
x
O
O
x
y
(3, 0)
x
O
 x '  1
 
 y '  3
2  x 
 
6  y
正則でない行列では、複数の点から一つの
点に写像される。
16
正則でない行列による図形の変形 y
y  3x
y
D'
A
B
D
 x '  1
 
 y '  3
2  x 
 
6  y
A'
C'
C
B'
O
O
x
正則でない行列による写像を用いると、
図形は“つぶれる”。
17
練習
 x ' 1
 
 y '  2
2  x 
 
4  y
によって写像を表す。
以下の座標を持つ四角形ABCDに対して、
各頂点が上写像によって移される点の座標を
それぞれ求めよ。
また、それらの点が一直線上にあることを確かめよ。
A (1, 2)
B (1,1)
C (2,1)
D (2, 2)
18
線形写像
ここでは、行列によって表される写像の性質を調べる。
19
線形写像
定義(線形写像）
n
m
R から R への写像 が次の（１）、（２）を満たすとき、
n
f は R から R m への線形写像であるという。
（１）任意の x , y  R
n
に対して、
f ( x  y)  f ( x)  f ( y)
（２）任意の x  R と任意のスカラー k  R に対して、
n
f ( k x )  kf ( x )
正比例の拡張概念。
正比例は、f : R  R
の線形写像である。
20
線形写像例１
f ( x)  2 x
f :R  R
写像先
写像元
y  f ( x)
x
O
O
（１）
f ( x1  x 2 )  2( x1  x 2 )
 2 x1  2 x 2
 f ( x1 )  f ( x 2 )
（２）
この２つをまとめて一つの
グラフとして表すことも多
い。実は、写像はきちんと
図示できるものだけでは
ない。
f ( kx1 )  2 ( kx1 )
 k 2 x1
 kf ( x1 )
21
線形でない写像例１
f ( x)  x
f :R  R
2
y  f ( x)
x
O
O
（１）
f ( x1  x 2 )  ( x1  x 2 )
2
 x1  2 x1 x 2  x 2
2
 x1  x 2
2
2
2
 f ( x1 )  f ( x 2 )
22
線形でない写像例２
f ( x)  x  1
f :R  R
y  f ( x)
x
O
O
（２）
f ( kx1 )   kx1   1
 kx1  1
 kx1  k
一つの図で、線形写像を
表したときには、原点を
通らなければならない。
 k  x1  1 
 kf
 x1 
23
線形写像例２
f :R  R
2
2
f ( x)  Ax,
y
k
A
0
k 倍
p  ( x, y )
0

k
p '  ( x ', y ')
y
 ( kx , ky )
k 倍
x
O
O
（１） f ( x 1 
x
k 倍
x 2 )  A ( x1  x 2 )
 A x1  A x 2
 f ( x1 )  f ( x 2 )
（２）
f ( k x1 )  A ( k x1 )
 k A x1
 kf
 x1 
なお、写像 f : R  R
は、
（ f : R  R のように）
一枚の図で表すことはできない。
よって、定義域と値域との
対応（関係）だけに注目する。
2
2
24
線形写像例３
f :R  R
2
解）
2
f
 x1 
 
 x2 
 2 x1 


x

2
x
 1
2 
が線形写像かどうか調べよ。
 a1 
 b1 
2
a   ,b     R ,k  R
 a2 
 b2 
に対して、線形写像の条件を調べる。
（１）
  a1 
f (a  b )  f    
  a2 
  a1  b1   
2( a1  b 2 )
 b1  

   f 
  

b
a

b
(
a

b
)

2(
a

b
)
 2
2 
 1
2
2
2 
 2
  a1  
  b1    2 a1   2 b1 
f (a )  f (b )  f      f      


a
b
a

2
a
b

2
b
2
 1
2
 2
 2  1
2( a1  b1 )


 

(
a

b
)

2(
a

b
)
 1
1
2
2 
 f (a  b )  f (a )  f (b )
25
（２）

f (ka )  f  k

  ka1    2 ka1
 a1  

   f 
  

a
ka
ka

2
ka
 2
2
 2  1
  a1  
 2 a1   2 ka1

kf ( a )  kf      k 


a
a

2
a
ka

2
ka
 1
2
 1
2
 2
 f ( k a )  kf ( a )
よって、線形写像である。
26
線形写像例４
f :R  R
n
m
f ( x)  Ax,
行列の形（大きさ）から、
定義域の次元と、値域の次元
（の最大値）が直ちにわかる。
（１）
f ( x1  x 2 )  A ( x1  x 2 )
 A x1  A x 2
y  Ax
 f ( x1 )  f ( x 2 )
（２）
f ( k x1 )  A ( k x1 )
 k A x1
 kf
 x1 
 y1   a11
  

  
 y m   a m 1
a 21
 x1 
a1 n   
  x2 
 
a m n   
 x n 
27
線形写像でない例３
f : R  [0,1]
f ( )  sin  ,
（１）
f (   )  sin    

角度（ラジアン）から正弦（サ
イン）をもとめる関数（写像）。
 sin  cos   cos  sin 
 sin   sin 
 f ( )  f (  )
（２） f ( k  )  sin ( k  )
 k sin 
 kf  

28
練習
次の写像が、線形写像かどうかを
答えよ。
（１）
（２）
f2
f1
f1 : R  R
2
 x1  2 


 x2  3 
 x1 
 
 x2 
2
f2 : R  R
3
 x1 
 
x
 2
 x 3 
2
 x1  x 2 


x

x
2
3


（４）
（３）
f3
f3 : R  R
2
3
 x1 
 
 x2 
f3
 x1 


x2


 x1  x 2 
f4 : R  R
2
1
 x1 
 
 x2 
 e x1  x 2 


29
正比例と線形写像
正比例
m
スカラー
f :R  R
スカラー
y  f ( x )  ax
スカラー
n´ m
y = f ( x)  Ax
項ベクトル
f :R  R
n
n
行列
項ベクトル
m
線形写像
30
線形写像の性質１
（線形写像と零元）
線形写像 f : R  R
される。すなわち、
n
0
R
0
証明略
n
n
m
m
に対して、零元は、零元に移
 f (0 )
n
f
R
m
0
m
 f (0 )
n
31
線形写像の性質２
（線形写像と定義域の写像先）
R
n
から R m への線形写像 f に対して、次の集合
f (R )   f ( x)  R | x  R
n
m
n

定義域全体の
移動先
は R m の部分空間である。
R
a
n
f
R
m
f (a )
32
証明
a , b  R , k  R に対して、線形写像の条件を調べる。
n
（１） a ', b '  f ( R n )  R m
a '  f ( a ), b '  f ( b )
R
n
とすると、
なる a , b  R n
が存在する。
f
R
m
n
f (R )
a
a'
b
b'
a ' b '  f ( a )  f ( b )  f ( a  b )
33
R
f
n
a
R
ab
n
f (R )
a'
a ' b '  f ( a  b )
b'
b
a b R
m
n
n
なので、 a ' b '  f ( a  b )  f  R 
34
（２） a '  f ( a )  f ( R n ), a  R n とすると、
k a '  kf ( a )  f ( k a ) と書ける。
ka  R
n
n
なので、 k a '  kf ( a )  f ( k a )  f  R 
以上より、和の公理とスカラー倍の公理を満たすので、
m
R の部分空間である。
Q ED
35
像（Image)
定義（像）
線形写像 f : R  R
を f の像といい、
n
m
n
に対して、部分空間 f ( R )
Im ( f )
と書く。
R
a
n
f
R
m
Im ( f )
f (a )
36
像の例１
f :R  R
2
y
 x '  k
 
 y '  0
2
0  x
 
k   y
p '  ( x ', y ')
 ( kx , ky )
k 倍
k 倍
p  ( x, y )
y
x
O
O
平面すべてに移される。
Im ( f )  R
R
2
f
x
k 倍
2
R  Im ( f )
2
37
像の例２
f :R  R
2
y
2
y
y  3x
D'
A
B
 x '  1
 
 y '  3
D
2  x 
 
6  y
A'
C'
C
B'
O
x
O
平面のすべての点は、直線上に移される。
Im ( f )   ( x , y ) | y  3 x 
f
R
2
( x, y ) | y
 3 x
38
練習
次の写像
f
の像 Im f を求めよ。
f1
（１）
f1 : R  R
3
 x1 
 
x
 2
 x 3 
2
（２）
 x1  x 3 


x

2

f2
f2 : R  R
2
2
 x1 
 
 x2 
 3 x1  x 2 



9
x

3
x

1
2 
39
線形写像の性質３
（０元への写像元）
R
n
から R m への線形写像 f に対して、次の集合
f
1
(0 )   x  R | f ( x )  0 
n
原点に移される
移動元
は R n の部分空間である。
R
f
1
f
n
R
m
m
(0 )
0
n
0  f
n
0
1
m
(0 )
m
40
証明
1
1
（１） a ', b '  f ( 0 )  a ' b '  f ( 0 )
m
m
とする。
0  f ( a ')  f ( b ')  R
m
m
を示す。
このとき、線形写像の定義より、
f ( a ' b ')  f ( a ')  f ( b ')  0
 a ' b '  f
R
f
1
n
1
m
0
m
0
m
m
(0 )
f
R
m
m
(0 )
a'
b'
0
m
41
（２） a '  f
1
( 0 ), k  R  k a '  f
m
 f ( a ')  R
1
m
( 0 ) を示す。
とする。
このとき、線形写像の定義より、
0
m
m
f ( k a ')  kf ( a ')  k 0
 ka '  f
R
f
1
n
1
m
0
m
m
(0 )
f
R
m
m
(0 )
a'
0
m
Q ED
42
核（Kernel)
定義（核）
線形写像 f : R n  R m に対して、部分空間 f
f の核といい、
K er ( f )
と書く。
R
f
1
n
f
R
1
(0 ) を
m
m
m
(0 )
0
n
0
m
43
核の例１
y
 x '  k
 
 y '  0
k 倍
p  ( x, y )
O
0  x
 
k   y
y
p '  ( x ', y ')
 ( kx , ky )
k 倍
x
O
x
k 倍
原点は原点からしか移されない。
K er ( f )   0 
44
核の例２
y
y
 x '  1
 
 y '  3
y  3x
2  x 
 
6  y
O
y
1
O
x
x
2
直線上の点が、原点に移される。
1

K er ( f )   ( x , y ) | y  
2


x

45
練習
次の写像 f の核 k er f を求めよ。
（１）
f1
f1 : R  R
3
 x1 
 
x
 2
 x 3 
2
（２）
 x1  x 3 


x

2

f2
f2 : R  R
2
2
 x1 
 
 x2 
 3 x1  x 2 



9
x

3
x

1
2 
46
像と核の次元
（表現行列を線形写像）
d im K er( f ) + d im Im ( f ) = n
証明略
47
例題
次の写像に関して、d im K er( f ) + d im Im ( f ) = n
を確かめよ。
f1
f1 : R  R
3
解
Im f 1  R


ker f 1   k


 x1 
 
x
 2
 x 3 
2
2
 x1  x 3 


x

2

より、 dim Im f1  2

1 

 
0 | k  R  より、 dim ker f1  1
 

  1 

 dim Im f1  dim ker f1  3  n
48
練習
次の写像に関して、d im K er( f ) + d im Im ( f ) = n
を確かめよ。
f2
f2 : R  R
2
2
 x1 
 
 x2 
 3 x1  x 2 



9
x

3
x

1
2 
49
線形写像と行列
（線形写像と行列）
n
m
に対して、次式を満たす
（１） 線形写像 f : R ® R
m ´ n 行列 A = A f が一意に決定できる。
f (x ) = A x
（２） m ´ n 行列 A
に対して、写像 f A : R
n
® R
m
を
fA (x ) = A x
で定めると、 f A は線形写像である。
証明略
50
（線形写像の）表現行列
定義（表現行列）
線形写像 f : R n  R m に対して、
m  n 行列 A  A f を
f の表現行列という。
線形写像は、その表現行列がわかれば、
すべてがわかる。
51
線形写像と基底
（線形写像と基底）
n
m
線形写像 f : R ® R
標準基底 {e 1 , e 2 , L , e n }
は、R
n
の
の像
{ f (e 1 ) , f ( e 2 ) , L , f ( e n ) }
が決まれば、
任意の元 a Î R n に対して、像
f (a ) Î R
m
がきまる。
言い換えると、２つの線形写像 f , g が、
{e 1 , e 2 , L , e n } で同じ像をとれば、全く同じ写像になる。
証明略。
52
標準基底の像と、空間全体の像
y
y
x 座標だけ
2 倍
0
e2   
1 
1 
e1   
0 
x
0 
e '2  A e 2   
1 
x
 a 'x   2

 
a 'y  0
0 ax 
 
1 ay 
x 座標だけ
y
2
e '1  A e1   
0
y
2倍
O
O
x
x
53
基底の像と表現行列
（基底の像と表現行列）
n
m
線形写像 f : R ® R に対して、R
標準基底 {e 1 , e 2 , L , e n } の像を、
n
の
{ f (e 1 ) , f ( e 2 ) , L , f ( e n ) }
とする。このとき、 f の表現行列 A
A = éêf (e 1 )
ë
f (e 2 )
L
は、
f (e n ) ù
ú
û
と表せる。
証明略。
54
標準基底の像と、空間全体の像
y
y
x 座標だけ
2 倍
0
e2   
1 
1 
e1   
0 
x
0 
e '2  A e 2   
1 
x
 a 'x   2

 
a 'y  0
0 ax 
 
1 ay 
x 座標だけ
y
2
e '1  A e1   
0
y
2倍
O
O
x
x
55
例題
次の線形写像 f : R 2 ® R
表現行列を求めよ。
f
 x1 
 
 x2 
解）
3
に対して、
 2 x1  x 2 


x1


 x1  x 2 
写像より、
 2 x1  x 2   2
  x1   
 
f   
x1
 1



  x2    x  x   1
2 
 1

2

A 1

 1
1 
  x1 
0  
 x
 2
 1 
1 

0

 1 
56
f
（別解）
 x1 
 
 x2 
 2 x1  x 2 


x1


 x1  x 2 
f  e1 
2
 1    
 f    1
 
0



  
1 
f  e2 
1 
 0    
 f    0
 
 1    
  1
より、
A   f  e1 
2

f  e 2    1

 1
1 

0

 1 
57
練習
次の写像 f 表現行列を求めよ。
（１）
f1
f1 : R  R
3
2
 x1 
 
x
 2
 x 3 
（２）
 x1  x 3 


x

2

f2
f2 : R  R
2
2
 x1 
 
 x2 
 3 x1  x 2 


  9 x1  3 x 2 
58
表現行列と線形写像
（表現行列を線形写像）
表現行列が A = éêëa 1 a 2 L a n ùúû であるような
n
m
R から R への線形写像 f について次がなりたつ。
n
（１） Im ( f ) = f ( R ) = L {a 1 , a 2 , L , a n }
（２） d im Im f = r a n k( A )
証明略
59
例題１次の写像
f に関して、表現行列を A
とする。このとき、
（１） Im ( f ) = L {a 1 , a 2 , L , a n }
= éêa 1
ë
a2
L
anù
ú
û
（２） d im Im f = r a n k( A )
を確かめよ。
f
f :R  R
3
2
 x1 
 
x
 2
 x 3 
 x1  x 3 


x

2

60
解）
（１）
  x1  
 x1 
 
   x1  x 3 
f  x2   A x2  

 
 
x2 

x 
 x 3 
 3
1
A
0
0
1
より、
 1

0 
  1   0    1 
 Im f  R  L    ,   ,   
 0  1   0  
2
（２）
dim Im f  dim R  2
2
1
rank A  rank 
0
0
1
 1
2
0 
 dim Im f  rank A
61
合成写像と表現行列の積
２つの線形写像
f :R  R ,
n
m
g:R
m
 R
l
の表現行列をそれぞれ、
A  A f , B  Bg
とすれば、 A は m  n 型で、 B は l  m 型である。
また、合成写像 g f : R  R
表現行列をC
とすれば、C は l  n
型であり、
n
l
C  BA
と表せる。
証明略
62
イメージ
 y1 
 x1 
 
 
 y  Ax  A
 
 
 y m 
 x n 
R
n
 z1 
 y1 
 
 
 z  By  B
 
 
 z l 
 y m 
f
R
m
g
R
y
x
g
l
z
f
 z1 
 x1 
 
 
 z  BAx  BA
 
 
 z l 
 x n 
g
f (x)  g

f ( x)
と覚えればよい。
63