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９．線形写像
1
• ここでは、行列の積によって、写像を定義
できることをみていく。
• また、行列の積によって定義される写像の
性質を調べていく。
2
行列演算と写像（変換）
3
拡大とスカラー倍
y
y
p  ( x, y)
O
k 倍
x
p '  ( x ', y ')
 (kx, ky)
k 倍
O
x
k倍
拡大の関係は、スカラー倍を用いて次のように
表現できる。
拡大後
 x '
 x
 y '  k  y 
 
 
拡大
拡大前
4
拡大と行列の積
y
y
p  ( x, y)
O
k 倍
p '  ( x ', y ')
 (kx, ky)
k 倍
x
O
x
k倍
拡大の関係は、行列を用いても次のように
表現できる。
拡大後
 x '  k 0   x 
 y '  0 k   y 
  
 
拡大
拡大前
5
変形と行列
y
y
p '  ( x ', y ')
 (kx, y)
x 座標のみを
p  ( x, y)
O
k倍
1倍
x
O
x
k倍
行列を用いるといろいろな変形が表現できる。
変形後
 x ' k 0  x 
 y '  0 1  y 
  
 
変形
変形前
6
行列による図形の変形１
y
y
A(ax , ay ) D(dx , d y )
B(bx , by ) C(cx , cy )
O
A'(2ax ,2ay )
2倍
D '(2dx ,2d y )
B '(2bx ,2by )
C '(2cx ,2cy )
x
O
x
図形の拡大は行列を用いて表現できる。
 a 'x  2 0  ax 
a '   
a 

 y   0 2  y 
7
行列による図形の変形２
y
y
x 座標だけ
2倍
A(ax , ay ) D(d , d )
x
y
B(bx , by ) C(cx , cy )
O
A'(2ax , ay )
D '(2dx , d y )
B '(2bx , by )
x
O
C '(2cx , cy )
x
図形の変形は行列を用いて表現できる。
 a 'x  2 0  ax 
a '   
a 

 y  0 1   y 
8
練習
次の図形に各変換をほどしたとき、
うつされる図形の頂点の座標と外形を描け。
y
D(1,2)
C(3,2)
A(1,1)
B(3,1)
x
O
（１）
 x ' 1  x 
 y '  2  y 
 
 
（３）
 x '  0 1   x 
 y '  1 0  y 
  
 
（２）
 x ' 2 0   x 
 y '   0 2  y 
  
 
（４）
 x ' 1 1 1  x 
 y '  2 1 1   y 
 

 
9
回転を表す行列
p '  ( x cos  y sin , x sin  y cos )
y
y
p '  ( x ', y ')
原点を中心に
p  ( x, y)

回転

x
O
O
p  ( x, y)
回転も行列を用いて表すことができる。
回転を表す行列は少し複雑である。
（興味のある人は自分で導くとよい。）
回転後
 x '  cos  sin   x 
 y '   sin cos   y 
  
 
回転
回転前
10
x
行列による図形の回転
y
y
原点を中心に
 回転

A(ax , ay )
O
x
A'(a 'x , a 'y )
x
O
 a 'x  cos  sin   ax 
a '   
a 

 y   sin cos   y 
11
変形の組み合わせと行列の積１
y
O
A(ax , ay )
y
x
O
 a 'x  2 0  ax 
a '   
 
 y  0 1   a y 
A'(a 'x , a 'y )
A''(a ''x , a '' y )
y
x
O
x
 a ''x  cos  sin   ax 
a ''   
 
 y   sin cos  ay 
 a ''x  cos  sin   a 'x 
a ''   
 a ' 
sin

cos

y

 y
 
cos  sin  2 0  ax 


 
 sin cos  0 1 ay 
2cos  sin   ax 

 a 
2sin

cos


 y
変形の組み合わせ
は行列の積で表現
される。
12
変形の組み合わせと行列の積２
y
A(ax , ay )
O
x
A'(a 'x , a 'y )
y
O
A''(a ''x , a '' y )
x
 a ''x  2 0  a 'x 
a ''   
 a ' 
0
1
y

 y
 
 a 'x  cos  sin   ax 
a '   
 
 y   sin cos  ay 
 a ''x  2
a ''   
 y  0
2

0
y
O
x
0  a 'x 
 
1 a ' y 
0 cos  sin   ax 
 
1  sin cos  ay 
2cos 2sin   ax 

 a 
sin

cos


 y
変換の順序と
積の順序を注意する事。
交換はできない。
13
練習
次の１連の変形を一括して表す１つの行列を求めよ。
y
y
O
２倍
x
y
４５度回転
x
O
O
Ｙ軸方向に
１/2倍
x
y
O
x
14
練習
一つ前の練習問題で求めた行列により、
次の図形がどのような図形に変換されるかをもとめよ。
y
A(0,2)
B(1,0) O
C(1,0)
x
15
正則でない行列による写像
y  3x
y
(3,9)
y
(1,1)
 x ' 1 2  x 
 y '  3 6  y 
  
 
x
O
O
x
y
(3,0)
O
x
 x ' 1 2  x 
 y '  3 6  y 
  
 
正則でない行列では、複数の点から一つの
点に写像される。
16
正則でない行列による図形の変形 y
y  3x
y
A D
B
D'
 x ' 1 2  x 
 y '  3 6  y 
  
 
A'
C'
B'
C
O
O
x
正則でない行列による写像を用いると、
図形は“つぶれる”。
17
練習
 x ' 1 2  x 
 y '  2 4  y  によって写像を表す。
  
 
以下の座標を持つ四角形ABCDに対して、
各頂点が上写像によって移される点の座標を
それぞれ求めよ。
また、それらの点が一直線上にあることを確かめよ。
A(1,2)
B(1,1)
C(2,1)
D(2, 2)
18
線形写像
ここでは、行列によって表される写像の性質を調べる。
19
線形写像
定義(線形写像）
Rn からn Rm への写像 が次の（１）、（２）を満たすとき、
f は R から Rm への線形写像であるという。
n
x
,
y

R
（１）任意の
に対して、
f ( x  y)  f ( x)  f ( y)
（２）任意の x  R と任意のスカラー
n
k R に対して、
f (kx)  kf ( x)
正比例の拡張概念。
正比例は、f : R  R
の線形写像である。
20
線形写像例１
f ( x)  2x
f :RR
写像先
写像元
x
O
（１）
（２）
f ( x1  x2 )  2( x1  x2 )
 2x1  2x2
 f ( x1 )  f ( x2 )
f (kx1 )  2(kx1 )
 k 2x1
 kf ( x1 )
y  f ( x)
O
この２つをまとめて一つの
グラフとして表すことも多
い。実は、写像はきちんと
図示できるものだけでは
ない。
21
線形でない写像例１
f ( x)  x2
f :RR
x
O
（１）
y  f ( x)
O
f ( x1  x2 )  ( x1  x2 )2
 x12  2 x1 x2  x22
 x12  x22
 f ( x1 )  f ( x2 )
22
線形でない写像例２
f ( x)  x 1
f :RR
x
O
（２）
f (kx1 )   kx1   1
 kx1  1
 kx1  k
y  f ( x)
O
一つの図で、線形写像を
表したときには、原点を
通らなければならない。
 k  x1  1
 kf  x1 
23
線形写像例２
f : R2  R2 f ( x)  Ax,
y
p  ( x, y)
O
k 0 
A 

0
k


k 倍
p '  ( x ', y ')
 (kx, ky)
y
k 倍
x
O
（１） f ( x1  x2 )  A( x1  x2 )
 Ax1  Ax2
 f ( x1 )  f ( x2 )
（２）
f (kx1 )  A(kx1 )
 kAx1
 kf  x1 
x
k倍
なお、写像 f : R  R
は、
（ f : R  R のように）
一枚の図で表すことはできない。
よって、定義域と値域との
対応（関係）だけに注目する。
2
2
24
線形写像例３
f :R R
2
解）
2
f
 x1 
x 
 2
 2x1 
 x  2x 
 1
2
が線形写像かどうか調べよ。
 a1 
 b1 
a    , b     R2 , k  R
a2 
b2 
に対して、線形写像の条件を調べる。
（１）
  a1   b1  
f (a  b)  f        
 a2  b2  
  a1  b1   
2(a1  b1 )

f 



a

b
(
a

b
)

2(
a

b
)
2
2 
 2 2   1 1
  a1  
  b1    2a1   2b1 
f (a)  f (b)  f      f      



a
b
a

2
a
b

2
b
2
1
2
 2
 2  1
2(a1  b1 )




(
a

b
)

2(
a

b
)
 1 1
2
2 
 f (a  b)  f (a)  f (b)
25
（２）
  a1  
f (ka)  f  k    
 a2  
  ka1    2ka1 
f    

ka
ka

2
ka
2
 2  1
  a1  
 2a1   2ka1 
kf (a)  kf      k 



a
a

2
a
ka

2
ka
 1
2
 1
2
 2
 f (ka)  kf (a)
よって、線形写像である。
26
線形写像例４
f : Rn  Rm
f ( x)  Ax,
（１）
f ( x1  x2 )  A( x1  x2 )
 Ax1  Ax2
 f ( x1 )  f ( x2 )
（２）
f (kx1 )  A(kx1 )
 kAx1
 kf  x1 
行列の形（大きさ）から、
定義域の次元と、値域の次元
（の最大値）が直ちにわかる。
y  Ax
 y1   a11 a21
 
  
 ym  am1
 x1 
a1n   
  x2 
 
amn   
 xn 
27
線形写像でない例３
f : R  [0,1]
f ( )  sin  ,
角度（ラジアン）から正弦（サ
（１）
イン）をもとめる関数（写像）。
f (   )  sin    
 sin  cos   cos  sin 
 sin   sin 
 f ( )  f ( )
（２） f (k )  sin(k )
 k sin 
 kf  
28
練習
次の写像が、線形写像かどうかを
答えよ。
（１）
（２）
f1
 x1  2
 x  3
 2 
 x1 
x 
 2
f1 : R2  R2
f2
f2 : R  R
3
2
 x1 
x 
 2
 x3 
 x1  x2 
x  x 
 2 3
（４）
（３）
f3
f3 : R  R
2
3
 x1 
x 
 2
 x1 
 x 
 2 
 x1  x2 
f3
f4 : R  R
2
1
 x1 
x 
 2
ex1  x2 
29
正比例と線形写像
スカラー
m
f :RR
正比例
y  f ( x)  ax
スカラー
スカラー
m´ n
y = f ( x)  Ax
項ベクトル
n
行列
項ベクトル
f : Rn  Rm
線形写像
30
線形写像の性質１
（線形写像と零元）
線形写像 f : R  R
される。すなわち、
n
m
に対して、零元は、零元に移
0m  f (0n )
n
R
0
証明略
n
f
Rm
0m  f (0n )
31
線形写像の性質２
（線形写像と定義域の写像先）
Rn
Rm への線形写像 f に対して、次の集合
f ( Rn )   f ( x)  Rm | x  Rn 
から
定義域全体の
移動先
は Rm の部分空間である。
n
R
a
f
Rm
f (a)
32
証明
a, b  Rn , k  R に対して、線形写像の条件を調べる。
（１） a ', b '  f ( Rn )  Rm
とすると、
a '  f (a), b '  f (b) なる a, b  Rn
n
R
f
が存在する。
Rm
f ( Rn )
a
a'
b
b'
a ' b '  f (a)  f (b)  f (a  b)
33
f
n
R
a
b
a b
Rm
a'
f ( Rn )
a ' b '  f (a  b)
b'
n
a  b  Rn なので、 a ' b '  f (a  b)  f  R 
34
（２） a '  f (a)  f ( Rn ), a  Rn とすると、
ka '  kf (a)  f (ka) と書ける。
ka  Rn
 
n
なので、 ka '  kf (a)  f (ka)  f R
以上より、和の公理とスカラー倍の公理を満たすので、
Rm の部分空間である。
QED
35
像（Image)
定義（像）
線形写像 f : R  R
を f の像といい、
n
m
に対して、部分空間
値域の部分集合（部分空間）
と書く。 すなわち、
Im( f )   f ( x)  R | x  R
m
R
a
f (R )
定義域全体の移動先
Im( f )
n
n
f
n

Rm
Im( f )
f (a)
36
像の例１
f :R R
2
y
2
y
 x '  k 0   x 
 y '  0 k   y 
  
 
p  ( x, y)
k 倍
k 倍
x
O
p '  ( x ', y ')
 (kx, ky)
O
平面すべてに移される。
2
x
k倍
Im( f )  R
2
R
f
R2  Im( f )
37
像の例２
f :R R
2
y
y  3x
y
D'
 x ' 1 2  x 
 y '  3 6  y 
  
 
A D
B
2
A'
C'
B'
C
O
O
x
平面のすべての点は、直線上に移される。
Im( f )  ( x, y) | y  3x
f
2
R
( x, y) | y  3x
38
練習
次の写像
f
の像
Im f
を求めよ。
f1
（１）
 x1 
x 
 2
 x3 
f1 : R  R
3
2
（２）
 x1  x3 
 x 
 2 
f2
f2 : R  R
2
2
 x1 
x 
 2
 3x1  x2 
9x  3x 
 1
2
39
線形写像の性質３
（０元への写像元）
Rn
は
Rm への線形写像 f に対して、次の集合
f 1 (0)   x  Rn | f ( x)  0
から
Rn
原点に移される
移動元
の部分空間である。
n
R
1
m
f (0 )
0n
0n  f 1 (0m )
f
Rm
0
m
40
証明
1
m
1
m
a
',
b
'

f
(
0
)

a
'

b
'

f
(
0
)
（１）
0m  f (a ')  f (b ')  Rm とする。
を示す。
このとき、線形写像の定義より、
f (a ' b ')  f (a ')  f (b ')  0 m  0 m  0 m
a ' b '  f 1 (0 m )
Rn
f 1 (0m )
a'
b'
f
Rm
0
m
41
（２） a '  f 1 (0m ), k  R  ka '  f 1 (0m ) を示す。
0m  f (a ')  Rm とする。
このとき、線形写像の定義より、
f (ka ')  kf (a ')  k 0 m  0 m
ka '  f 1 (0 m )
Rn
f 1 (0m )
a'
f
Rm
0
m
QED
42
核（Kernel)
定義（核）
線形写像 f : Rn
f の核といい、
 Rm に対して、部分空間 f 1 (0m ) を
Ker( f )
値域側の原点に移される移動元
定義域の部分集合（部分空間）
と書く。
Ker( f )   x  Rn | f ( x)  0
n
R
f 1 (0m )
0n
f
Rm
0
m
43
核の例１
y
 x '  k 0   x 
 y '  0 k   y 
  
 
p  ( x, y)
O
k 倍
x
y
p '  ( x ', y ')
 (kx, ky)
k 倍
O
x
k倍
原点は原点からしか移されない。
Ker( f )  0
44
核の例２
y
y
y  3x
 x ' 1 2  x 
 y '  3 6  y 
  
 
O
1
y x
2
O
x
直線上の点が、原点に移される。
1 

Ker( f )  ( x, y) | y   x 
2 

45
練習
次の写像
f の核 ker f を求めよ。
（１）
f1
 x1 
x 
 2
 x3 
f1 : R3  R2
（２）
 x1  x3 
 x 
 2 
f2
f2 : R  R
2
2
 x1 
x 
 2
 3x1  x2 
9x  3x 
 1
2
46
像と核の次元
（次元定理）
n
m
f
:
R

R
線形写像
に対して次式が成り立つ。
dim Ker( f ) + dim Im( f ) = n
証明略
 x ' 1 2  x 
 y '  3 6  y 
  
 
y
y
Im f : y  3x
f (l2 )
f (l1 )
l2
O
l1
1
l0  ker f : y   x
2
l1
l2
f (l0 )
f (l1 )
O
f (l2 )
x
47
例題
次の写像に関して、dim Ker( f ) +
を確かめよ。
dim Im( f ) = n
f1
 x1 
x 
 2
 x3 
f1 : R3  R2
解
Im f1  R
2
より、
 x1  x3 
 x 
 2 
dimIm f1  2
 1

  

ker f1  k  0  | k  R
 1

  

より、
dimker f1  1
dimIm f1  dimker f1  3  n
48
練習
次の写像に関して、dim Ker( f ) +
を確かめよ。
dim Im( f ) = n
f2
f2 : R  R
2
2
 x1 
x 
 2
 3x1  x2 
9x  3x 
 1
2
49
線形写像と行列
（線形写像と行列）
n
m
f
:
R
®
R
に対して、次式を満たす
（１） 線形写像
m ´ n 行列 A = A f が一意に決定できる。
f (x ) = A x
（２） m ´ n 行列 A
n
m
f
:
R
®
R
に対して、写像 A
を
fA (x ) = A x
で定めると、
fA は線形写像である。
証明略
50
（線形写像の）表現行列
定義（表現行列）
線形写像 f : Rn  Rm に対して、
mn 行列 A  Af を
f の表現行列という。
線形写像は、その表現行列がわかれば、
すべてがわかる。
51
線形写像と基底
（線形写像と基底）
n
m
n
f
:
R
®
R
R
線形写像
は、 の
標準基底 {e 1, e 2, L , e n } の像
{f (e 1), f (e 2 ), L , f (e n )}
が決まれば、
任意の元 a Î R n に対して、像
f (a ) Î R m
がきまる。
言い換えると、２つの線形写像 f , g が、
{e 1, e 2, L , e n } で同じ像をとれば、全く同じ写像になる。
証明略。
52
標準基底の像と、空間全体の像
y
 0
e2   
1
1
e1   
0 
x
0
e '2  Ae2   
1
x 2
 
e '1  Ae1   
0
 a 'x  2 0  ax 
a '   
 a 
0
1
 y
 y 
x 座標だけ
2倍
y
O
y
x 座標だけ
2倍
x
y
O
x
53
基底の像と表現行列
（基底の像と表現行列）
n
m
f
:
R
®
R
線形写像
に対して、R n の
標準基底 {e 1, e 2, L , e n } の像を、
{f (e 1), f (e 2 ), L , f (e n )}
とする。このとき、 f の表現行列 A は、
A = éêf (e 1) f (e 2 ) L
ë
f (e n )ù
ú
û
と表せる。
証明略。
54
標準基底の像と、空間全体の像
y
 0
e2   
1
1
e1   
0 
x
0
e '2  Ae2   
1
x 2
 
e '1  Ae1   
0
 a 'x  2 0  ax 
a '   
 a 
0
1
 y
 y 
x 座標だけ
2倍
y
O
y
x 座標だけ
2倍
x
y
O
x
55
例題
次の線形写像 f : R 2
表現行列を求めよ。
® R
 x1 
x 
 2
解）
3
に対して、
f
2x1  x2 
 x 
 1 
 x1  x2 
写像より、
2x1  x2  2 1 
  x1   
 x1 



f       x1   1 0   
  x2    x  x  1 1  x2 
 1 2 

2 1 
 A  1 0 
1 1
56
f
（別解）
 x1 
x 
 2
より、
2x1  x2 
 x 
 1 
 x1  x2 
 2
 1   
f  e1   f      1
 0   1 
 
1
 0   
f  e2   f       0 
 1  1
 
A   f  e1 
2 1 
f  e2   1 0 
1 1
57
練習
f 表現行列を求めよ。
次の写像
（１）
f1
f1 : R3  R2
 x1 
x 
 2
 x3 
（２）
 x1  x3 
 x 
 2 
f2
f2 : R  R
2
2
 x1 
x 
 2
 3x1  x2 
9x  3x 
 1
2
58
表現行列と線形写像
（表現行列と線形写像）
表現行列が A = éêëa 1 a 2 L a n ùúû であるような
R n から R m への線形写像 f について次がなりたつ。
n
Im(
f
)
=
f
(
R
) = L {a 1, a 2, L , a n }
（１）
（２）
dim Im f = rank(A )
証明略
59
例題１次の写像 f に関して、表現行列を A =
とする。このとき、
（１） Im( f ) = L {a 1, a 2, L , a n }
（２）
éa a L
êë 1 2
an ù
ú
û
dim Im f = rank(A )
を確かめよ。
f
f : R3  R2
 x1 
x 
 2
 x3 
 x1  x3 
 x 
 2 
60
解）
（１）
  x1  
 x1 
x  x 


f   x2    A  x2    1 3 
x2 

 x  


 x3 
 3
より、
1 0 1
A 

0 1 0 
1 0 1 
Im f  R  L   ,   ,   
0 1  0  
2
（２）
dimIm f  dim R2  2
1 0 1
rankA  rank 
2
0
1
0


dimIm f  rankA
61
合成写像と表現行列の積
２つの線形写像
f :R R , g:R R
n
m
m
l
の表現行列をそれぞれ、
A  Af , B  Bg
とすれば、 A は m n 型で、 B は l  m
型である。
また、合成写像 g f : R  R
表現行列をC
とすれば、C は l  n
型であり、
n
l
C  BA
と表せる。
証明略
62
イメージ
 y1 
 x1 
   y  Ax  A  
 
 
 ym 
 xn 
Rn
x
 z1 
 y1 
   z  By  B  
 
 
 zl 
 ym 
f
m
R
y
g f
 z1 
 x1 
   z  BAx  BA  
 
 
 zl 
 xn 
g
Rl
z
g f ( x)  g  f ( x) 
と覚えればよい。
63